反三角函数及最简三角方程

反三角函数及最简三角方程反三角函数及最简三角方程 一 知识回顾 一 知识回顾 1 1 反三角函数 反三角函数 概念 概念 把正弦函数 时的反函数 成为反正弦函数 记作sinyx 2 2 x xyarcsin 不存在反函数 sin yx xR 含义含义 表示一个角 角 arcsin x 2 2 sinx 反余弦 反正切函数同理 性质如下表反余弦 反正切函数同理 性质如下表 其中 1 符号 arcsinx可以理解为 上的一个角 弧度 也可以理解 2 2 为区间 上的一个实数 同样符号 arccosx可以理解为 0 上的一 2 2 个角 弧度 也可以理解为区间 0 上的一个实数 2 y arcsinx等价于 siny x y y arccosx等价于 2 2 cosy x x 0 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据 3 恒等式 sin arcsinx x x 1 1 cos arccosx x x 1 1 tan arctanx x x R R arcsin sinx x x arccos cosx x x 0 2 2 名称函数式定义域值域奇偶性单调性 反正弦函数 xyarcsin 增 1 1 2 2 奇函数 增函数 反余弦函数 xyarccos 减 1 1 0 xxarccos arccos 非奇非偶 减函数 反正切函数 arctanyx R 增 2 2 奇函数 增函数 反余切函数 cotyarcx R 减 0 cot cotarcxarcx 非奇非偶 减函数 arctan tanx x x 的运用的条件 2 2 4 恒等式 arcsinx arccosx arctanx arccotx 的应用 2 2 2 2 最简单的三角方程最简单的三角方程 方程方程的解集 ax sin 1 a Zkakxx arcsin2 1 a Zkakxx k arcsin1 ax cos 1 a Zkakxx arccos2 1 a Zkakxx arccos2 tan xa arctan x xka kZ cot xa cot x xkarca kZ 其中 1 含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程 解三角方程就是确定三 角方程是否有解 如果有解 求出三角方程的解集 2 解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础 要在理解三角方程 的基础上 熟练地写出最简单的三角方程的解 3 要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用 如 若 则 若 则 sinsin sin 1 kk coscos 2k 若 则 若 则 tantan ak cotcot ak 4 会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况 和讨论 二 典型例题 二 典型例题 例例 1 函数 的反函数为 yxx sin 2 3 2 A yxx arcsin 11 B yxx arcsin 11 C yxx arcsin 11 D yxx arcsin 11 例例 2 函数 的图象为 yxx arccos cos 22 2 2 2 2 O 2 O 2 2 A B 1 1 2 2 O 2 O 2 1 C D 例例 3 函数 的值域为 yxx arccos sin 3 2 3 AB 6 5 6 0 5 6 CD 3 2 36 2 3 例例 4 4 使成立的x的取值范围是 arcsinarccosxx AB 0 2 2 2 2 1 CD 1 2 2 10 例例 5 5 若 则 0 22 arcsin cos arccos sin ABCD 222 2 2 2 例例 6 6 求值 1 2 3 sin 2arcsin 5 11 tanarccos 23 分析 arcsin arcsin sin 3 522 3 5 表示 上的角 若设 则易得 3 5 2 原题即是求的值 这就转化为早已熟悉的三角求值问题 解决此类sin 问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序 利用换元思想转化为三角求值 例例 7 7 画出下列函数的图像 1 2 arcsin sin xy 1 1 sin arccos xxy 例例 8 8 已知求 用反三角函 2 3 13 5 sin 2 0 25 7 2cos 数表示 分析 可求的某一三角函数值 再根据的范围 利用反 三角函数表示角 例例 9 9 已知函数 2 arccos f xxx 1 求函数的定义域 值域和单调区间 2 解不等式 21 f xfx 例例 10 10 写出下列三角方程的解集 1 2 3 2 sin 82 x 2cos310 x cot3x 例例 11 11 求方程在上的解集 tan 3 3 4 x 0 2 例例 12 12 解方程 2 2sin3cos10 xx 例例 13 13 解方程 3sin2cos0 xx 22 2sin3sin cos2cos0 xxxx 例例 14 14 解方程 1 2 3sin2cos21xx 5sin312cos36 5xx 思考 思考 引入辅助角 化为最简单的三角方程 例例 15 15 解方程 2 2sin3cos0 xx 例例 16 16 解方程 tan tan 2cot 44 xxx 例例 17 17 已知方程在区间上有且只有两个不同的解 sin3cos0 xxa 0 2 求实数a的取值范围 说明说明 对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程 可直接利用以下关系得对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程 可直接利用以下关系得 到方程的解 到方程的解 1 则 则或或 sinsin 2k 2 kkZ 2 则 则或或 coscos 2k 2 kkZ 3 则 则 tantan kkZ 三 同步练习 三 同步练习 反三角函数反三角函数 1 的值是 3 arctan tan 5 A B C D 3 5 2 5 2 5 3 5 2 下列关系式中正确的是 A B 55 cos cos 44 arc sin arcsin 33 C D cos coscoscos 44 arcarc 1 tan 2 cot 2 arcarc 3 函数的定义域是 arcsin tan f xx A B 4 4 44 kkkZ C D 1 44 kkkZ 2 2 44 kkkZ 4 在上和函数相同的函数是 3 1 2 yx A B C D arccos cos yx arcsin sin yx sin arcsin yx cos arccos yx 5 函数的反函数是 arctan 2 x y 6 求在上的反函数 sinyx 3 22 7 比较与的大小 5 arccos 4 1 cot 2 arc 8 研究函数的定义域 值域及单调性 2 arccosyxx 9 计算 45 cos arccosarccos 513 10 求下列函数的定义域和值域 1 y arccos 2 y arcsin x2 x 3 y arccot 2x 1 x 1 11 求函数y arccosx 2 3arccosx的最值及相应的x的值 简单的三角方程简单的三角方程 1 解下列方程 1 2 2 tan1x sin5sin3xx 2 方程 sin2x sinx在区间 0 2 内的解的个数是 3 1 方程 tan3x tgx的解集是 2 方程 sinx cosx 在区间 0 4 上的所有的解的和是 2 2 4 解方程 22 2 3 sinsin coscos0 3 xxxx 参考答案 典型例题 例 1 分析与解 分析与解 2 3 2 x xx 22 需把角 转化至主值区间 22 xxxy 又sin sin 由反正弦函数定义 得 xyarcsin xyy arcsin 又由已知得11 所求反函数为 yxx arcsin11 例 2 分析与解 分析与解 解析式可化简为 yx xx xx arccos cos 0 2 2 0 即 显然其图象应为 y xx xx A 0 2 2 0 例 3 分析与解 分析与解 欲求函数值域 需先求 的值域 uxx sin 3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 2 1xxu 即sin 而在 上为减函数yu arccos11 arccos arccosarccos 3 2 1u 即 故选 0 5 6 yB 例 4 分析与解 分析与解 该题研究不等关系 故需利用函数的单调性进行转化 又因为求 x 的取值 范围 故需把 x 从反三角函数式中分离出来 为此只需对 arcsinx arccosx 同 时取某一三角函数即可 不妨选用正弦函数 若 则 而 xxx 0 2 0 2 arcsinarccos 此时不成立 故arcsinarccosxxx 0 若 则 xxx 00 2 0 2 arcsinarccos 而在区间 上为增函数yx sin0 2 又arcsinarccossin arcsin sin arccos xxxx 即 解不等式 得xxx 1 2 2 2 又 故选 01 2 2 1 xxB 例 5 分析与解 分析与解 这是三角函数的反三角运算 其方法是把角化到相应的反三 角函数的值域内 arcsin cos arcsin sin arcsin sin 2 arccos sin arccos sin arccos sin arccos cos 222 原式 故选 22 A 例 6 解 解 设 则1 3 5 3 5 arcsin sin 22 1 4 5 2 cossin sinsincos 222 3 5 4 5 24 25 即sinarcsin 2 3 5 24 25 设 则2 1 3 1 3 arccoscos 01 2 2 3 2 sincos tg 2 1 1 1 3 2 2 3 2 2 cos sin 即tg 1 2 1 3 2 2 arccos 例 7 1 函数是以为周期的周期函数 2 当时 2 2 xxx arcsin sin 当时 其图像是折线 如图所示 2 3 2 xxx arcsin sin 2 0 arccos x 1 1 arccoscos1 22 xxxy 其图像为单位圆的上半圆 包括端点 如图所示 例 8 解 2 0 5 4 cos 5 3 2 2cos1 sin 又 2 3 13 12 2sin1cos 65 56 13 5 5 4 13 12 5 3 sincoscossin sin 2 2 5 3 sin 2 0 4 0 又 2 3 13 5 sin 13 5 arcsin 又 413 5 arcsin0 4 5 2 3 从而 65 56 arcsin 讲评 由题设 得由计算 2 3 2 0 2 65 56 sin 但是确定的角 因而 65 56 arcsin2 65 56 arcsin 或 的值也是唯一确定的 所以必须确定所在的象限 在以上的解法中 由的范围 再根据的值 进一步得到从而 cos sin 4 5 4 0 确定 故得出正确的答案 2 3 65 56 arcsin 例 9 解 1 由得 又11 2 xx 2 51 2 51 x y x 1 4 1 4 1 2 1 22 xxx 的定义域为 值域为 xf 2 51 2 51 4 1 arccos 0 又 时 单调递减 单调递减 从而 2 1 2 51 xxxxg 2 xyarccos 递增 xf 的单调递增区间是 同理的单调递减区间是 xf 2 1 2 51 xf 2 51 2 1 2 2 1 2 2 1 2arccos arccos 2 1 2 22 xxxxxfxf即 即 4 1 4arccos arccos 22 xxx 解不等式组得 不等式的解集为 4 1 4 1 4 1 41 11 22 2 2 xxx x xx 6 1 2 1 x 6 1 2 1 例 10 解集 x x k arctg3 2 k Z 例 11 说明说明 如何求在指定区间上的解集 1 先求出通解 2 让 k 取适当的整数 一一求出在指定区间上的特解 3 写指定区间上的解 例 12 解 方程化为 2 2cos3cos30 xx 说明说明 可化为关于某一三角函数的二次方程 然后按二次方程解 例 13 除以 cos2x 化为 2tg2x 3tgx 2 0 说明说明 关于 sinx cosx 的齐次方程的解法 方程两边都除 cosnx n 1 2 3 cosx 0 不是方程的解 转化为关于 tgx 的方程来 解 例 14 思考 思考 引入辅助角 化为最简单的三角方程 2x 30 k180 1 k30 x k90 1 k15 15 k Z 所以解集是 x x k90 1 k15 15 k Z 于是 x k60 1 k10 22 38 k Z 原方程的解集为 x x k60 1 k10 22 38 k Z 最简单的三角方程 例 15 解 原方程可化为 2 2 1 cos 3cos0 xx 即 2 2cos3cos20 xx 解这个关于的二次方程 得cosx cos2x 1 cos 2 x 由 得解集为 cos2x 由 得解集为 1 cos 2 x 2 2 3 x xkkZ 所以原方程的解集为 2 2 3 x xkkZ 说明说明 方程中的方程中的可化为可化为 这样原方程便可看成以 这样原方程便可看成以为未知数为未知数 2 sin x 2 1 cos x cosx 的一元二次方程 当的一元二次方程 当时 可用因式分解将原方程转化成两个最简方程 从时 可用因式分解将原方程转化成两个最简方程 从0 而求得它们的解 而求得它们的解 例 16 解 tg x tg x 2ctgx 4 4 x x tg1 tg1 x x tg1 tg1 xtg 2 去分母整理得 tg2x tgx x k k Z 3 1 3 3 6 由 根据定义知x k x k x k k Z 4 2 4 2 即 x k x k x k 而 中又增加了限制条件x k 4 4 3 k Z 2 即从 到 有可能丢根 x k 经验算x k 是原方程的根 2 2 原方程的解集是 x x x k 或x k k Z 6 2 例 17 解 由 sinx cosx a 0 得 2sin x a sin x 3 3 3 2 a 2 a 2 x 0 2 x 2 3 3 3 又原方程有且只有两个不同的解 a 2 a 2 即 a 2 时 原方程 只有一解 又当a 时 sin x 得x 或或 3 3 2 3 3 3 3 2 3 7 解得x 0或x 或x 2 此时原方程有三个解 a 2 3 3 2 3 同步练习同步练习 CCBB 7 51 arccoscot 42 arc 10 解 1 y arccos 0 1 0 arccot 2x 1 4 3 x R y 0 4 3 11 解 函数y arccosx 2 3arccosx x 1 1 arccosx 0 设 arccosx t 0 t y t2 3t t 2 2 3 4 9 当t 时 即x cos时 函数取得最小值 2 3 2 3 4 9 当t 时 即x 1 时 函数取得最大值 2 3 简单的三角方程简单的三角方程 1 解下列方程 2 5x 2k 3x 或 5x 2k 3x 或xk 21 8 k x kZ 解 作出函数y sin2x和y sinx的图象 由图象知 它们的交点有 3 个 3 解 1 tan3x tanx 3x x k x 由于定义域为 2 k 3x k x k 2 2 原方程的解集为 x x k k Z 2 sinx cosx sin x x 2k 或 2 2 4 2 1 4 6 x 2k 4 6 5 x 2k 或x 2k k Z 又x 0 4 所有的的解为 12 12 7 2 12 7 12 7 2 4 它们的和为 9 12 12 4 解一解一 因为 使的的值不可能满足原方程 所以在方程cos0 x cos0 x x 的两边同除以 得 2 cos x 2 2 3 tantan10 3 xx