2011届高三数学一轮复习 第十一章计数原理与概率测试题 新人教版

第十一章第十一章 计数原理与概率 随机变量及其分布计数原理与概率 随机变量及其分布 理理 概率概率 文文 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 把红桃 黑桃 方块 梅花四张纸牌随机发给甲 乙 丙 丁四个人 每人分得一张 事件 甲分得梅花 与事件 乙分得梅花 是 A 对立事件 B 不可能事件 C 互斥但不对立事件 D 以上答案均不对 解析 四张纸牌分发给四人 每人一张 甲和乙不可能同时分得梅花 所以是互斥事件 但也 有可能丙或丁分得梅花 故不是对立事件 答案 C 2 有四个游戏盘 如果撒一粒黄豆落在阴影部分 则可中奖 小明希望中奖 他应当选择的游戏 盘为 解析 A 游戏盘的中奖概率为 3 8 B 游戏盘的中奖概率为 1 3 C 游戏盘的中奖概率为 22 2 2 4 2 4 rr r D 游戏盘的中奖概率为 2 2 1r r A 游戏盘的中奖概率最大 答案 A 3 理 某班级要从 4 名男生 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务 如果要求至少有 1 名女生 那么不同的选派方案种数为 A 14 B 24 C 28 D 48 解析 法一 4 人中至少有 1 名女生包括 1 女 3 男及 2 女 2 男两种情况 故不同的选派方案种 数为 C C C C 2 4 1 6 14 1 23 42 22 4 法二 从 4 男 2 女中选 4 人共有 C 种选法 4 名都是男生的选法有 C 种 故至少有 1 名女生 4 64 4 的选派方案种数为 C C 15 1 14 4 64 4 答案 A 文 在 ABC中 D是BC的中点 向 ABC内任投一点 那么点落在 ABD内的概为 A B C D 1 3 1 2 1 4 1 6 解析 因为D是BC的中点 所以S ABD S ABC 1 2 所以点落在 ABD内的概率为 1 2 答案 B 4 理 2009 辽宁高考 从 5 名男医生 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队 要求其 中男 女医生都有 则不同的组队方案共有 A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 解析 分恰有 2 名男医生和恰有 1 名男医生两类 从而组队方案共有 C C C C 70 2 51 41 52 4 种 答案 A 文 两个骰子的点数分别为b c 则方程x2 bx c 0 有两个实根的概率为 A B C D 1 2 15 36 19 36 5 6 解析 共有 36 个结果 方程有解 则 b2 4c 0 b2 4c 满足条件的数记为 b2 4c 共有 4 4 9 4 9 8 16 4 16 8 16 12 16 16 25 4 25 8 25 12 25 16 25 20 25 24 36 4 36 8 36 12 36 16 36 20 36 24 19 个结果 P 19 36 答案 C 5 理 2009 重庆高考 8的展开式中x4的系数是 x2 2 x A 16 B 70 C 560 D 1 120 解析 由二项展开式通项公式得Tk 1 C x2 8 k k 2kC x16 3k 由 16 3k 4 得k 4 则 k8 2 x k8 x4的系数为 24C 1 120 4 8 答案 D 文 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过 假设每一辆带走站上的所有乘客 乘客到达汽车 站的时间是任意的 则乘客候车时间不超过 3 分钟的概率为 A B C D 2 5 3 5 1 2 3 4 解析 P 5 2 5 3 5 答案 B 6 若A B为一对对立事件 其概率分别为P A P B 则x y的最小值为 4 x 1 y A 9 B 10 C 6 D 8 解析 由已知得 1 x 0 y 0 4 x 1 y x y x y 5 9 4 x 1 y 4y x x y 答案 A 7 理 从数字 0 1 2 3 5 7 8 11 中任取 3 个分别作为Ax By C 0 中的A B C A B C互不 相等 的值 所得直线恰好经过原点的概率为 A B C D 41 335 1 8 5 28 3 8 解析 P 7 6 8 7 6 1 8 答案 B 文 一块各面均涂有油漆的正方体被据成 1 000 个大小相同的小正方体 若将这些小正方体均 匀地搅混在一起 则任意取出一个 其两面涂有油漆的概率是 A B C D 1 12 1 10 3 25 12 125 解析 每条棱上有 8 块 共 8 12 96 块 概率为 8 12 1 000 12 125 答案 D 8 在区域Error 内任取一点P 则点P落在单位圆x2 y2 1 内的概率为 A B C D 2 8 6 4 解析 区域为 ABC内部 含边界 则概率为 P 2 1 4 2 22 2 ABC S S 半半圆圆 答案 D 9 理 在 x2 n的展开式中 常数项为 15 则n 1 x A 3 B 4 C 5 D 6 解析 对于二项式的展开式问题 关键要考虑通项 第k 1 项Tk 1 C 2 nk x k C k n 1 x 23 1 k nk x 应有 2n 3k 0 n 而n是正整数 故k 2 4 6 结合题目给的已知 k n 3k 2 条件 常数项为 15 验证可知k 4 n 6 答案 D 文 已知直线y x b的横截距在 2 3 范围内 则直线在y轴上的截距b大于 1 的概 率是 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 解析 P 2 1 2 3 1 5 答案 A 10 理 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同 且 1 和 2 相邻 这样的六位数的个数是 A 40 B 60 C 80 D 10 解析 若个位数是偶数 当 2 在个位时 则 1 在十位 共有 A A 4 个 2 2 2 2 当 2 不在个位时 共有 A A A A 16 个 1 21 22 22 2 所以若个位是偶数 有 4 16 20 个六位数 同理 若个位数是奇数 有 20 个满足条件的六位数 因此 这样的六位数的个数是 40 答案 A 文 若书架上放有中文书 5 本 英文书 3 本 日文书 2 本 由书架上抽出一本外文书的概率为 A B C D 1 5 3 10 2 5 1 2 解析 P 5 10 1 2 答案 D 11 理 口袋中有 4 个白球 n个红球 从中随机地摸出两个球 这两个球颜色相同的概率大于 0 6 则n的最小值为 A 13 B 14 C 15 D 16 解析 由已知条件可得 0 6 C2 4 C2n C 2n 4 解之得n 12 或n90 时的概率为 解析 P 2 15 5 22 3556 答案 5 56 15 理 2010 安徽师大附中模拟 a 0 sinx cosx dx则二项式 a 6展开式中含x2 x 1 x 的项的系数是 解析 a 0 sinx cosx dx sinx cosx 0 sin cos sin0 cos0 0 1 0 1 2 又 Tr 1 C a 6r a r r6x 1 x C 6r a 1 rx r6 6 r 2 r 2 C 6r a 1 r 3r x r6 由 3 r 2 解r 1 x2项的系数为 Ca5 192 1 6 答案 192 文 如图所示 a b c d是四处处于断开状态的开关 任意将其中两个闭合 则电路被接 通的概率为 解析 上个开关任意闭合 2 个 有ab ac ad bc bd共 6 种方案 电路被接通的条件是 开关d必须闭合 开关a b c中有一个闭合即电路被接通有 ad bd和cd共 3 种方案 所以所求的概率是 31 62 答案 1 2 16 已知中心在原点 焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx y 0 若m在集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中任意取一个值 使得双曲线的离心率大于 3 的概率是 解析 由题意知m e 仅当m 1 或 2 时 1 e3 时的概率P b a1 m2 7 9 答案 7 9 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设A x y 1 x 6 1 y 6 x y N 1 求从A中任取一个元素是 1 2 的概率 2 从A中任取一个元素 求x y 10 的概率 3 理 设Y为随机变量 Y x y 求E Y 解 1 设从A中任取一个元素是 1 2 的事件为B 则P B 所以从A中任取一个元素是 1 36 1 2 的概率为 1 36 2 设从A中任取一个元素 x y 10 的事件为C 则有 4 6 6 4 5 5 5 6 6 5 6 6 共 6 种情况 于是P C 1 6 所以从A中任取一个元素 x y 10 的概率为 1 6 3 理 Y可能取的值为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P Y 2 P Y 3 P Y 4 1 36 2 36 3 36 P Y 5 P Y 6 P Y 7 4 36 5 36 6 36 P Y 8 P Y 9 P Y 10 5 36 4 36 3 36 P Y 11 P Y 12 2 36 1 36 则E Y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 7 18 本小题满分 12 分 如图 已知AB是半圆O的直径 AB 8 M N P是将半圆圆周四等分的三个分点 1 从A B M N P这 5 个点中任取 3 个点 求这 3 个点组成直角 三角形的概率 2 在半圆内任取一点S 求三角形SAB的面积大于 8的概率 2 解 1 从A B M N P这 5 个点中任取 3 个点 一共可以组成 10 个三角形 ABM ABN ABP AMN AMP ANP BMN BMP BNP MNP 其中是直角三角形的只有 ABM ABN ABP 3 个 所以这 3 个点组成直角三角形的概率P 3 10 2 连结MP 取线段MP的中点D 则OD MP 易求得OD 2 2 当S点在线段MP上时 S ABS 1 2 22 8 82 所以只有当 S 点落在阴影部分时 三角形 SAB 面积才能大于 82 而 S阴影 S扇形 OMP S OMP 1 2 2 42 1 2 42 4 8 所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于 82的概率P 482 82 19 理 本小题满分 12 分 某车间准备从 10 名工人中选配 4 人到某生产线工作 为了安全生产 工厂规定 一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人 已知这 10 名工人中有熟练工 8 名 学徒 工 2 名 1 求工人的配置合理的概率 2 为了督促其安全生产 工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检 求两次检 验得到的结果不一致的概率 解 1 一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人有 C C C 种选法 工人的配置合理的 4 83 8 1 2 概率 C4 8 C3 8C1 2 C 4 10 13 15 2 两次检验是相互独立的 可视为独立重复试验 因两次检验得出工人的配置合理的概率均 为 故 两次检验得出的结果不一致 即两次检验中恰有一次是合格的概率为 C 1 13 151 2 13 15 13 15 52 225 文 本小题满分 12 分 投掷一个质地均匀的 每个面上标有一个数字的正方体玩具 它的六 个面中 有两个面标的数字是 0 两个面标的数字是 2 两个面标的数字是 4 将此玩具连续 抛掷两次 以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标 1 求点P落在区域 C x2 y2 10 内的概率 2 若以落在区域 C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M 在区域 C 上随机撒一粒豆 子 求豆子落在区域M上的概率 解 1 点 P 的坐标有 0 0 0 2 0 4 2 0 2 2 2 4 4 0 4 2 4 4 共 9 种 其中落在区域 C x2 y2 10 上的点P的坐标有 0 0 0 2 2 0 2 2 共 4 种 故点P落在区域 C x2 y2 10 内 的 概率为 4 9 2 区域 M 为一边长为 2 的正方形 其面积为 4 区域 C 的面积为 10 则豆子落在区域 M 上 的概率为 2 5 20 理 本小题满分 12 分 用红 黄 蓝 白 橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃 要 求同一区域上用同一种颜色的鲜花 相邻区域使用不同颜色的鲜花 1 求恰有两个区域用红色鲜花的概率 2 记花圃中红色鲜花区域的块数为X 求X的分布列及其数学期望 解 1 设M表示事件 恰有两个区域用红色鲜花 如图 当区域A D同色时 共有 5 4 3 1 3 180 种 当区域A D不同色时 共有 5 4 3 2 2 240 种 A BCE D 因此 所有基本事件总数为 180 240 420 种 它们是等可能的 又因为A D为红色时 共有 4 3 3 36 种 B E为红色时 共有 4 3 3 36 种 因此 事件M包含的基本事件有 36 36 72 种 所以 恰有两个区域用红色鲜花的概率P M 72 420 6 35 2 随机变量X的取值分别为 0 1 2 则当X 0 时 用黄 蓝 白 橙四种颜色来涂色 若A D为同色时 共有 4 3 2 1 2 48 种 若A D为不同色时 共有 4 3 2 1 1 24 种 即X 0 所包含的基本事件有 48 24 72 种 所以P X 0 72 420 6 35 由第 1 问得P X 2 6 35 所以P X 1 1 6 35 6 35 23 35 从而随机变量X的分布列为 X012 P 6 35 23 35 6 35 所以 E X 0 1 2 1 6 35 23 35 6 35 文 本小题满分 12 分 在一个盒子中 放有标号分别为 1 2 3 的三张卡片 现从这个盒子中 有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x y 记z x 2 y x 求z的所有可能的取 值 并求出z取相应值时的概率 解 z的所有可能取值为 0 1 2 3 当z 0 时 只有x 2 y 2 这一种情况 当z 1 时 有x 1 y 1 或x 2 y 1 或x 2 y 3 或x 3 y 3 四种情况 当z 2 时 有x 1 y 2 或x 3 y 2 两种情况 当z 3 时 有x 1 y 3 或x 3 y 1 两种情况 有放回地抽两张卡片的所有情况有 9 种 P z 0 P z 1 P z 2 1 9 4 9 2 9 P z 3 2 9 21 理 本小题满分 12 分 2009 陕西高考 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表 示 据统计 随机变量X的概率分布如列下 1 求a的值和X的数学期望 2 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响 求该企业在这两个月内共被消费者投 诉 2 次的概率 X0123 P0 10 32aa 解 1 由概率分布的性质有 0 1 0 3 2a a 1 解得a 0 2 X的概率分布列为 X0123 P0 10 30 40 2 E X 0 0 1 1 0 3 2 0 4 3 0 2 1 7 2 设事件A表示 两个月内共被投诉 2 次 事件A1表示 两个月内有一个月被投诉 2 次 另外一个月被投诉 0 次 事件A2表示 两个月内每个月均被投诉 1 次 则由事件的独立性得 P A1 CP X 2 P X 0 2 0 4 0 1 0 08 1 2 P A2 P X 1 2 0 32 0 09 P A P A1 P A2 0 08 0 09 0 17 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0 17 文 本小题满分 12 分 甲 乙两人玩一种游戏 每次由甲 乙各出 1 到 5 根手指 若和为偶 数算甲赢 否则算乙赢 1 若以A表示和为 6 的事件 求P A 2 现连玩三次 若以B表示甲至少赢一次的事件 C表示乙至少赢两次的事件 试问B与C 是否为互斥事件 为什么 3 这种游戏规则公平吗 试说明理由 解 1 基本事件空间与点集S x y x N y N 1 x 5 1 y 5 中的元素一一对 应 因为S中点的总数为 5 5 25 个 所以基本事件总数为n 25 事件A包含的基本事件数共 5 个 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 所以P A 5 25 1 5 2 B与C不是互斥事件 因为事件B与C可以同时发生 如甲赢一次 乙赢两次 3 这种游戏规则不公平 由 1 知和为偶数的基本事件为 13 个 所以甲赢的概率为 乙赢 13 25 的概率为 12 25 所以这种游戏规则不公平 22 理 本小题满分 14 分 一个口袋里有 2 个红球和 4 个黄球 从中随机地连取 3 个球 每次取 一个 记事件A 恰有一个红球 事件B 第 3 个是红球 求 1 不放回时 事件A B的概率 2 每次抽后放回时 A B的概率 解 1 由不放回抽样可知 第一次从 6 个球中取一个 第二次只能从 5 个球中取一个 第三 次从 4 个球中取一个 基本事件共 6 5 4 120 个 又事件A中含有基本事件 3 2 4 3 72 个 第一个是红球 则第 2 3 个是黄球 取法有 2 4 3 种 第 2 个是红球 和第 3 个是红球取法一样多 P A 72 120 3 5 第 3 次取到红球对前两次没有什么要求 因为红球数占总球数的 每一次取到都是随机地等可能事件 1 3 P B 1 3 2 由放回