2011届高考数学难点突破难点28 求空间距离

1 20112011 届高考数学难点突破难点届高考数学难点突破难点 2828 求空间距离求空间距离 空间中距离的求法是历年高考考查的重点 其中以点与点 点到线 点到面的距离为 基础 求其他几种距离一般化归为这三种距离 难点磁场 如图 已知ABCD是矩形 AB a AD b PA 平面ABCD PA 2c Q是PA的中 点 求 1 Q到BD的距离 2 P到平面BQD的距离 案例探究 例 1 把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角 点E F分别是AD BC的中点 点O是原正方形的中心 求 1 EF的长 2 折起后 EOF的大小 命题意图 考查利用空间向量的坐标运算来解决立体 几何问题 属 级题目 知识依托 空间向量的坐标运算及数量积公式 错解分析 建立正确的空间直角坐标系 其中必须保证 x轴 y轴 z轴两两互相垂直 技巧与方法 建系方式有多种 其中以O点为原点 以 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方OBOCOD 向最为简单 解 如图 以O点为原点建立空间直角坐标系O xyz 设正方形ABCD边长为a 则 A 0 a 0 B a 0 0 C 0 a 0 D 0 0 a E 0 a a F a 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 a 0 4 2 2 1 cos 2 2 8 0 4 2 4 2 4 2 4 2 0 0 4 2 4 2 4 2 4 2 0 2 2 3 4 3 4 2 0 4 2 4 2 0 4 2 1 2 2222 OFOE OFOE OFOE a OF a OE a aaaaOFOE aaOFaaOE aEFaaaaaEF EOF 120 2 例 2 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 求异面直线A1C1与AB1间的距离 命题意图 本题主要考查异面直线间距离的求法 属 级题目 知识依托 求异面直线的距离 可求两异面直线的公垂线 或转化为求线面距离 或 面面距离 亦可由最值法求得 错解分析 本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离 这主要是对异面直线定义不熟 悉 异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离 技巧与方法 求异面直线的距离 有时较难作出它们的公垂线 故通常采用化归思想 转化为求线面距 面面距 或由最值法求得 解法一 如图 连结AC1 在正方体AC1中 A1C1 AC A1C1 平面AB1C A1C1与 平面A B1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离 连结B1D1 BD 设B1D1 A1C1 O1 BD AC O AC BD AC DD1 AC 平面BB1D1D 平面AB1C 平面BB1D1D 连结B1O 则平面AB1C 平面BB1D1D B1O 作O1G B1O于G 则O1G 平面AB1C O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离 即为异面直线A1C1与AB1间的距离 在 Rt OO1B1中 O1B1 OO1 1 OB1 2 2 2 11 2 1 BOOO 2 6 O1G 即异面直线A1C1与AB1间距离为 3 3 1 111 OB BOOO 3 3 解法二 如图 在A1C上任取一点M 作MN AB1于N 作MR A1B1于R 连结RN 平面A1B1C1D1 平面A1ABB1 MR 平面A1ABB1 MR AB1 AB1 RN 设A1R x 则RB1 1 x C1A1B1 AB1A1 45 MR x RN NB1 1 2 2 x 0 x 1 3 1 3 1 2 3 1 2 1 22222 xxxRNMRMN 当x 时 MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为 3 1 3 3 3 3 3 锦囊妙记 空间中的距离主要指以下七种 1 两点之间的距离 2 点到直线的距离 3 点到平面的距离 4 两条平行线间的距离 5 两条异面直线间的距离 6 平面的平行直线与平 面之间的距离 7 两个平行平面之间的距离 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间 有密切联系 有些可以相互转化 如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离 平行 线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 在七种距离中 求点到平面的距离是重点 求两条异面直线间的距离是难点 求点到平面的距离 1 直接法 即直接由点作垂线 求垂线段的长 2 转移法 转化 成求另一点到该平面的距离 3 体积法 求异面直线的距离 1 定义法 即求公垂线段的 长 2 转化成求直线与平面的距离 3 函数极值法 依据是两条异面直线的距离是分别在 两条异面直线上两点间距离中最小的 歼灭难点训练 一 选择题 1 正方形ABCD边长为 2 E F分别是AB和CD的中点 将正方形沿EF 折成直二面角 如图 M为矩形AEFD内一点 如果 MBE MBC MB和平面BCF所成角的 正切值为 那么点M到直线EF的距离为 2 1 2 1 D 2 3 C B 1 2 2 A 2 三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 1 AB 4 BC 3 ABC 90 设平面A1BC1 与平面ABC的交线为l 则A1C1与l的距离为 A B C 2 6D 2 41011 二 填空题 3 如左下图 空间四点A B C D中 每两点所连线段的长都等于a 动 点P在线段AB上 动点Q在线段CD上 则P与Q的最短距离为 4 4 如右上图 ABCD与ABEF均是正方形 如果二面角E AB C的度数为 30 那么EF与平面ABCD的距离为 三 解答题 5 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB 4 BC 3 CC1 2 如图 1 求证 平面A1BC1 平面ACD1 2 求 1 中两个平行平面间的距离 3 求点B1到平面A1BC1的距离 6 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1 点E在棱D1D上 截面EAC D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为 45 AB a 求 1 截面EAC的面积 2 异面直线A1B1与AC之间的距离 3 三棱锥B1 EAC的体积 7 如图 已知三棱柱A1B1C1 ABC的底面是边长为 2 的 正三角形 侧棱A1A与AB AC均成 45 角 且A1E B1B于 E A1F CC1于F 1 求点A到平面B1BCC1的距离 2 当AA1多长时 点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等 8 如图 在梯形ABCD中 AD BC ABC AB AD a 2 3 1 ADC arccos PA 面ABCD且PA a 5 5 2 1 求异面直线AD与PC间的距离 2 在线段AD上是否存在一点F 使点A到平面PCF的距离为 3 6 参考答案 难点磁场 解 1 在矩形ABCD中 作AE BD E为垂足 5 连结QE QA 平面ABCD 由三垂线定理得QE BE QE的长为Q到BD的距离 在矩形ABCD中 AB a AD b AE 22 ba ab 在 Rt QAE中 QA PA c 2 1 QE 22 22 2 ba ba c Q到BD距离为 22 22 2 ba ba c 2 解法一 平面BQD经过线段PA的中点 P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离 在 AQE中 作AH QE H为垂足 BD AE BD QE BD 平面AQE BD AH AH 平面BQE 即AH为A到平面BQD的距离 在 Rt AQE中 AQ c AE 22 ba ab AH 22222 bacba abc P到平面BD的距离为 22222 bacba abc 解法二 设点A到平面QBD的距离为h 由 VA BQD VQ ABD 得S BQD h S ABD AQ 3 1 3 1 h 22222 bacba abc S AQS BQD ABD 歼灭难点训练 一 1 解析 过点M作MM EF 则MM 平面BCF MBE MBC BM 为 EBC为角平分线 EBM 45 BM 从而MN 2 2 2 答案 A 2 解析 交线l过B与AC平行 作CD l于D 连C1D 则C1D为A1C1与l的距离 而CD等于AC上的高 即CD Rt C1CD中易求得C1D 2 6 5 12 5 13 6 答案 C 二 3 解析 以A B C D为顶点的四边形为空间四边形 且为正四面体 取P Q 分别为AB CD的中点 因为AQ BQ a PQ AB 同理可得PQ CD 故线段PQ的 2 2 长为P Q两点间的最短距离 在 Rt APQ中 PQ a 2 2 2 2 3 2222 a aAPAQ 答案 a 2 2 4 解析 显然 FAD是二面角E AB C 的平面角 FAD 30 过F作FG 平面ABCD 于G 则G必在AD上 由EF 平面ABCD FG为EF与平面ABCD的距离 即FG 2 a 答案 2 a 三 5 1 证明 由于BC1 AD1 则BC1 平面ACD1 同理 A1B 平面ACD1 则平面A1BC1 平面ACD1 2 解 设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d 则d等于D1到平面A1BC1的距离 易 求A1C1 5 A1B 2 BC1 则 cosA1BC1 则 sinA1BC1 则S 513 65 2 65 61 111 CBA 61 由于 则S d BB1 代入求得d 即两 111111 DCABBCAD VV 3 1 11BC A 2 1 3 1 111 DCAD 61 6112 平行平面间的距离为 61 6112 3 解 由于线段B1D1被平面A1BC1所平分 则B1 D1到平面A1BC1的距离相等 则由 2 知点B1到平面A1BC1的距离等于 61 6112 6 解 1 连结DB交AC于O 连结EO 底面ABCD是正方形 DO AC 又ED 面ABCD EO AC 即 EOD 45 又DO a AC a EO a S EAC a 2 2 2 45cos DO 2 2 2 A1A 底面ABCD A1A AC 又A1A A1B1 A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线 又EO BD1 O为BD中点 D1B 2EO 2a D1D a A1B1与AC距离为a22 3 连结B1D交D1B于P 交EO于Q 推证出B1D 面EAC B1Q是三棱锥B1 EAC的高 得B1Q a 2 3 7 32 4 2 2 3 2 2 3 1 1 aaaV EACB 7 解 1 BB1 A1E CC1 A1F BB1 CC1 BB1 平面A1EF 即面A1EF 面BB1C1C 在 Rt A1EB1中 A1B1E 45 A1B1 a A1E a 同理A1F a 又EF a A1E a 2 2 2 2 2 2 同理A1F a 又EF a 2 2 EA1F为等腰直角三角形 EA1F 90 过A1作A1N EF 则N为EF中点 且A1N 平面BCC1B1 即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离 A1N 22 1a 又 AA1 面BCC1B A到平面BCC1B1的距离为 2 a a 2 所求距离为 2 2 设BC B1C1的中点分别为D D1 连结AD DD1和A1D1 则DD1必过点N 易证 ADD1A1为平行四边形 B1C1 D1D B1C1 A1N B1C1 平面ADD1A1 BC 平面ADD1A1 得平面ABC 平面ADD1A1 过A1作A1M 平面ABC 交AD于M 若A1M A1N 又 A1AM A1D1N AMA1 A1ND1 90 AMA1 A1ND1 AA1 A1D1 即当AA1 时满足条件 33 8 解 1 BC AD BC面PBC AD 面PBC 从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离 过A作AE PB 又AE BC AE 平面PBC AE为所求 在等腰直角三角形PAB中 PA AB a AE a 2 2 2 作CM AB 由已知 cosADC 5 5 2 tanADC 即CM DM 2 1 2 1 ABCM为正方形 AC a PC a23 过A作AH PC 在 Rt PAC中 得AH 3 6 下面在AD上找一点F 使PC CF 8 取MD中点F ACM FCM均为等腰直角三角形 ACM FCM 45 45 90 FC AC 即FC PC 在AD上存在满足条件的点F 9 学法指导 立体几何中的策略思想及方法 立体几何中的策略思想及方法 近年来 高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养 题 目起点低 步步升高 给不同层次的学生有发挥能力的余地 大题综合性强 有几何组合 体中深层次考查空间的线面关系 因此 高考复习应在抓好基本概念 定理 表述语言的基 础上 以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手 突出数学思想方法在解题中的指 导作用 并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法 一 领悟解题的基本策略思想 高考改革稳中有变 运用基本数学思想如转化 类比 函数观点仍是考查中心 选择好 典型例题 在基本数学思想指导下 归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎 的 学生通过熟练运用 逐步内化为自己的经验 解决一般基本数学问题就会自然流畅 二 探寻立体几何图形中的基面 立体几何图形必须借助面的衬托 点