北京市丰台区2013届高三数学一模试题 理（含解析）新人教A版

1 20132013 年北京市丰台区高考数学一模试卷 理科 年北京市丰台区高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题一 选择题 1 5 分 2013 丰台区一模 复数 z 在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 复数的代数表示法及其几何意义 专题 计算题 分析 利用复数的运算法则和几何意义即可得出 解答 解 复数 z 1 i 复数 z 在复平面内对应的点 1 1 位于第一象限 故选 A 点评 熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键 2 5 分 2013 丰台区一模 设 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 2a3 a4 0 则 A 2B 3C 4D 5 考点 等比数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 设公比为 q 由 2a3 a4 0 可得 2a1q2 a1q3 0 解得 q 2 由此求得 S3的值 从而 得到的结果 解答 解 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 设公比为 q 由 2a3 a4 0 2 可得 2a1q2 a1q3 0 即 q 2 S3 3a1 3 故选 B 点评 本题主要等比数列的通项公式 等比数列的前 n 项和公式 属于中档题 3 5 分 2013 丰台区一模 执行如图的程序框图 输出 k 的值是 A 3B 4C 5D 6 考点 程序框图 专题 计算题 分析 由已知可得 k 1 b 0 则 a 1 可得 不满足判断框的 条件 应继续循环 b 1 a 再计算判断是否满足 直到满足此条件即可停止 循环 输出 k 的值 解答 解 k 1 b 0 则 a 1 不满足判断框的条件 应继续循环 k 2 b 1 则 1 不满足判断框的条件 应继 续循环 3 k 3 b 则 则 1 满足判断框的条件 应停止 循环 故输出的 k 是 3 故选 A 点评 正确理解循环结构的功能和判断框的条件是解题的关键 4 5 分 2013 丰台区一模 已知变量 x y 满足约束条件 则 e2x y的最大值 是 A e3B e2C 1D e 4 考点 简单线性规划的应用 专题 计算题 不等式的解法及应用 分析 令 z 2x y 作出可行域 利用线性规划知识可求得 z 的最大值 进而可得 e2x y的最 大值 解答 解 作出可行域如下图阴影所示 由得 所以 B 1 0 令 z 2x y 则当直线 y 2x z 经过点 B 时该直线在 y 轴上的截距 z 最大 zmax 2 1 0 2 所以 e2x y的最大值是 e2 故选 B 点评 本题考查线性规划的简单应用及指数函数的单调性 考查学生灵活运用所学知识分 析解决问题的能力 4 5 5 分 2013 丰台区一模 已知命题 p x 0 3x 2x 命题 q x 0 3x 2x 则下列命题为真命题的是 A p qB p q C p q D p q 考点 复合命题的真假 专题 计算题 分析 由题意可知 p 真 q 假 由复合命题的真假可得答案 解答 解 由题意可知命题 p x 0 3x 2x 为真命题 而命题 q x 0 3x 2x 为假命题 即 q 为真命题 由复合命题的真假可知 p q 为真命题 故选 B 点评 本题考查复合命题的真假 涉及全称命题和特称命题真假的判断 属基础题 6 5 分 2013 丰台区一模 已知 a Z 关于 x 的一元二次不等式 x2 6x a 0 的解集 中有且仅有 3 个整数 则所有符合条件的 a 的值之和是 A 13B 18C 21D 26 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 函数的性质及应用 分析 设 f x x2 6x a 其图象是开口向上 对称轴是 x 3 的抛物线 如图所示 利用 数形结合的方法得出 若关于 x 的一元二次不等式 x2 6x a 0 的解集中有且仅有 3 个整数 则 从而解出所有符合条件的 a 的值之和 解答 解 设 f x x2 6x a 其图象是开口向上 对称轴是 x 3 的抛物线 如图所示 若关于 x 的一元二次不等式 x2 6x a 0 的解集中有且仅有 3 个整数 则 即 解得 5 a 8 又 a Z a 6 7 8 则所有符合条件的 a 的值之和是 6 7 8 21 故选 C 5 点评 本题主要考查一元二次不等式 以及根的存在性及根的个数判断问题 同时考查了 转化的思想 属于中档题 7 5 分 2013 丰台区一模 如果函数 y f x 图象上任意一点的坐标 x y 都满足 方程 lg x y lgx lgy 那么正确的选项是 A y f x 是区间 0 上的减函数 且 x y 4 B y f x 是区间 1 上的增函数 且 x y 4 C y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y 4 D y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y 4 考 点 函数单调性的判断与证明 专 题 函数的性质及应用 分 析 由给出的方程得到函数 y f x 图象上任意一点的横纵坐标 x y 的关系式 利用基本 不等式求出 x y 的范围 利用函数单调性的定义证明函数在 1 上的增减性 二者结合可得正确答案 解 答 解 由 lg x y lgx lgy 得 由 x y xy 得 6 解得 x y 4 再由 x y xy 得 x 1 设 x1 x2 1 则 因为 x1 x2 1 所以 x2 x10 x2 1 0 则 即 f x1 f x2 所以 y f x 是区间 1 上的减函数 综上 y f x 是区间 1 上的减函数 且 x y 4 故选 C 点 评 本题考查了函数单调性的判断与证明 考查了利用基本不等式求最值 训练了利用单 调性定义证明函数单调性的方法 是基础题 8 5 分 2013 丰台区一模 动圆 C 经过点 F 1 0 并且与直线 x 1 相切 若动圆 C 与直线总有公共点 则圆 C 的面积 A 有最大值 8 B 有最小值 2 C 有最小值 3 D 有最小值 4 考点 圆的标准方程 点到直线的距离公式 专题 直线与圆 分析 由题意可得动圆圆心 C a b 的方程为 y2 4x 即 b2 4a 由于动圆 C 与直线 总有公共点 利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心 C 到此直线的距离 d r a 1 a 1 据此可得出 b 或 a 满足的条件 进而得出圆 C 的面积的最小值 解答 解 由题意可得 动圆圆心 C a b 的方程为 y2 4x 即 b2 4a 动圆 C 与直线总有公共点 圆心 C 到此直线的距离 d r a 1 a 1 a 1 又 上式化为 化为 7 解得 b 2 或 当 b 2 时 a 取得最小值 1 此时圆 C 由最小面积 1 1 2 4 故选 D 点评 本题综合考查了抛物线的定义 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 一元 二次不等式及其圆的面积等基础知识 考查了推理能力和计算能力 二 填空题二 填空题 9 5 分 2013 丰台区一模 在平面直角坐标系中 已知直线 C t 是参数 被圆 C 是参数 截得的弦长为 考点 参数方程化成普通方程 直线与圆的位置关系 专题 直线与圆 分析 由题意将圆 C 和直线 l 先化为一般方程坐标 然后再计算直线 l 与圆 C 相交所得的 弦长 解答 解 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 C 为参数 x2 y2 1 圆心为 0 0 半径为 1 直线 l t 是参数 x y 1 0 圆心到直线 l 的距离 d 直线 l 与圆 C 相交所得的弦长 2 故答案为 点评 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系 两者要会互相转化 根据实际情况选 择不同的方程进行求解 这也是每年高考必考的热点问题 10 5 分 2013 丰台区一模 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生 将他们期中 考试的数学成绩 均为整数 分成六段 40 50 50 60 90 100 后得到频率 分布直方图 如图所示 则分数在 70 80 内的人数是 30 8 考点 频率分布直方图 专题 概率与统计 分析 由频率分布直方图得分数在 70 80 内的频率等于 1 减去得分在 40 70 与 80 100 内的频率 再根据频数 频率 样本容量得出结果 解答 解 由题意 分数在 70 80 内的频率为 1 0 010 0 015 0 015 0 025 0 005 10 1 0 7 0 3 则分数在 70 80 内的人数是 0 3 100 30 人 故答案为 30 点评 本题主要考查了频率分布直方图 解决此类问题的关键是熟悉频率分布直方图 属 于基础题 11 5 分 2013 丰台区一模 如图 已知直线 PD 切 O 于点 D 直线 PO 交 O 于点 E F 若 则 O 的半径为 EFD 15 考点 与圆有关的比例线段 专题 计算题 三角函数的求值 直线与圆 分析 由切割线定理得 PD2 PE PF 代入题中数据解出 PE 根据圆心 0 在直线 PEF 上 算出直径 EF PF PE 2 可得半径 r 由 EDP DFP 算出 再在 Rt DEF 中利用正切的定义算出 tan EFD 从而得到 EFD 的大小 解答 解 线 PD 切 O 于点 D PO 交 O 于点 E F 9 PD2 PE PF 可得 12 PE 解之得 PE 由此可得 EF PF PE 2 O 是圆心 EF 经过点 O 直径 EF 2 可得 O 的半径为 r EDP DFP P 是公共角 EDP DFP 可得 EF 是 O 直径 DE DF 因此 Rt DEF 中 tan DFP 结合 DFP 是锐角 得 DFP 15 即 EFD 15 故答案为 15 点评 本题给出圆的切线长和经过圆心的割线长 求圆的半径并求 EFD 的大小 着重考查 了切割线定理 相似三角形的判定与性质和直角三角形中三角函数的定义等知识 属于中档题 12 5 分 2013 丰台区一模 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AB AD 1 BC 2 E 是 CD 的中点 则 1 考点 平面向量数量积的运算 专题 计算题 平面向量及应用 分析 以 B 为原点 以 BC AB 所在直线为 x y 轴 建立如图直角坐标系 则 A 0 1 B 0 0 C 2 0 D 1 1 从而得到 E 的坐标为 从而得到向量的坐标 结合数量积的坐标 公式可得的值 解答 解 以 B 为原点 以 BC AB 所在直线为 x y 轴 建立如图所示直角坐标系 可得 A 0 1 B 0 0 C 2 0 D 1 1 E 是 CD 的中点 点 E 的坐标为 因此 1 1 可得 1 1 1 故答案为 1 10 点评 本题在直角梯形中求向量的数量积 着重考查了平面向量数量积的坐标运算公式和 梯形的性质等知识 属于基础题 13 5 分 2013 丰台区一模 某四面体的三视图如图所示 则该四面体的四个面中 直 角三角形的面积和是 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 作图题 分析 由三视图还原得到原几何体 分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数 求出 直角三角形的面积作和即可 解答 解 由三视图可得原几何体如图 该几何体的高 PO 2 底面 ABC 为边长为 2 的等腰直角三角形 所以 该几何体中 直角三角形是底面 ABC 和侧面 PBC 事实上 PO 底面 ABC 平面 PAC 底面 ABC 而 BC AC BC 平面 PAC BC AC PC 所以 则该四面体的四个面中 直角三角形的面积和是 11 故答案为 点评 本题考查了由三视图还原原图形 考查了学生的空间想象能力和思维能力 考查了 三角形的面积 是基础题 14 5 分 2013 丰台区一模 已知 M 是集合 1 2 3 2k 1 k N k 2 的 非空子集 且当 x M 时 有 2k x M 记满足条件的集合 M 的个数为 f k 则 f 2 3 f k 2k 1 考点 子集与真子集 分析 根据集合的元素数目与非空子集个数的关系 计算可得答案 解答 解 将 1 2k 1 分为 k 组 1 和 2k 1 2 和 2k 2 k 1 和 k 1 k 单独一 组 每组中的两个数必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合 M 每组属于或不属于 M 共两种情况 M 的可能性有 2k排除一个空集 M 的可能性为 2k 1 所以 f k 2k 1 f 2 22 1 3 故答案为 3 2k 1 点评 本题考查集合的元素数目与真子集个数的关系 n 元素的子集有 2n个 真子集有 2n 1 个 非空子集有 2n 1 个 三 解答题三 解答题 15 13 分 2013 丰台区一模 已知函数 f x sinx cosx 2 2cos2x 求 f x 的最小正周期和单调递增区间 求函数 f x 在上的值域 考点 两角和与差的正弦函数 二倍角的正弦 二倍角的余弦 正弦函数的定义域和值域 正弦函数的单调性 专题 三角函数的图像与性质 分析 化简可得 f x sin 2x 可得周期为 由 12 2k 2x 2k 解 x 的范围可得单调递增区间 由 x 的范围可得 2x 的范围 进而可得 2x 的范围 由正弦函数的知识可 得 sin 2x 的范围 进而可得答案 解答 解 由题意可得 f x sin2x 2sinxcosx cos2x 2cos2x 1 sin2x 2cos2x sin2x cos2x sin 2x 故函数 f x 的最小正周期为 T 由 2k 2x 2k 可得 k x k 故函数的单调递增区间为 k k k Z x 2x 2x 故 sin 2x 所以sin 2x 故函数 f x 在上的值域为 点评 本题考查两角和与差的三角函数公式 涉及函数的单调性和值域的求解 属中档 题 16 14 分 2013 丰台区一模 如图 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 MD 平面 ABCD NB MD 且 NB 1 MD 2 求证 AM 平面 BCN 求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值 E 为直线 MN 上一点 且平面 ADE 平面 MNC 求的值 考点 用空间向量求直线与平面的夹角 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 专题 计算题 证明题 空间位置关系与距离 空间角 13 分析 通过证明平面与平面平行的判定定理证明平面 AMD 平面 BCN 然后证明 AM 平面 BCN 以 D 为原点 DA DC DM 所在直线分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 求出平面 MNC 的法向量以及直线 AN 向量 然后求 AN 与平面 MNC 所成角的正弦值 设 E x y z 推出 E 点的坐标为 2 2 2 通过 求出 即可求的值 解答 本题 14 分 解 证明 ABCD 是正方形 BC AD BC 平面 AMD AD 平面 AMD BC 平面 AMD NB MD NB 平面 AMD MD 平面 AMD NB 平面 AMD NB BC B NB 平面 BCN BC 平面 BCN 平面 AMD 平面 BCN 3 分 AM 平面 AMD AM 平面 BCN 4 分 也可建立直角坐标系 证明 AM 垂直平面 BCN 的法向量 酌情给分 MD 平面 ABCD ABCD 是正方形 所以 可选点 D 为原点 DA DC DM 所在 直线分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 如图 5 分 则 A 2 0 0 M 0 0 2 C 0 2 0 N 2 2 1 6 分 设平面 MNC 的法向量 则 令 z 2 则 7 分 设 AN 与平面 MNC 所成角为 9 分 设 E x y z 又 E 点的坐标为 2 2 2 11 分 AD 面 MDC AD MC 欲使平面 ADE 平面 MNC 只要 AE MC 4 2 2 0 14 所以 14 分 点评 本题考查平面与平面平行的性质定理 直线与平面所成角的求法 平面与平面垂直 的判定定理的应用 向量法解决几何问题的方法 考查空间想象能力与计算能力 17 13 分 2013 丰台区一模 在一次抽奖活动中 有甲 乙等 6 人获得抽奖的机 会 抽奖规则如下 主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元 再从余下的 4 人中随 机抽取 1 人获奖 600 元 最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元 求甲和乙都不获奖的概率 设 X 是甲获奖的金额 求 X 的分布列和均值 EX 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 专题 概率与统计 分析 设 甲和乙都不获奖 为事件 A 欲求事件 A 的概率 根据抽奖规则 计算从 6 人中随机抽取两人 三次都没有抽到甲和乙的概率即可 X 是甲获奖的金额 X 的所有可能的取值为 0 400 600 1000 求出相应的 概率 即可得到分布列与均值 解答 解 设 甲和乙都不获奖 为事件 A 1 分 则 P A 答 甲和乙都不获奖的概率为 5 分 X 的所有可能的取值为 0 400 600 1000 6 分 P X 0 P X 400 P X 600 15 P X 1000 10 分 X 的分布列为 X04006001000 P 11 分 E X 0 400 600 1000 500 元 答 甲获奖的金额的均值为 500 元 13 分 点评 本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望 解题的关键是明确变量的可能取值 及其含义 18 13 分 2013 丰台区一模 已知函数 g x bx2 3x 若曲线 h x f x g x 在点 1 0 处的切线斜率为 0 求 a b 的值 当 a 3 且 ab 8 时 求函数的单调区间 并求函数在区 间 2 1 上的最小值 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 利用导数求闭区 间上函数的最值 专题 综合题 导数的综合应用 分析 由 h x 在点 1 0 处的切线斜率为 0 得 由该方程组 即可解得 a b 值 由 ab 8 可把 x 表示出含 a 的函数 求导 x 在定义域内解不 等式 x 0 x 0 即得单调区间 由 a 3 得 按照极大值点 在区间 2 1 的左侧 内部 右 侧三种情况进行讨论即可得到答案 解答 解 函数 h x 定义域为 x x a 则 h x 在点 1 0 处的切线斜率为 0 即 解得或 16 x x a bx2 3x x a ab 8 所以 x a 令 x 0 得 或 因为 a 3 所以 故当 或时 x 0 当时 x 0 函数 x 的单调递增区间为 单调递减区间为 a 3 当 即 a 12 时 x 在 2 1 单调递增 x 在该区间的最小值为 当 即 6 a 12 时 x 在 2 上单调递减 在上单调递增 x 在该区间的最小值为 当时 即 3 a 6 时 x 在 2 1 单调递减 x 在该区间的最小值为 综上所述 当 3 a 6 时 最小值为 当 6 a 12 时 最小值为 当 a 12 时 最小值为 点评 本题考查导数的几何意义 利用导数研究函数的单调性 最值等知识 考查分类讨 论思想 数形结合思想 考查学生分析解决问题的能力 充分体会数形结合思想在 问中的应用 19 13 分 2013 丰台区一模 已知以原点为对称中心 F 2 0 为右焦点的椭圆 C 过 P 2 直线 l y kx m k 0 交椭圆 C 于不同的两点 A B 求椭圆 C 的方程 17 是否存在实数 k 使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q 0 3 若存在求出 k 的取值 范围 若不存在 请说明理由 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 设出椭圆方程 由给出的椭圆焦点和椭圆过点 P 2 联立列出关于 a b 的方程组 求解后则椭圆方程可求 存在实数 k 使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q 0 3 由给出的椭圆方程和 直线 AB 方程联立 化为关于 x 的方程后有根与系数关系写出 AB 中点坐标 由 AB 的 中点和 Q 0 3 的连线和直线 AB 垂直得到直线 AB 的斜率和截距的关系 代入判别 时候不满足判别式大于 0 说明假设不成立 得到结论 解答 解 设椭圆 C 的方程为 a b 0 c 2 且椭圆过点 P 2 所以 解得 a2 8 b2 4 所以椭圆 C 的方程为 假设存在斜率为 k 的直线 其垂直平分线经过点 Q 0 3 设 A x1 y1 B x2 y2 AB 的中点为 N x0 y0 由 得 1 2k2 x2 4mkx 2m2 8 0 则 16m2k2 4 1 2k2 2m2 8 64k2 8m2 32 0 所以 8k2 m2 4 0 又 线段 AB 的垂直平分线过点 Q 0 3 kNQ k 1 即 m 3 6k2 代入 0 整理 得 36