2011届高考数学预测 4导数及其应用

用心 爱心 专心 第四讲第四讲 导数及其应用导数及其应用 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 已知对任意实数x 有 fxf xgxg x 且0 x 时 0 0fxg x 则0 x 时 B A 0 0fxg x B 0 0fxg x C 0 0fxg x D 0 0fxg x 2 曲线 1 2 e x y 在点 2 4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 D 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 3 设 2 eln21 x p f xxxmx 在 0 内单调递增 5q m 则p是 q的 B 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 4 设 fx 是函数 f x的导函数 将 yf x 和 yfx 的图象画在同一个直角坐标 系中 不可能正确的是 D 5 函数 ln 0 f xxx x 的单调递增区间是 1 e 6 若直线 y x 是曲线 y x3 3x2 ax 的切线 则 a 高考要考什么高考要考什么 1 导数的定义 用心 爱心 专心 0 00000 0 00 0 2 limlimlim 2 xxxx f xxf xf xf xf xxf x fx xxxx 2 导数的几何意义 1 函数 yf x 在点 0 x处的导数 0 fx 就是曲线 yf x 在点 00 P xy处的切 线的斜率 2 函数 ss t 在点 0 t处的导数 0 S t 就是物体的运动方程 ss t 在时刻 0 t时的瞬 时速度 3 要熟记求导公式 导数的运算法则 复合函数的导数等 尤其注意 1 log log xe aa x 和 ln xx aaa 4 求函数单调区间的步骤 1 确定 f x 的定义域 2 求导数 y 3 令 y 0 y 0 时 f x 在相应区间上是增函数 当 y 0 令F x xf x 讨论F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当x 1 时 恒有x ln2x 2a ln x 1 解 根据求导法则有 2ln2 10 xa fxx xx 故 2ln20F xxfxxxax 于是 22 10 x F xx xx 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x A 极小值 2 F A 故知 F x在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在2x 处取得极小值 2 22ln22Fa 证明 由0a 知 F x的极小值 2 22ln220Fa 于是由上表知 对一切 0 x 恒有 0F xxfx 从而当0 x 时 恒有 0fx 故 f x在 0 内单调增加 所以当1x 时 1 0f xf 即 2 1 ln2 ln0 xxax 故当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 点晴点晴 本小题主要考查函数导数的概念与计算 利用导数研究函数的单调性 极值和证 明不等式的方法 考查综合运用有关知识解决问题的能力 范例范例 2 2 已知定义在正实数集上的函数 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 其中 0a 设两曲线 yf x yg x 有公共点 且在该点处的切线相同 I 用a表示 b 并求b的最大值 用心 爱心 专心 II 求证 f xg x 0 x 解 设 yf x 与 0 yg x x 在公共点 00 xy 处的切线相同 2fxxa 2 3 a g x x 由题意 00 f xg x 00 fxg x 即 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 由 2 0 0 3 2 a xa x 得 0 xa 或 0 3xa 舍去 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 22 5 3ln 0 2 h tttt t 则 2 1 3ln h ttt 于是 当 1 3ln 0tt 即 1 3 0te 时 0h t 当 1 3ln 0tt 即 1 3 te 时 0h t 故 h t在 1 3 0e 为增函数 在 1 3 e 为减函数 于是 h t在 0 的最大值为 12 33 3 2 h ee 设 22 1 23ln 0 2 F xf xg xxaxaxb x 则 F x 2 3 3 2 0 axa xa xax xx 故 F x在 0 a 为减函数 在 a 为增函数 于是函数 F x在 0 上的最小值是 000 0F aF xf xg x 故当0 x 时 有 0f xg x 即当0 x 时 f xg x 点晴点晴 本小题主要考查函数 不等式和导数的应用等知识 考查综合运用数学知识解决 问题的能力 变式 已知函数 0 ln aaexf x 1 求函数y f x 的反函数 1 xfxfy及 的导数 x f 用心 爱心 专心 2 假设对任意0 ln 4ln 3 ln 1 xfxfmaax不等式成立 求 实数 m 的取值范围 解 解 1 ln 0aye x axaexfy x ln ln 1 aeae e y xx x 1 1 2 0 ln 4ln 3 ln 1 xfxfmaax不等式 xfxfmxfxf lnln 11 ae e aem ae e ae x x x x x x lnlnlnln x x x xx e ae m ae aee 22 lnln x x m x xx e ae e ae aee 22 令 aatet t at tv at att tu x 4 3 22 2222 22 2 0 3 4 0 tatata v ttaa u t tta 所以 tvtu都是增函数 因此当 4 3 aat 时 tu的最大值为 5 12 4 tvaau 的最 小值为 3 8 3 aav 而不等式 成立当且仅当 3 4 aveau m 即aea m 3 8 5 12 于 是得 3 8 ln 5 12 ln ama 解法二 由0 ln 1 xfxfm得 ln ln ln ln xaeaemxaeae xxxx 设 ln ln ln ln xaeaexxaeaex xxxx 于是原不等式对于 4ln 3 ln aax 恒成立等价于 xmx 7 分 由1 1 ae e ae e x ae e ae e x x x x x x x x x 注意到 0aeeae xxx 故