2015年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

1 2015 年天津市高考数学试卷 理科 年天津市高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 2015 天津 已知全集 U 1 2 3 4 5 6 7 8 集合 A 2 3 5 6 集合 B 1 3 4 6 7 则集合 A UB A 2 5 B 3 6 C 2 5 6 D 2 3 5 6 8 考点 交 并 补集的混合运算 菁优网版权所有 专题 集合 分析 由全集 U 及 B 求出 B 的补集 找出 A 与 B 补集的交集即可 解答 解 全集 U 1 2 3 4 5 6 7 8 集合 A 2 3 5 6 集合 B 1 3 4 6 7 UB 2 5 8 则 A UB 2 5 故选 A 点评 此题考查了交 并 补集的混合运算 熟练掌握运算法则是解本题的关键 2 5 分 2015 天津 设变量 x y 满足约束条件 则目标函数 z x 6y 的 最大值为 A 3B 4C 18D 40 考点 简单线性规划 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 作出不等式组对应的平面区域 利用目标函数的几何意义 利用数形结合确定 z 的 最大值 解答 解 作出不等式组对应的平面区域如图 阴影部分 由 z x 6y 得 y x z 平移直线 y x z 2 由图象可知当直线 y x z 经过点 A 时 直线 y x z 的截距最大 此时 z 最大 由 解得 即 A 0 3 将 A 0 3 的坐标代入目标函数 z x 6y 得 z 3 6 18 即 z x 6y 的最大值为 18 故选 C 点评 本题主要考查线性规划的应用 结合目标函数的几何意义 利用数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法 3 5 分 2015 天津 阅读如图的程序框图 运行相应的程序 则输出 S 的值为 A 10 B 6C 14D 18 考点 程序框图 菁优网版权所有 3 专题 图表型 算法和程序框图 分析 模拟执行程序框图 依次写出每次循环得到的 i S 的值 当 i 8 时满足条件 i 5 退出循环 输出 S 的值为 6 解答 解 模拟执行程序框图 可得 S 20 i 1 i 2 S 18 不满足条件 i 5 i 4 S 14 不满足条件 i 5 i 8 S 6 满足条件 i 5 退出循环 输出 S 的值为 6 故选 B 点评 本题主要考查了循环结构的程序框图 正确写出每次循环得到的 i S 的值是解题的 关键 属于基础题 4 5 分 2015 天津 设 x R 则 x 2 1 是 x2 x 2 0 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 菁优网版权所有 专题 简易逻辑 分析 根据不等式的性质 结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解答 解 由 x 2 1 得 1 x 3 由 x2 x 2 0 得 x 1 或 x 2 即 x 2 1 是 x2 x 2 0 的充分不必要条件 故选 A 点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 比较基础 5 5 分 2015 天津 如图 在圆 O 中 M N 是弦 AB 的三等分点 弦 CD CE 分别 经过点 M N 若 CM 2 MD 4 CN 3 则线段 NE 的长为 4 A B 3C D 考点 与圆有关的比例线段 菁优网版权所有 专题 选作题 推理和证明 分析 由相交弦定理求出 AM 再利用相交弦定理求 NE 即可 解答 解 由相交弦定理可得 CM MD AM MB 2 4 AM 2AM AM 2 MN NB 2 又 CN NE AN NB 3 NE 4 2 NE 故选 A 点评 本题考查相交弦定理 考查学生的计算能力 比较基础 6 5 分 2015 天津 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线过点 2 且双曲线的一个焦点在抛物线 y2 4x 的准线上 则双曲线的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 考点 双曲线的标准方程 菁优网版权所有 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 由抛物线标准方程易得其准线方程 从而可得双曲线的左焦点 再根据焦点在 x 轴 5 上的双曲线的渐近线方程渐近线方程 得 a b 的另一个方程 求出 a b 即可得到 双曲线的标准方程 解答 解 由题意 抛物线 y2 4x 的准线方程为 x 双曲线的一个焦点在抛物线 y2 4x 的准 线上 c a2 b2 c2 7 a 2 b 双曲线的方程为 故选 D 点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质 考查学生的计算能力 属于 基础题 7 5 分 2015 天津 已知定义在 R 上的函数 f x 2 x m 1 m 为实数 为偶函数 记 a f log0 53 b f log25 c f 2m 则 a b c 的大小关系为 A a b cB a c bC c a bD c b a 考点 函数单调性的性质 菁优网版权所有 专题 函数的性质及应用 分析 根据 f x 为偶函数便可求出 m 0 从而 f x 2 x 1 这样便知道 f x 在 0 上单调递增 根据 f x 为偶函数 便可将自变量的值变到区间 0 上 a f log0 53 b f log25 c f 0 然后再比较自变量的值 根据 f x 在 0 上的单调性即可比较出 a b c 的大小 解答 解 f x 为偶函数 f x f x 2 x m 1 2 x m 1 x m x m x m 2 x m 2 mx 0 m 0 6 f x 2 x 1 f x 在 0 上单调递增 并且 a f log0 53 f log23 b f log25 c f 0 0 log23 log25 c a b 故选 C 点评 考查偶函数的定义 指数函数的单调性 对于偶函数比较函数值大小的方法就是将 自变量的值变到区间 0 上 根据单调性去比较函数值大小 对数的换底公式 的应用 对数函数的单调性 函数单调性定义的运用 8 5 分 2015 天津 已知函数 f x 函数 g x b f 2 x 其中 b R 若函数 y f x g x 恰有 4 个零点 则 b 的取值范围是 A B C 0 D 2 考点 根的存在性及根的个数判断 菁优网版权所有 专题 创新题型 函数的性质及应用 分析 求出函数 y f x g x 的表达式 构造函数 h x f x f 2 x 作出函数 h x 的图象 利用数形结合进行求解即可 解答 解 g x b f 2 x y f x g x f x b f 2 x 由 f x b f 2 x 0 得 f x f 2 x b 设 h x f x f 2 x 若 x 0 则 x 0 2 x 2 则 h x f x f 2 x 2 x x2 若 0 x 2 则 2 x 0 0 2 x 2 则 h x f x f 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 若 x 2 x 0 2 x 0 7 则 h x f x f 2 x x 2 2 2 2 x x2 5x 8 即 h x 作出函数 h x 的图象如图 当 x 0 时 h x 2 x x2 x 2 当 x 2 时 h x x2 5x 8 x 2 故当 b 时 h x b 有两个交点 当 b 2 时 h x b 有无数个交点 由图象知要使函数 y f x g x 恰有 4 个零点 即 h x b 恰有 4 个根 则满足 b 2 故选 D 点评 本题主要考查函数零点个数的判断 根据条件求出函数的解析式 利用数形结合是 解决本题的关键 二二 填空题 每小题填空题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 9 5 分 2015 天津 i 是虚数单位 若复数 1 2i a i 是纯虚数 则实数 a 的值为 2 考点 复数的基本概念 菁优网版权所有 专题 数系的扩充和复数 8 分析 由复数代数形式的乘除运算化简 再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值 解答 解 由 1 2i a i a 2 1 2a i 为纯虚数 得 解得 a 2 故答案为 2 点评 本题考查了复数代数形式的乘法运算 考查了复数为纯虚数的条件 是基础题 10 5 分 2015 天津 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m3 考点 由三视图求面积 体积 菁优网版权所有 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 根据几何体的三视图 得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体 结合图中数据求 出它的体积 解答 解 根据几何体的三视图 得 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体 且圆柱底面圆的半径为 1 高为 2 圆锥底面圆的半径为 1 高为 1 该几何体的体积为 V几何体 2 12 1 12 2 故答案为 点评 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题 是基础题目 9 11 5 分 2015 天津 曲线 y x2与 y x 所围成的封闭图形的面积为 考点 定积分在求面积中的应用 菁优网版权所有 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 先根据题意画出区域 然后依据图形得到积分下限为 0 积分上限为 1 从而利用定 积分表示出曲边梯形的面积 最后用定积分的定义求出所求即可 解答 解 先根据题意画出图形 得到积分上限为 1 积分下限为 0 直线 y x 与曲线 y x2所围图形的面积 S 01 x x2 dx 而 01 x x2 dx 01 曲边梯形的面积是 故答案为 点评 本题主要考查了学生会求出原函数的能力 以及考查了数形结合的思想 同时会利 用定积分求图形面积的能力 解题的关键就是求原函数 12 5 分 2015 天津 在 x 6的展开式中 x2的系数为 考点 二项式定理的应用 菁优网版权所有 专题 计算题 二项式定理 分析 在二项展开式的通项公式中 令 x 的幂指数等于 2 求出 r 的值 即可求得 x2的系 数 解答 解 x 6的展开式的通项公式为 Tr 1 x 6 r r 10 r x6 2r 令 6 2r 2 解得 r 2 展开式中 x2的系数为 故答案为 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 求展开式中某项的系数 属于中档题 13 5 分 2015 天津 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 ABC 的面积为 3 b c 2 cosA 则 a 的值为 8 考点 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 由 cosA A 0 可得 sinA 利用 S ABC 化为 bc 24 又 b c 2 解得 b c 由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA 即可得出 解答 解 A 0 sinA S ABC bc 化为 bc 24 又 b c 2 解得 b 6 c 4 由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA 36 16 48 64 解得 a 8 故答案为 8 点评 本题考查了余弦定理 同角三角函数基本关系式 三角形面积计算公式 考查了推 理能力与计算能力 属于中档题 14 5 分 2015 天津 在等腰梯形 ABCD 中 已知 AB DC AB 2 BC 1 ABC 60 动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上 且 则 的最小值为 考 点 平面向量数量积的运算 菁优网版权所有 11 专 题 创新题型 平面向量及应用 分 析 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 的代数式 根据具体 的形式求最值 解 答 解 由题意 得到 AD BC CD 1 所以 2 1 cos60 1 1 cos60 2 1 1 1 cos120 1 当且仅当时等号成立 故答案为 点 评 本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用 基本不等式求最值 关键 是正确表示所求 利用基本不等式求最小值 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分 分 15 13 分 2015 天津 已知函数 f x sin2x sin2 x x R 求 f x 的最小正周期 求 f x 在区间 内的最大值和最小值 考点 两角和与差的正弦函数 三角函数的周期性及其求法 三角函数的最值 菁优网版权所有 专题 三角函数的求值 分析 由三角函数公式化简可得 f x sin 2x 由周期公式可得 由 x 结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值 解答 解 化简可得 f x sin2x sin2 x 1 cos2x 1 cos 2x 1 cos2x 1 cos2x sin2x 12 cos2x sin2x sin 2x f x 的最小正周期 T x 2x sin 2x 1 sin 2x f x 在区间 内的最大值和最小值分别为 点评 本题考查两角和与差的三角函数公式 涉及三角函数的周期性和最值 属基础题 16 13 分 2015 天津 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比赛允许不同协会的运动 员组队参加 现有来自甲协会的运动员 3 名 其中种子选手 2 名 乙协会的运动员 5 名 其中种子选手 3 名 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 设 A 为事件 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手 且这 2 名种子选手来自同一个协会 求事件 A 发生的概率 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数 求随机变量 X 的分布列和数学期望 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数 然后利用古典概型概 率计算公式得答案 随机变量 X 的所有可能取值为 1 2 3 4 由古典概型概率计算公式求得概 率 列出分布列 代入期望公式求期望 解答 解 由已知 有 P A 事件 A 发生的概率为 随机变量 X 的所有可能取值为 1 2 3 4 P X k k 1 2 3 4 随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 13 随机变量 X 的数学期望 E X 点评 本题主要考查古典概型及其概率计算公式 互斥事件 离散型随机变量的分布列与 数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 是中档题 17 13 分 2015 天津 如图 在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 侧棱 AA1 底面 ABCD AB AC AB 1 AC AA1 2 AD CD 且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的 中点 求证 MN 平面 ABCD 求二面角 D1 AC B1的正弦值 设 E 为棱 A1B1上的点 若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 求线段 A1E 的长 考点 二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 直线与平面所成的角 菁优网版权所有 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 以 A 为坐标原点 以 AC AB AA1所在直线分别为 x y z 轴建系 通过 平面 ABCD 的一个法向量与的数量积为 0 即得结论 通过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方 关系即得结论 通过设 利用平面 ABCD 的一个法向量与的夹角的余弦值为 计算即可 解答 证明 如图 以 A 为坐标原点 以 AC AB AA1所在直线分别为 x y z 轴建系 则 A 0 0 0 B 0 1 0 C 2 0 0 D 1 2 0 A1 0 0 2 B1 0 1 2 C1 2 0 2 D1 1 2 2 14 又 M N 分别为 B1C D1D 的中点 M 1 1 N 1 2 1 由题可知 0 0 1 是平面 ABCD 的一个法向量 0 0 0 MN 平面 ABCD MN 平面 ABCD 解 由 I 可知 1 2 2 2 0 0 0 1 2 设 x y z 是平面 ACD1的法向量 由 得 取 z 1 得 0 1 1 设 x y z 是平面 ACB1的法向量 由 得 取 z 1 得 0 2 1 cos sin 二面角 D1 AC B1的正弦值为 解 由题意可设 其中 0 1 E 0 2 1 2 1 又 0 0 1 是平面 ABCD 的一个法向量 cos 整理 得 2 4 3 0 解得 2 或 2 舍 线段 A1E 的长为 2 15 点评 本题考查直线与平面平行和垂直 二面角 直线与平面所成的角等基础知识 考查 用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理能力 注意解题方法的积累 属于中档题 18 13 分 2015 天津 已知数列 an 满足 an 2 qan q 为实数 且 q 1 n N a1 1 a2 2 且 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 1 求 q 的值和 an 的通项公式 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 考点 数列的求和 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 1 通过 an 2 qan a1 a2 可得 a3 a5 a4 利用 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 计算即可 2 通过 1 知 bn n N 写出数列 bn 的前 n 项和 Tn 2Tn的表达式 利用错位相减法及等比数列的求和公式 计算即可 解答 解 1 an 2 qan q 为实数 且 q 1 n N a1 1 a2 2 a3 q a5 q2 a4 2q 又 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 2 3q 2 3q q2 即 q2 3q 2 0 解得 q 2 或 q 1 舍 an 2 由 1 知 bn n N 16 记数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn 1 2 3 4 n 1 n 2Tn 2 2 3 4 5 n 1 n 两式相减 得 Tn 3 n 3 n 3 1 n 4 点评 本题考查求数列的通项与前 n 项和 考查分类讨论的思想 利用错位相减法是解决 本题的关键 注意解题方法的积累 属于中档题 19 14 分 2015 天津 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F c 0 离心率 为 点 M 在椭圆上且位于第一象限 直线 FM 被圆 x2 y2 截得的线段的长为 c FM 求直线 FM 的斜率 求椭圆的方程 设动点 P 在椭圆上 若直线 FP 的斜率大于 求直线 OP O 为原点 的斜率的 取值范围 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 菁优网版权所有 专题 创新题型 直线与圆 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 通过离心率为 计算可得 a2 3c2 b2 2c2 设直线 FM 的方程为 y k x c 利用勾股定理及弦心距公式 计算可得结论 通过联立椭圆与直线 FM 的方程 可得 M c c 利用 FM 计算 即可 设动点 P 的坐标为 x y 分别联立直线 FP 直线 OP 与椭圆方程 分 x 1 与 x 1 0 两种情况讨论即可结论 17 解答 解 离心率为 2a2 3b2 a2 3c2 b2 2c2 设直线 FM 的斜率为 k k 0 则直线 FM 的方程为 y k x c 直线 FM 被圆 x2 y2 截得的线段的长为 c 圆心 0 0 到直线 FM 的距离 d d2 即 2 解得 k 即直线 FM 的斜率为 由 I 得椭圆方程为 1 直线 FM 的方程为 y x c 联立两个方程 消去 y 整理得 3x2 2cx 5c2 0 解得 x c 或 x c 点 M 在第一象限 M c c FM 解得 c 1 a2 3c2 3 b2 2c2 2 即椭圆的方程为 1 设动点 P 的坐标为 x y 直线 FP 的斜率为 t F 1 0 t 即 y t x 1 x 1 联立方程组 消去 y 并整理 得 2x2 3t2 x 1 2 6 又 直线 FP 的斜率大于 解得 x 1 或 1 x 0 设直线 OP 的斜率为 m 得 m 即 y mx x 0 18 联立方程组 消去 y 并整理 得 m2 当 x 1 时 有 y t x 1 0 因此 m 0 m m 当 x 1 0 时 有 y t x 1 0 因此 m 0 m m 综上所述 直线 OP 的斜率的取值范围是 点评 本题考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程和圆的方程 直线与圆的位置关系 一元二次不等式等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质 考查运算求解 能力 以及用函数与方程思想解决问题的能力 属于中档题 20 14 分 2015 天津 已知函数 f x nx xn x R 其中 n N 且 n 2 讨论 f x 的单调性 设曲线 y f x 与 x 轴正半轴的交点为 P 曲线在点 P 处的切线方程为 y g x 求证 对于任意的正实数 x 都有 f x g x 若关于 x 的方程 f x a a 为实数 有两个正实数根 x1 x2 求证 x2 x1 2 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线上某点切线方程 菁优网版权所有 专题 压轴题 创新题型 导数的概念及应用 导数的综合应用 分析 由 f x nx xn 可得 f x 分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函 数的单调性 设点 P 的坐标为 x0 0 则可求 x0 n f x0 n n2 可求 g x f x0 x x0 F x f x f x0 由 f x nxn 1 n 在 0 上单调 递减 可求 F x 在 0 x0 内单调递增 在 x0 上单调递减 即可得 证 19 设 x1 x2 设方程 g x a 的根为 由 可得 x2 设曲线 y f x 在原点处的切线方程为 y h x 可得 h x nx 设方程 h x a 的根 为 可得