2011届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之十二

2010 20112010 2011 年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十二年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十二 第十二章第十二章 立体几何立体几何 一 基础知识 公理 1 一条直线 上如果有两个不同的点在平面 内 则这条直线在这个平面内 记作 aa 公理 2 两个平面如果有一个公共点 则有且只有一条通过这个点的公共直线 即若 P 则存在唯一的直线 m 使得 m 且 P m 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面 即不共线的三点确定一个平 面 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 公理 4 在空间内 平行于同一直线的两条直线平行 定义 1 异面直线及成角 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 过空间任意 一点分别作两条异面直线的平行线 这两条直线所成的角中 不超过 900的角叫做两条异 面直线成角 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线 公垂线夹在两条 异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离 定义 2 直线与平面的位置关系有两种 直线在平面内和直线在平面外 直线与平面相交 和直线与平面平行 直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行 统称直线在平面外 定义 3 直线与平面垂直 如果直线与平面内的每一条直线都垂直 则直线与这个平面垂 直 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直 则直线与平面垂直 定理 2 两条直线垂直于同一个平面 则这两条直线平行 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直 则另一条也和这个平面垂直 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离 若一条直线与平面平行 则直线上每一点到平面的距离都相等 这个距离叫做直线与平面的距离 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线 由斜线上每一点向平面引 垂线 垂足叫这个点在平面上的射影 所有这样的射影在一条直线上 这条直线叫做斜线 在平面内的射影 斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角 定理 4 三垂线定理 若 d 为平面 的一条斜线 b 为它在平面 a 内的射影 c 为平面 a 内 的一条直线 若 cb 则 ca 逆定理 若 ca 则 cb 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线 若它与平面内一条直线 b 平行 则它与平面 a 平行 定理 6 若直线 与平面 平行 平面 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6 则 a b 结论 2 若直线 与平面 和平面 都平行 且平面 与平面 相交于 b 则 a b 定理 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同 则两个角 相等 定义 6 平面与平面的位置关系有两种 平行或相交 没有公共点即平行 否则即相交 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a b 都与平面 平行 则 定理 9 平面 与平面 平行 平面 a b 则 a b 定义 7 二面角 经过同一条直线 m 的两个半平面 包括直线 m 称为二面角的棱 所组成的图形叫二面角 记作 m 也可记为 A m 一 B AB 等 过棱上任 意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP BP 则 APB 900 叫做二面角的平面角 它的取值范围是 0 特别地 若 APB 900 则称为直二面角 此时平面与平面的位置关系称为垂直 即 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 定理 11 如果两个平面垂直 过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面 内 定理 12 如果两个平面垂直 过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形 并且每相邻两个平行四边形的公 共边 称为侧棱 都互相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 两个互相平行的面叫做 底面 如果底面是平行四边形则叫做平行六面体 侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱 底面 是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 底面是矩形的直棱柱叫做长方体 棱长都相等的正四棱 柱叫正方体 定义 9 有一个面是多边形 这个面称为底面 其余各面是一个有公共顶点的三角形的多 面体叫棱锥 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥 定理 13 凸多面体的欧拉定理 设多面体的顶点数为 V 棱数为 E 面数为 F 则 V F E 2 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面 球面所围成的几何体 叫做球 定长叫做球的半径 定点叫做球心 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R 那么平面与球相交所得的截面是圆面 圆 心与球心的连线与截面垂直 设截面半径为 r 则 d2 r2 R2 过球心的截面圆周叫做球大 圆 经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离 定义 11 经度和纬度 用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线 纬 线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度 用经过南极和北极的平 面去截地球所得到的截面半圆周 以两极为端点 叫做经线 经线所在的平面与本初子午线 所在的半平面所成的二面角叫做经度 根据位置不同又分东经和西经 定理 15 祖 原理 夹在两个平行平面之间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平 面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 定理 16 三面角定理 从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角 其 中任意两个角之和大于另一个 三个角之和小于 3600 定理 17 面积公式 若一个球的半径为 R 则它的表面积为 S球面 4 R2 若一个圆锥的 母线长为 l 底面半径为 r 则它的侧面积 S侧 rl 定理 18 体积公式 半径为 R 的球的体积为 V球 若棱柱 或圆柱 的底面积为 3 3 4 R s 高 h 则它的体积为 V sh 若棱锥 或圆锥 的底面积为 s 高为 h 则它的体积为 V 3 1 sh 定理 19 如图 12 1 所示 四面体 ABCD 中 记 BDC ADC ADB BAC A ABC B ACB C DH平面 ABC 于 H 1 射影定理 S ABD cos S ABH 其中二面角 D AB H 为 2 正弦定理 sin sin sin sin sin sin CBA 3 余弦定理 cos cos cos sin sin cosA cosA cosBcosC sinBsinCcos 4 四面体的体积公式DH S ABC 3 1 V coscoscos2coscoscos1 6 1 222 abc 其中 d 是 a1 a 之间的距离 是它们的夹角 sin 6 1 1d aa S ABD S ACD sin 其中 为二面角 B AD C 的平面角 a3 2 二 方法与例题 1 公理的应用 例 1 直线 a b c 都与直线 d 相交 且 a b c b 求证 a b c d 共面 证明 设 d 与 a b c 分别交于 A B C 因为 b 与 d 相交 两者确定一个平面 设为 a 又因 为 a b 所以两者也确定一个平面 记为 因为 A 所以 A 因为 B b 所以 B 所以 d 又过 b d 的平面是唯一的 所以 是同一个平面 所以 a 同理 c 即 a b c d 共面 例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件 解 充要条件 先证充分性 设图 12 2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD A1B1C1D1的正六边形截 面 延长 PQ SR 设交点为 O 因为直线 SR平面 CC1D1D 又 O 直线 SR 所以 O 平面 CC1D1D 又因为直线 PQ平面 A1B1C1D1 又 O 直线 PQ 所以 O 平面 A1B1C1D1 所以 O 直线 C1D1 由正六边形性质知 ORQ OQR 600 所以 ORQ 为正三角形 因为 CD C1D1 所以 1 所以 R 是 CC1中点 同理 Q 是 B1C1的中点 又 RO SR RC CR 1 ORC1 OQC1 所以 C1R C1Q 所以 CC1 C1B1 同理 CD CC1 所以该长方体为正方体 充 分性得证 必要性留给读者自己证明 2 异面直线的相关问题 例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对 解 每条棱与另外的四条棱成异面直线 重复计数一共有异面直线 12 4 48 对 而每一 对异面直线被计算两次 因此一共有24 对 2 48 例 4 见图 12 3 正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 1 求面对角线 A1C1与 AB1所成的角 解 连结 AC B1C 因为 A1AB1BC1C 所以 A1AC1C 所以 A1ACC1为平行四边形 所 以 A1C1AC 所以 AC 与 AB1所成的角即为 A1C1与 AB1所成的角 由正方体的性质 AB1 B1C AC 所以 B1AC 600 所以 A1C1与 AB1所成角为 600 3 平行与垂直的论证 例 5 A B C D 是空间四点 且四边形 ABCD 四个角都是直角 求证 四边形 ABCD 是矩 形 证明 若 ABCD 是平行四边形 则它是矩形 若 ABCD 不共面 设过 A B C 的平面为 过 D 作 DD1 于 D1 见图 12 4 连结 AD1 CD1 因为 ABAD1 又因为 DD1平面 又 AB 所以 DD1AB 所以 AB平面 ADD1 所以 ABAD1 同理 BCCD1 所以 ABCD1为矩形 所以 AD1C 900 但 AD1 AD CD1 CD 所以 AD2 CD2 AC2 与 2 1 2 1 CDAD AD2 CD2矛盾 所以 ABCD 是平面四边形 所以它是矩形 2 1 2 1 CDAD 例 6 一个四面体有两个底面上的高线相交 证明 它的另两条高线也相交 证明 见图 12 5 设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O 因为 AE平面 BCD 所以 AECD BF平面 ACD 所以 BFCD 所以 CD平面 ABO 所以 CDAB 设四面体另两 条高分别为 CM DN 连结 CN 因为 DN平面 ABC 所以 DNAB 又 ABCD 所以 AB 平面 CDN 所以 ABCN 设 CN 交 AB 于 P 连结 PD 作PD 于 因为 AB平 CM M 面 CDN 所以 AB 所以平面 ABD 即为四面体的高 所以与 CM CM CM CM CM 重合 所以 CM DN 为 PCD 的两条高 所以两者相交 例 7 在矩形 ABCD 中 AD 2AB E 是 AD 中点 沿 BE 将 ABE 折起 并使 AC AD 见图 12 6 求证 平面 ABE平面 BCDE 证明 取 BE 中点 O CD 中点 M 连结 AO OM OD OC 则 OM BC 又 CDBC 所以 OM CD 又因为 AC AD 所以 AMCD 所以 CD平面 AOM 所以 AOCD 又因为 AB AE 所以 AOBE 因为 ED BC 所以 BE 与 CD 不平行 所以 BE 与 CD 是两条相交直线 所以 AO平面 BC DE 又直线 AO平面 ABE 所以平面 ABE平面 BCDE 4 直线与平面成角问题 例 8 见图 12 7 正方形 ABCD 中 E F 分别是 AB CD 的中点 G 为 BF 的中点 将正方形 沿 EF 折成 1200的二面角 求 AG 和平面 EBCF 所成的角 解 设边长 AB 2 因为 EFAD 又 ADAB 所以 EFAB 所以 BG 又 5 2 1 2 1 BF AEEF BEEF 所以 AEB 1200 过 A 作 AMBE 于 M 则 AEM 600 ME AM AEsin600 由余弦定理 MG2 BM2 BG2 2BM BGcos MBG 2 1 2 1 AE 2 3 2 所以 MG 因为 2 3 4 5 4 9 5 1 3 5 2 3 2 2 5 2 3 2 2 2 EFAE EFBE 所以 EF平面 AEB 所以 EFAM 又 AMBE 所以 AM平面 BCE 所 以 AGM 为 AG 与平面 EBCF 所成的角 而 tan AGM 所以 AG 与平面 EBCF 所成 4 6 2 2 3 的角为 4 6 arctan 例 9 见图 12 8 OA 是平面 的一条斜角 AB 于 B C 在 内 且 ACOC AOC AOB BOC 证明 cos cos cos 证明 因为 AB ACOC 所以由三垂线定理 BCOC 所以 OAcos OB OBcos OC 又 Rt OAC 中 OAcos OC 所以 OAcos cos OAcos 所以 cos cos cos 5 二面角问题 例 10 见图 12 9 设 S 为平面 ABC 外一点 ASB 450 CSB 600 二面角 A SB C 为 直角二面角 求 ASC 的余弦值 解 作 CMSB 于 M MNAS 于 N 连结 CN 因为二面角 A SB C 为直二面角 所以平 面 ASB平面 BSC 又 CMSB 所以 CM平面 ASB 又 MNAS 所以由三垂线定理的逆 定理有 CNAS 所以 SC cos CSN SN SC cos CSM cos ASB 所以 cos ASC cos450cos600 4 2 例 11 见图 12 10 已知直角 ABC 的两条直角边 AC 2 BC 3 P 为斜边 AB 上一点 沿 CP 将此三角形折成直二面角 A CP B 当 AB 时 求二面角 P AC B 的大小 7 解 过 P 作 PDAC 于 D 作 PECP 交 BC 于 E 连结 DE 因为 A CP B 为直二面角 即平面 ACP平面 CPB 所以 PE平面 ACP 又 PDCA 所以由三垂线定理知 DEAC 所以 PDE 为二面角 P AC B 的平面角 设 BCP 则 cos ECD cos cos 900 sin cos 由余弦定理 cos ACB 所以 sin cos 所以 2 1 322 732 2 22 2 1 sin2 1 又 0 2 所以 设 CP a 则 PD a PE a 所以 tan PDE 4 2 2 2 PD PE 所以二面角 P AC B 的大小为 2arctan 6 距离问题 例 12 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 a 求对角线 AC 与 BC1的距离 解 以 B 为原点 建立直角坐标系如图 12 11 所示 设 P Q 分别是 BC1 CA 上的点 且 各点 各向量的坐标分别为 A a 0 0 B 0 0 0 C 0 a 0 CACQBCBP 3 1 3 1 1 111 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 BBBABCBBBCBCBABCBCCABCBPBQPQ 所以 所以a a a a 0 3 1 3 1 3 1 aaa aPQ 3 3 3 1 1 BCPQ 3 1 a a a a 0 所以 所以 PQ 为 AC 与 BC1的公垂线 3 1 CAPQ 3 1 CAPQBCPQ 1 段 所以两者距离为 3 3 a 例 13 如图 12 12 所示 在三棱维 S ABC 中 底面是边长为的正三角形 棱 SC 的24 长为 2 且垂直于底面 E D 分别是 BC AB 的中点 求 CD 与 SE 间的距离 分析 取 BD 中点 F 则 EF CD 从而 CD 平面 SEF 要求 CD 与 SE 间的距离就转化为求 点 C 到平面 SEF 间的距离 解 设此距离为 h 则由体积公式 3 1 3 1 SEFCEFSCEF ShVSSC 计算可得 S SEF 3 所以 3 CEF S 3 32 h 7 凸多面体的欧拉公式 例 14 一个凸多面体有 32 个面 每个面或是三角形或是五边形 对于 V 个顶点每个顶点 均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交 求 100P 10T V 解 因 F 32 所以 32 E V 2 所以 E V 30 因为 T P 个面相交于每个顶点 每个顶点 出发有 T P 条棱 所以 2E V T P 由此得 V T P 2 V 30 即 V T P 2 60 由于每个 三角形面有三条棱 故三角形面有个 类似地 五边形有个 又因为每个面或者 3 VT 5 VP 是三角形或者是五边形 所以 32 由此可得 3T 5P 16 它的唯一正整数解为 53 PT V T P 2 代入 V T P 2 60 得 V 30 所以 100P 10T V250 8 与球有关的问题 例 15 圆柱直径为 4R 高为 22R 问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个 解 最底层恰好能放两个球 设为球 O1和球 O2 两者相切 同时与圆柱相切 在球 O1 与球 O2上放球 O3与球 O4 使 O1O2与 O3O4相垂直 且这 4 个球任两个相外切 同样在球 O3 与球 O4上放球 O5与球 O6 直到不能再放为止 先计算过 O3O4与过 O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为 设RRR2 3 22 共装 K 层 则 22 Rh 证明 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH h AC 与 BD 间的距离为 d 作 AFBD 于点 F CN BD 于点 N 则 CN HF 在面 BCD 内作矩形 CNFE 连 AE 因为 BD CE 所以 BD 平面 ACE 所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d 在 AEF 中 AH 为边 EF 上的高 AE 边上的高 FG d 作 EMAF 于 M 则由 EC 平面 ABD 知 EM 为点 C 到面 ABD 的距离 因 EM 面 ABD 于是 EM AH h 在 Rt EMF 与 Rt AHF 中 由 EM AH 得 EF AF 又因为 AEH FEG 所以 2 所以 2d h EF EFAF EF AE FG AH d h 注 在前面例题中除用到教材中的公理 定理外 还用到了向量法 体积法 射影法 请 读者在解题中认真总结 三 基础训练题 1 正三角形 ABC 的边长为 4 到 A B C 的距离都是 1 的平面有 个 2 空间中有四个点 E F G H 命题甲 E F G H 不共面 命题乙 直线 EF 和 GH 不 相交 则甲是乙的 条件 3 动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发 沿棱运动 每条棱至多经过一次 则点 P 运动的最大距离为 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是面 ADD1A1 面 ABCD 的中心 G 为棱 CC1中点 直 线 C1E GF 与 AB 所成的角分别是 则 5 若 a b 为两条异面直线 过空间一点 O 与 a b 都平行的平面有 个 6 CD 是直角 ABC 斜边 AB 上的高 BD 2AD 将 ACD 绕 CD 旋转使二面角 A CD B 为 600 则异面直线 AC 与 BD 所成的角为 7 已知 PA平面 ABC AB 是 O 的直径 C 是圆周上一点且 AC AB 则二面角 A PC 2 1 B 的大小为 8 平面 上有一个 ABC ABC 1050 AC 平面 两侧各有一点 S T 26 2 使得 SA SB SC TA TB TC 5 则 ST 41 9 在三棱锥 S ABC 中 SA底面 ABC 二面角 A SB C 为直二面角 若 BSC 450 SB a 则经过 A B C S 的球的半径为 10 空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为 11 异面直线 a b 满足 a b b a 求证 12 四面体 SABC 中 SA SB SC 两两垂直 S0 S1 S2 S3分别表示 ABC SBC SCA SAB 的面积 求证 2 3 2 2 2 1 2 0 SSSS 13 正三棱柱 ABC A1B1C1中 E 在棱 BB1上 截面 A1EC侧面 AA1C1C 1 求证 BE EB1 2 若 AA1 A1B1 求二面角 EC A1 B1C1的平面角 四 高考水平训练题 1 三棱柱 ABC A1B1C1中 M 为 A1B1的中点 N 为 B1C 与 BC1的交点 平面 AMN 交 B1C1于 P 则 1 1 PC PB 2 空间四边形 ABCD 中 AD 1 BC 且 ADBC BD AC 则 AC 与 BD 所成3 2 13 2 3 的角为 3 平面 平面 直线 AB 点 C 点 D BAC 450 BAD 600 且 CDAB 则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为 4 单位正方体 ABCD A1B1C1D1中 二面角 A BD1 B1大小为 5 如图 12 13 所示 平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角 MN 的棱 MN 上 点 B C D 都在 上 且 AB 2AD DAN 450 BAD 600 若 ABCD 在半平面 上射影为 为菜 则二面角 MN 6 已知异面直线 a b 成角为 点 M A 在 a 上 点 N B 在 b 上 MN 为公垂线 且 MN d MA m NB n 则 AB 的长度为 7 已知正三棱锥 S ABC 侧棱长为 4 ASB 450 过点 A 作截面与侧棱 SB SC 分别交于 M N 则截面 AMN 周长的最小值为 8 l1与 l2为两条异面直线 l1上两点 A B 到 l2的距离分别为 a b 二面角 A l2 B 大 小为 则 l1与 l2之间的距离为 9 在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA PB PC 则 PA2 PB2 PC2 10 过 ABC 的顶点向平面 引垂线 AA1 BB1 CC1 点 A1 B1 C1 则 BAC 与 B1A1C1的大小关系是 11 三棱锥 A BCD 中 ACB ADB 900 ABC 600 BAD 450 二面角 A CD B 为直角 二面角 1 求直线 AC 与平面 ABD 所成的角 2 若 M 为 BC 中点 E 为 BD 中点 求 AM 与 CE 所成的角 3 二面角 M AE B 的大小 12 四棱锥 P ABCD 底面是边长为 4 的正方形 PD底面 ABCD PD 6 M N 分别是 PB AB 的中点 1 求二面角 M DN C 的大小 2 求异面直线 CD 与 MN 的距离 13 三棱锥 S ABC 中 侧棱 SA SB SC 两两互相垂直 M 为 ABC 的重心 D 为 AB 中点 作与 SC 平行的直线 DP 证明 1 DP 与 SM 相交 2 设 DP 与 SM 的交点为 则 D 为三棱锥 S ABC 外接球球心 D 五 联赛一试水平训练题 1 现有边长分别为 3 4 5 的三角形两个 边长分别为 4 5 的三角形四个 边长41 分别为 4 5 的三角形六个 用上述三角形为面 可以拼成 个四面体 2 6 5 2 一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形 这两个多面体 的内切球的半径之比是一个既约分数 那么 mn n m 3 已知三个平面 每两个平面之间的夹角都是 且 a 2 0 命题甲 命题乙 a b c 相交于一点 则甲是乙的cb 3 条件 4 棱锥 M ABCD 的底面是正方形 且 MAAB 如果 AMD 的面积为 1 则能放入这个棱 锥的最大球的半径为 5 将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起 恰得到一个所有二面角都相等的六面体 并且该六面体的最短棱长为 2 则最