北京第十八中学高三数学第一轮复习 7 不等式证明教学案（教师版）

用心 爱心 专心 1 教案教案 7 7 不等式证明不等式证明 一 课前检测一 课前检测 1 若 则的最小值是 0 x x x 4 32 342 2 已知 且 则的最大值为 B 1 x1 y4lglg yxyxlglg A 4B 2C 1D 4 1 3 设 是正实数 则下列不等式中不成立的是 D ab A B 22 1 ab ba4 11 ba ba C D ba ab ba 22 ab ba ab 2 4 设 x y 为正数 则 x y 的最小值为 B 1 x 4 y A 6 B 9 C 12 D 15 二 知识梳理二 知识梳理 1 比较法是证明不等式的一个最基本的方法 分 两种形式 比差 比商 1 作差比较法 它的依据是 baba baba baba 0 0 0 它的基本步骤 差的变形的主要方法有配方法 分解因式法 分子 有理化等 作差 变形 判断 2 作商比较法 它的依据是 用心 爱心 专心 2 若a 0 b 0 则 ba b a ba b a ba b a 1 1 1 它的基本步骤是 作商 变形 判断商与 1 的大小 它在证明幂 指数不等式中经常 用到 2 2 综合法 综合法证题的指导思想是 由因导果 即从已知条件或基本不 等式出发 利用不等式的性质 推出要证明的结论 3 3 分析法 分析法证题的指导思想是 由果索因 即从求证的不等式出 发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的 问题 如果能够确定这些充分条件都已具备 那么就可以判定所要证的不等式成立 三 典型例题分析三 典型例题分析 例例 1 1 已知0 0 ba 求证 ba a b b a 证法证法 1 1 ba a b b a ab abbaba 33 ab bababa 2 22 ab baba 2 ba 0 ab 0 0 2 ba 0 ba a b b a 即 ba a b b a 证法证法 2 2 ab abba abba ba ba a b b a 33 用心 爱心 专心 3 1 1 2 ab ba ba a b b a 故原命题成立 证毕 变式训练变式训练 1 1 已知 a b x y R R 且 a 1 b 1 x y 求证 ax x by y 解 证法一解 证法一 作差比较法 ax x by y byax aybx 又 a 1 b 1 且 a b R R b a 0 又 x y 0 bx ay byax aybx 0 即 ax x by y 证法二 证法二 分析法 x y a b R R 要证 ax x by y 只需证明 x y b y x a 即证 xb ya 由 a 1 b 1 0 b a 0 又 x y 0 知 xb ya 显然成立 故原不等式成立 例例 2 2 已知 a b R 求证 22 1 abbababa 证明证明 abba2 因此要证明原不等式成立 则只要证 21baba 由于 21baba 0 2 2 2 2 22 ba 所以 21baba 从而原不等式成立 变式训练变式训练 2 2 已知 a b c R 求证 cbabcba234 222 证明证明 左边 右边 cbabcba234