（新编资料）2013-2014学年高中数学 2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案 新人教A版必修3

1 2 2 22 2 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 学习目学习目标标 1 正确理解样本数据标准差的意义和作用 学会计算数据的标准差 2 能根据实际问题的需要合理地选取样本 从样本数据中提取基本的数字特征 如平均数 标准 差 并做出合理的解释 3 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 形成对数据处理过程进行初步评价的意识 重点难点重点难点 教学重点 用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差 教学难点 能应用相关知识解决简单的实际问题 知识链接知识链接 一 复习回顾复习回顾 作频率分布直方图分几个步骤 各步骤需要注意哪些问题 二 创设情境创设情境 在一次射击比赛中 甲 乙两名运动员各射击 10 次 命中环数如下 甲运动员 7 8 6 8 6 5 8 10 7 4 乙运动员 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 观察上述样本数据 你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗 上节课我们学习了用图表的方法来研 究 为了从整体上更好地把握总体的规律 我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特 学习过程学习过程 众数 中位数 平均数 众数 一组数中出现次数最多的数 在频率分布直方图中 我们取最高的那个小长方形横坐标的 中点 中位数 当一组数有奇数个时等于中间的数 当有偶数个时等于中间两数的平均数 在频率分布 直方图中 是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标 平均数 将所有数相加再除以这组数的个数 在频率分布直方图中 等于每个小长方形的面积乘 以其底边中点的横坐标的和 思考探究 分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数 中位数 平均数 观察所得的数据 你发现了什么 问题 为什么会这样呢 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗 由此你有什么样的体会 答 1 从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样 因为频率分布直方图 损失了一部分样本信息 所以不如原始数据准确 2 众数和中位数不受极端值的影响 平均数反应样本总体的信息 容易受极端值的影响 练一练 假如你是一名交通部门的工作人员 你打算向市长报告国家对本市 26 个公路项目投资的平均资金 数额 其中一条新公路的建设投资为 2000 万元人民币 另外 25 个项目的投资是 20 100 万元 中 位数是 25 万元 平均数是 100 万元 众数是 20 万元 你会选择哪一种数字特征 来表示国 家对每一个项目投资的平均金额 解析 平均数 一 标准差 方差 在一次射击选拔比赛中 甲 乙两名运动员各射击 10 次 命中环数如下 甲运动员 7 8 6 8 6 5 8 10 7 4 乙运动员 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 观察上述样本数据 你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗 如果你是教练 选哪位选手去参加正 2 式比赛 我们知道 77xx 乙甲 两个人射击的平均成绩是一样的 那么 是否两个人就没有水平差距呢 观察 74 P图 2 2 7 直 观上看 还是有差异的 很明显 甲的成绩比较分散 乙的成绩相对集中 因此我们从另外的角度 来考察这两组数据 1 标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离 一般用 s 表示 思考探究 1 标准差的大小和数据的离散程度有什么关系 2 标准差的取值范围是什么 标准差为 的样本数据有什么特点 答 1 显然 标准差较大 数据的离散程度较大 标准差较小 数据的离散程度较小 2 从标准差的定义和计算公式都可以得出 0s 当0s 时 意味着所有的样本数据 都等于样本平均数 2 方差 在刻画样本数据的分散程度上 方差和标准差是一样的 但在解决实际问题时 一般多采用标准差 四 例题精析四 例题精析 例 1 农场种植的甲乙两种水稻 在面积相等的两块稻田连续 6 年的年平均产量如下 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 那种水稻的产量比较稳定 分析 采用求标准差的方法 解 900 6 890860850950960890 900 6 920910850900920900 乙 甲 x x 57 3 10 6 3400 900920900910900850900900900920900900 6 1 222222 甲 s 222 12 1 n sxxxxxx n 2222 12 1 n sxxxxxx n 3 ZXXK 1410 6 8400 900890900860900850900950900960900890 6 1 222222 乙 s 乙甲乙甲 ss xx 所以甲水稻的产量比较稳定 点评 在平均值相等的情况下 比较方差或标准差 变式训练 在某项体育比赛中 七位裁判为一选手打出的分数如下 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 A 92 2 B 92 2 8 C 93 2 D 93 2 8 答案 B 解析 由题意知 所剩数据为 90 90 93 94 93 所以其平均值为 90 1 343 5 92 方差为 222 1 22 122 5 2 8 故选 B 例 2 例 1 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量 产品数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图 3 则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 的人数是 2 这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数 3 这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数 55 65 65 75 75 85 45 55 85 95 55 75 4 649005 0 801 07025 0 604 0502 0 3 5 62 5 004 0 552 02 132010025 0 1004 0 1 解 x x 点评 在直方图中估计中位数 平均数 变式训练 变式训练 某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下 等待时间 分钟 5 0 10 5 15 10 20 15 25 20 人数 48521 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 x 病人等待时间的标准差的 估计值s 五 反馈测评五 反馈测评 1 在一次知识竞赛中 抽取 20 名选手 成绩分布如下 成绩 678910 人数分布 12467 则选手的平均成绩是 A 4 B 4 4 C 8 D 8 8 2 8 名新生儿的身长 cm 分别为 50 51 52 55 53 54 58 54 则新生儿平均身长的估计 为 约有一半的新生儿身长大于等于 新生儿身长的最可能 值是 3 3 样本 1021 xxx的平均数为 5 方差为 7 则 3 13 13 1 1021 xxx的平均数 方差 标准差分别为 4 某工厂甲 乙两个车间包装同一产品 在自动包装传送带上每隔 30min 抽一包产品 称其重量 是否合格 分别记录抽查数据如下 甲车间 102 101 99 103 98 99 98 乙车间 110 105 90 85 75 115 110 1 这样的抽样是何种抽样方法 2 估计甲 乙两车间的均值与方差 并说明哪个车间的产品较稳定 学习反思学习反思 1 在频率分布直方图中 如何求出众数 中位数 平均数 2 标准差的公式 标准差的大小和数据的离散程度有什么关系 5 6 2 2 22 2 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征 导学案导学案 学习目标学习目标 1 能说出样本数据标准差的意义和作用 会计算数据的标准差 2 能根据实际问题的需要合理地选取样本 从样本数据中提取基本的数字特征 如平均数 标准 差 并做出合理的解释 3 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 形成对数据处理过程进行初步评价的意识 学法指导学法指导 一 预习目标 通过预习 初步理解众数 中位数 平均数 标准差 方差的概念 二 预习内容 1 知识回顾 作频率分布直方图分几个步骤 各步骤需要注意哪些问题 2 众数 中位数 平均数的概念 众 数 中位数 平均数 3 众数 中位数 平均数与频率分布直方图的关系 众数在样本数据的频率分布直方图中 就是 中位数左边和右边的直方图的 应该相等 由此可估计中位数的值 平均数是直方图的 4 标准差 方差 标准差 s 方 差 s2 三 提出疑惑 同学们 通过你的自主学习 你还有哪些疑惑 请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 学习过程学习过程 1 众数 中位数 平均数 思考 1 分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数 中位数 平均数 观察所得的数据 你发 现了什么问题 为什么会这样呢 思考 2 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗 由此你有什么样的体会 7 练一练 假如你是一名交通部门的工作人员 你打算向市长报告国家对本市 26 个公路项目投资的平均资金 数额 其中一条新公路的建设投资为 2000 万元人民币 另外 25 个项目的投资是 20 100 万元 中 位数是 25 万元 平均数是 100 万元 众数是 20 万元 你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一 个项目投资的平均金额 2 标准差 方差 在一次射击选拔比赛中 甲 乙两名运动员各射击 10 次 命中环数如下 甲运动员 7 8 6 8 6 5 8 10 7 4 乙运动员 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 观察上述样本数据 你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗 如果你是教练 选哪位选手去参加正 式比赛 思考 1 标准差的大小和数据的离散程度有什么关系 思考 2 标准差的取值范围是什么 标准差为 的样本数据有什么特点 3 典型例题 例 1 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量 产品 数量的分组区间为 由此得到频率分布直方图如图 3 则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 的人数是 55 65 65 75 75 85 45 55 85 95 55 75 8 2 这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数 3 这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数 例 2 农场种植的甲乙两种水稻 在面积相等的两块稻田连续 6 年的年平均产量如下 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 那种水稻的产量比较稳定 学习反思学习反思 1 在频率分布直方图中 如何求出众数 中位数 平均数 2 标准差的公式 标准差的大小和数据的离散程度有什么关系 基础达标基础达标 1 在一次知识竞赛中 抽取 20 名选手 成绩分布如下 成绩 678910 人数分布 12467 则选手的平均成绩是 A 4 B 4 4 C 8 D 8 8 2 8 名新生儿的身长 cm 分别为 50 51 52 55 53 54 58 54 则新生儿平均身长的估计 为 约有一半的新生儿身长大于等于 新生儿身长的最可能 值是 3 某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下 9 等待时间 分钟 5 0 10 5 15 10 20 15 25 20 人数 48521 用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 x 病人等待时间的标准差的 估计值s 4 样本 1021 xxx的平均数为 5 方差为 7 则 3 13 13 1 1021 xxx的平均数 方 差 标准差分别为 5 某工厂甲 乙两个车间包装同一产品 在自动包装传送带上每隔 30min 抽一包产品 称其重量 是否合格 分别记录抽查数据如下 甲车间 102 101 99 103 98 99 98 乙车间 110 105 90 85 75 115 110 1 这样的抽样是何种抽样方法 2 估计甲 乙两车间的均值与方差 并说明哪个车间的产品较稳定 拓展提升拓展提升 1 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 9 11 10 yx已知这组数据的平均数为 10 方差为 2 则yx 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解 由平均数公式为 10 得10 5 1 91110 yx 则20 yx 又由于方差为 2 则 2 5 1 109101110101010 22222 yx得 208 22 yx 1922 xy 所以有 42 22 2 xyyxyxyx 故选 D 2 某房间中 10 个人的平均身高为 1 74 米 身高为 1 85 米的第 11 个人 进入房间后 这 11 个人 的平均身高是多少 解 原来的 10 个人的身高之和为 17 4 米 所以 这 11 个人的平均身高为 11 85 11074 1 1 75 10 即这 11 个人的平均身高为 1075 米 例 4 若有一个企业 70 的人年