2017高考数学-三角函数大题综合训练

三角函数大题综合训练三角函数大题综合训练 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2016 白山一模 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 求角 C 的大小 2 若 c 2 求使 ABC 面积最大时 a b 的值 2 2016 广州模拟 在 ABC 中 角 A B C 对应的边分别是 a b c 已知 3cosBcosC 2 3sinBsinC 2cos2A I 求角 A 的大小 若 ABC 的面积 S 5 b 5 求 sinBsinC 的值 3 2016 成都模拟 已知函数 f x cos2x sinxcosx sin2x 求函数 f x 取得最大值时 x 的集合 设 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 若 cosB f C 求 sinA 的 值 4 2016 台州模拟 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 且 c2 a2 b2 ab 1 求角 C 的值 2 若 b 2 ABC 的面积 求 a 的值 5 2016 惠州模拟 如图所示 在四边形 ABCD 中 D 2 B 且 AD 1 CD 3 cosB 求 ACD 的面积 若 BC 2 求 AB 的长 6 2015 山东 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosB sin A B ac 2 求 sinA 和 c 的值 7 2015 新课标 I 已知 a b c 分别是 ABC 内角 A B C 的对边 sin2B 2sinAsinC 若 a b 求 cosB 设 B 90 且 a 求 ABC 的面积 8 2015 湖南 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a btanA 证明 sinB cosA 若 sinC sinAcosB 且 B 为钝角 求 A B C 9 2015 新课标 II ABC 中 D 是 BC 上的点 AD 平分 BAC ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 1 求 2 若 AD 1 DC 求 BD 和 AC 的长 10 2015 湖南 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a btanA 且 B 为钝 角 证明 B A 求 sinA sinC 的取值范围 11 2015 四川 已知 A B C 为 ABC 的内角 tanA tanB 是关于方程 x2 px p 1 0 p R 两个实根 求 C 的大小 若 AB 3 AC 求 p 的值 12 2015 河西区二模 设 ABC 的内角 A B C 的内角对边分别为 a b c 满足 a b c a b c ac 求 B 若 sinAsinC 求 C 13 2015 浙江 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 A b2 a2 c2 1 求 tanC 的值 2 若 ABC 的面积为 3 求 b 的值 14 2015 陕西 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 向量 a b 与 cosA sinB 平行 求 A 若 a b 2 求 ABC 的面积 15 2015 江苏 在 ABC 中 已知 AB 2 AC 3 A 60 1 求 BC 的长 2 求 sin2C 的值 16 2015 天津 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 ABC 的面 积为 3 b c 2 cosA 求 a 和 sinC 的值 求 cos 2A 的值 17 2015 怀化一模 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 c asinC ccosA 1 求角 A 2 若 a 2 ABC 的面积为 求 b c 18 2015 甘肃一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bcosC 3acosB ccosB 求 cosB 的值 若 且 求 a 和 c 的值 19 2015 衡水四模 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 函数 f x 2cosxsin x A sinA x R 在 x 处取得最大值 1 当时 求函数 f x 的值域 2 若 a 7 且 sinB sinC 求 ABC 的面积 20 2015 潍坊模拟 已知函数 f x 2cos2x 2sinxcosx x R 当 x 0 时 求函数 f x 的单调递增区间 设 ABC 的内角 A B C 的对应边分别为 a b c 且 c 3 f C 2 若向量 1 sinA 与向量 2 sinB 共线 求 a b 的值 21 2015 济南二模 已知向量 cos 2x cosx sinx 1 cosx sinx 函 数 f x 求函数 f x 的单调递增区间 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 f A a 2 B 求 ABC 的面积 S 22 2015 和平区校级三模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a 3 b 4 B A 1 求 cosB 的值 2 求 sin2A sinC 的值 23 2015 洛阳三模 在锐角 ABC 中 1 求角 A 2 若 a 求 bc 的取值范围 24 2015 河北区一模 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 2cosAcosC 1 2sinAsinC 求 B 的大小 若 求 ABC 的面积 25 2015 云南一模 在 ABC 中 a b c 分别是内角 A B C 的对边 且 sinA sinB sinC sinC sinB sinB sinC sinA 若 1 求 A 的大小 2 设为 ABC 的面积 求的最大值及此时 B 的值 26 2015 历下区校级四模 已知向量 若 求函数 f x 的最小正周期 已知 ABC 的三内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a 3 A 为锐角 2sinC sinB 求 A c b 的值 27 2015 高安市校级模拟 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 sin A 2cos B C 0 1 求 A 的大小 2 若 a 6 求 b c 的取值范围 28 2015 威海一模 ABC 中 A B C 所对的边分别为 a b c sin B A cosC 求 A B C 若 S ABC 3 求 a c 29 2015 新津县校级模拟 已知向量 函数 f x 求函数 f x 的单调递增区间 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 f B 1 b sinA 3sinC 求 ABC 的面积 30 2015 和平区二模 在 ABC 中 角 A B C 为三个内角 已知 cosA cosB BC 5 求 AC 的长 设 D 为 AB 的中点 求 CD 的长 三角函数大题综合训练三角函数大题综合训练 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 2016 白山一模 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 1 求角 C 的大小 2 若 c 2 求使 ABC 面积最大时 a b 的值 考点 正弦定理 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 1 已知等式左边利用正弦定理化简 右边利用诱导公式变形 整理后再利用两 角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形 根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值 即可确定出 C 的度数 2 利用余弦定理列出关系式 将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值 以及此时 a 与 b 的值即可 解答 解 1 A C B 即 cos A C cosB 由正弦定理化简已知等式得 整理得 2sinAcosC sinBcosC sinCcosB 即 2sinAcosC sinBcosC cosBsinC sin B C sinA sinA 0 cosC C 为三角形内角 C c 2 cosC 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 即 4 a2 b2 ab 2ab ab 3ab ab 当且仅当 a b 时成立 S absinC ab 当 a b 时 ABC 面积最大为 此时 a b 则当 a b 时 ABC 的面积最大为 点评 此题考查了正弦 余弦定理 三角形的面积公式 以及基本不等式的运用 熟练 掌握定理及公式是解本题的关键 2 2016 广州模拟 在 ABC 中 角 A B C 对应的边分别是 a b c 已知 3cosBcosC 2 3sinBsinC 2cos2A I 求角 A 的大小 若 ABC 的面积 S 5 b 5 求 sinBsinC 的值 考点 正弦定理 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 I 利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简 3cosBcosC 2 3sinBsinC 2cos2A 得到 cosA 的值 即可求解 A II 通过三角形的面积求出 b c 的值 利用余弦定理以及正弦定理求解即可 解答 解 I 由 3cosBcosC 2 3sinBsinC 2cos2A 得 2cos2A 3cosA 2 0 2 分 即 2cosA 1 cosA 2 0 解得 cosA 或 cosA 2 舍去 4 分 因为 0 A 所以 A 6 分 II 由 S bcsinA bc bc 5 得 bc 20 又 b 5 所以 c 4 8 分 由余弦定理 得 a2 b2 c2 2bccosA 25 16 20 21 故 a 10 分 又由正弦定理 得 sinBsinC sinA sinA sin2A 12 分 点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用 两角和与差的三角函数 考查转化思想 以及计算能力 3 2016 成都模拟 已知函数 f x cos2x sinxcosx sin2x 求函数 f x 取得最大值时 x 的集合 设 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 若 cosB f C 求 sinA 的 值 考点 正弦定理 三角函数中的恒等变换应用 菁优网版权所有 专题 转化思想 综合法 解三角形 分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式 再利用余弦函数的值域求得函 数 f x 取得最大值时 x 的集合 由条件求得 cos 2C C 求出 sinB 的值 再根据 sinA sin B C 求得它的值 解答 解 函数 f x cos2x sinxcosx sin2x cos2x sinxcosx cos2x sin2x sin2x cos2x cos 2x 故函数取得最大值为 此时 2x 2k 时 即 x 的集合为 x x k k Z 设 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 若 cosB f C cos 2C cos 2C 又 A B C 为锐角三角形 ABC 的三个内角 2C C cosB sinB sinA sin B C sinBcosC cosBsinC 点评 本题主要考查三角恒等变换 余弦函数的值域 同角三角函数的基本关系 属于 中档题 4 2016 台州模拟 已知 a b c 分别是 ABC 的三个内角 A B C 所对的边 且 c2 a2 b2 ab 1 求角 C 的值 2 若 b 2 ABC 的面积 求 a 的值 考点 余弦定理 三角形的面积公式 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 1 利用余弦定理 可求角 C 的值 2 利用三角形的面积公式 可求 a 的值 解答 解 1 c2 a2 b2 ab cosC 0 C 180 C 60 2 b 2 ABC 的面积 解得 a 3 点评 本题考查余弦定理的运用 考查三角形面积的计算 正确运用公式是关键 5 2016 惠州模拟 如图所示 在四边形 ABCD 中 D 2 B 且 AD 1 CD 3 cosB 求 ACD 的面积 若 BC 2 求 AB 的长 考点 余弦定理的应用 正弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 利用已知条件求出 D 角的正弦函数值 然后求 ACD 的面积 利用余弦定理求出 AC 通过 BC 2 利用正弦定理求解 AB 的长 解答 共 13 分 解 因为 D 2 B 所以 3 分 因为 D 0 所以 5 分 因为 AD 1 CD 3 所以 ACD 的面积 7 分 在 ACD 中 AC2 AD2 DC2 2AD DC cosD 12 所以 9 分 因为 11 分 所以 所以 AB 4 13 分 点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用 基本知识的考查 6 2015 山东 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosB sin A B ac 2 求 sinA 和 c 的值 考点 正弦定理 两角和与差的正弦函数 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式 解方程可得 利用正弦定理解之 解答 解 因为 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 cosB sin A B ac 2 所以 sinB sinAcosB cosAsinB 所以 sinA cosA 结合平方关系 sin2A cos2A 1 得 27sin2A 6sinA 16 0 解得 sinA 或者 sinA 舍去 由正弦定理 由 可知 sin A B sinC sinA 所以 a 2c 又 ac 2 所以 c 1 点评 本题考查了利用三角函数知识解三角形 用到了两角和与差的正弦函数 同角三 角函数的基本关系式 正弦定理等知识 7 2015 新课标 I 已知 a b c 分别是 ABC 内角 A B C 的对边 sin2B 2sinAsinC 若 a b 求 cosB 设 B 90 且 a 求 ABC 的面积 考点 正弦定理 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 I sin2B 2sinAsinC 由正弦定理可得 b2 2ac 再利用余弦定理即可得出 II 利用 I 及勾股定理可得 c 再利用三角形面积计算公式即可得出 解答 解 I sin2B 2sinAsinC 由正弦定理可得 0 代入可得 bk 2 2ak ck b2 2ac a b a 2c 由余弦定理可得 cosB II 由 I 可得 b2 2ac B 90 且 a a2 c2 2ac 解得 a c S ABC 1 点评 本题考查了正弦定理余弦定理 勾股定理 三角形面积计算公式 考查了推理能 力与计算能力 属于中档题 8 2015 湖南 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a btanA 证明 sinB cosA 若 sinC sinAcosB 且 B 为钝角 求 A B C 考点 正弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 由正弦定理及已知可得 由 sinA 0 即可证明 sinB cosA 由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinC sinAcosB cosAsinB 由 1 sinB cosA 可得 sin2B 结合范围可求 B 由 sinB cosA 及 A 的范围可求 A 由三角形 内角和定理可求 C 解答 解 证明 a btanA tanA 由正弦定理 又 tanA sinA 0 sinB cosA 得证 sinC sin A B sin A B sinAcosB cosAsinB sinC sinAcosB cosAsinB 由 1 sinB cosA sin2B 0 B sinB B 为钝角 B 又 cosA sinB A C A B 综上 A C B 点评 本题主要考查了正弦定理 三角形内角和定理 两角和的正弦函数公式的应用 属于基础题 9 2015 新课标 II ABC 中 D 是 BC 上的点 AD 平分 BAC ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 1 求 2 若 AD 1 DC 求 BD 和 AC 的长 考点 正弦定理 三角形中的几何计算 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 1 如图 过 A 作 AE BC 于 E 由已知及面积公式可得 BD 2DC 由 AD 平分 BAC 及正弦定理可得 sin B sin C 从而得解 2 由 1 可求 BD 过 D 作 DM AB 于 M 作 DN AC 于 N 由 AD 平分 BAC 可求 AB 2AC 令 AC x 则 AB 2x 利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长 解答 解 1 如图 过 A 作 AE BC 于 E 2 BD 2DC AD 平分 BAC BAD DAC 在 ABD 中 sin B 在 ADC 中 sin C 6 分 2 由 1 知 BD 2DC 2 过 D 作 DM AB 于 M 作 DN AC 于 N AD 平分 BAC DM DN 2 AB 2AC 令 AC x 则 AB 2x BAD DAC cos BAD cos DAC 由余弦定理可得 x 1 AC 1 BD 的长为 AC 的长为 1 点评 本题主要考查了三角形面积公式 正弦定理 余弦定理等知识的应用 属于基本 知识的考查 10 2015 湖南 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c a btanA 且 B 为钝 角 证明 B A 求 sinA sinC 的取值范围 考点 正弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 由题意和正弦定理可得 sinB cosA 由角的范围和诱导公式可得 由题意可得 A 0 可得 0 sinA 化简可得 sinA sinC 2 sinA 2 由二次函数区间的最值可得 解答 解 由 a btanA 和正弦定理可得 sinB cosA 即 sinB sin A 又 B 为钝角 A B A B A 由 知 C A B A A 2A 0 A 0 sinA sinC sinA sin 2A sinA cos2A sinA 1 2sin2A 2 sinA 2 A 0 0 sinA 由二次函数可知 2 sinA 2 sinA sinC 的取值范围为 点评 本题考查正弦定理和三角函数公式的应用 涉及二次函数区间的最值 属基础 题 11 2015 四川 已知 A B C 为 ABC 的内角 tanA tanB 是关于方程 x2 px p 1 0 p R 两个实根 求 C 的大小 若 AB 3 AC 求 p 的值 考点 正弦定理的应用 两角和与差的正切函数 菁优网版权所有 专题 函数的性质及应用 解三角形 分析 由判别式 3p2 4p 4 0 可得 p 2 或 p 由韦达定理 有 tanA tanB p tanAtanB 1 p 由两角和的正切函数公式可求 tanC tan A B 结合 C 的范 围即可求 C 的值 由正弦定理可求 sinB 解得 B A 由两角和的正切函数公式可求 tanA tan75 从而可求 p tanA tanB 的值 解答 解 由已知 方程 x2 px p 1 0 的判别式 p 2 4 p 1 3p2 4p 4 0 所以 p 2 或 p 由韦达定理 有 tanA tanB p tanAtanB 1 p 所以 1 tanAtanB 1 1 p p 0 从而 tan A B 所以 tanC tan A B 所以 C 60 由正弦定理 可得 sinB 解得 B 45 或 B 135 舍去 于是 A 180 B C 75 则 tanA tan75 tan 45 30 2 所以 p tanA tanB 2 1 点评 本题主要考查了和角公式 诱导公式 正弦定理等基础知识 考查了运算求解能 力 考查了函数与方程 化归与转化等数学思想的应用 属于中档题 12 2015 河西区二模 设 ABC 的内角 A B C 的内角对边分别为 a b c 满足 a b c a b c ac 求 B 若 sinAsinC 求 C 考点 余弦定理 两角和与差的正弦函数 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 I 已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算 整理后得到关系式 利用余弦 定理表示出 cosB 将关系式代入求出 cosB 的值 由 B 为三角形的内角 利用特殊角的三 角函数值即可求出 B 的度数 II 由 I 得到 A C 的度数 利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos A C 变形后 将 cos A C 及 2sinAsinC 的值代入求出 cos A C 的值 利用特殊角的三角函数值求出 A C 的值 与 A C 的值联立即可求出 C 的度数 解答 解 I a b c a b c a c 2 b2 ac a2 c2 b2 ac cosB 又 B 为三角形的内角 则 B 120 II 由 I 得 A C 60 sinAsinC cos A C cos A C cosAcosC sinAsinC cosAcosC sinAsinC 2sinAsinC cos A C 2sinAsinC 2 A C 30 或 A C 30 则 C 15 或 C 45 点评 此题考查了余弦定理 两角和与差的余弦函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握余弦定理是解本题的关键 13 2015 浙江 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 A b2 a2 c2 1 求 tanC 的值 2 若 ABC 的面积为 3 求 b 的值 考点 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 1 由余弦定理可得 已知 b2 a2 c2 可得 a 利用余弦定理可得 cosC 可得 sinC 即可得出 tanC 2 由 3 可得 c 即可得出 b 解答 解 1 A 由余弦定理可得 b2 a2 bc c2 又 b2 a2 c2 bc c2 c2 b c 可得 a2 b2 即 a cosC C 0 sinC tanC 2 2 3 解得 c 2 3 点评 本题考查了正弦定理余弦定理 同角三角形基本关系式 三角形面积计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 14 2015 陕西 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 向量 a b 与 cosA sinB 平行 求 A 若 a b 2 求 ABC 的面积 考点 余弦定理的应用 平面向量共线 平行 的坐标表示 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 利用向量的平行 列出方程 通过正弦定理求解 A 利用 A 以及 a b 2 通过余弦定理求出 c 然后求解 ABC 的面积 解答 解 因为向量 a b 与 cosA sinB 平行 所以 asinB 0 由正弦定理可知 sinAsinB sinBcosA 0 因为 sinB 0 所以 tanA 可得 A a b 2 由余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA 可得 7 4 c2 2c 解得 c 3 ABC 的面积为 点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用 三角形的面积的求法 考查计算能力 15 2015 江苏 在 ABC 中 已知 AB 2 AC 3 A 60 1 求 BC 的长 2 求 sin2C 的值 考点 余弦定理的应用 二倍角的正弦 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 1 直接利用余弦定理求解即可 2 利用正弦定理求出 C 的正弦函数值 然后利用二倍角公式求解即可 解答 解 1 由余弦定理可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcosA 4 9 2 2 3 7 所以 BC 2 由正弦定理可得 则 sinC AB BC C 为锐角 则 cosC 因此 sin2C 2sinCcosC 2 点评 本题考查余弦定理的应用 正弦定理的应用 二倍角的三角函数 注意角的范围 的解题的关键 16 2015 天津 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 ABC 的面 积为 3 b c 2 cosA 求 a 和 sinC 的值 求 cos 2A 的值 考点 余弦定理的应用 正弦定理的应用 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 通过三角形的面积以及已知条件求出 b c 利用正弦定理求解 sinC 的值 利用两角和的余弦函数化简 cos 2A 然后直接求解即可 解答 解 在三角形 ABC 中 由 cosA 可得 sinA ABC 的面积为 3 可得 可得 bc 24 又 b c 2 解得 b 6 c 4 由 a2 b2 c2 2bccosA 可得 a 8 解得 sinC cos 2A cos2Acos sin2Asin 点评 本题考查同角三角函数的基本关系式 二倍角公式 余弦定理的应用 考查计算 能力 17 2015 怀化一模 已知 a b c 分别为 ABC 三个内角 A B C 的对边 c asinC ccosA 1 求角 A 2 若 a 2 ABC 的面积为 求 b c 考点 正弦定理 余弦定理的应用 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 1 把已知的等式利用正弦定理化简 根据 sinC 不为 0 得到一个关系式 再利 用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 利用特殊角的三角函数值求出 A 的 度数即可 2 由 A 的度数求出 sinA 和 cosA 的值 由三角形 ABC 的面积 利用面积公式及 sinA 的值 求出 bc 的值 记作 由 a 与 cosA 的值 利用余弦定理列出关系式 利用完全平 方公式变形后 把 bc 的值代入求出 b c 的值 记作 联立 即可求出 b 与 c 的值 解答 解 1 由正弦定理 化简已知的等式得 sinC sinAsinC sinCcosA C 为三角形的内角 sinC 0 sinA cosA 1 整理得 2sin A 1 即 sin A A 或 A 解得 A 或 A 舍去 则 A 2 a 2 sinA cosA ABC 的面积为 bcsinA bc 即 bc 4 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 得 4 b2 c2 bc b c 2 3bc b c 2 12 整理得 b c 4 联立 解得 b c 2 点评 此题考查了正弦 余弦定理 两角和与差的正弦函数公式 以及特殊角的三角函 数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键 18 2015 甘肃一模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bcosC 3acosB ccosB 求 cosB 的值 若 且 求 a 和 c 的值 考点 正弦定理 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 余弦定理 菁优网版权所有 专题 计算题 转化思想 分析 1 首先利用正弦定理化边为角 可得 2RsinBcosC 3 2RsinAcosB 2RsinCcosB 然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可 2 由向量数量积的定义可得 accosB 2 结合已知及余弦定理可得 a2 b2 12 再根据完 全平方式易得 a c 解答 解 I 由正弦定理得 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 则 2RsinBcosC 6RsinAcosB 2RsinCcosB 故 sinBcosC 3sinAcosB sinCcosB 可得 sinBcosC sinCcosB 3sinAcosB 即 sin B C 3sinAcosB 可得 sinA 3sinAcosB 又 sinA 0 因此 6 分 II 解 由 可得 accosB 2 由 b2 a2 c2 2accosB 可得 a2 c2 12 所以 a c 2 0 即 a c 所以 13 分 点评 本题考查了正弦定理 余弦定理 两角和与差的正弦公式 诱导公式 向量数量 积的定义等基础知识 考查了基本运算能力 19 2015 衡水四模 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 函数 f x 2cosxsin x A sinA x R 在 x 处取得最大值 1 当时 求函数 f x 的值域 2 若 a 7 且 sinB sinC 求 ABC 的面积 考点 正弦定理 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定义域和值域 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 利用三角函数的恒等变换化简函数 f x 的解析式为 sin 2x A 由于函数在 处取得最大值 令 其中 k z 解得 A 的值 1 由于 A 为三角形内角 可得 A 的值 再由 x 的范围可得函数的值域 2 由正弦定理求得 b c 13 再由余弦定理求得 bc 的值 由 ABC 的面积等于 算出即可 解答 解 函数 f x 2cosxsin x A sinA 2cosxsinxcosA 2cosxcosxsinA sinA sin2xcosA cos2xsinA sin 2x A 又 函数 f x 2cosxsin x A sinA x R 在处取得最大值 其中 k z 即 其中 k z 1 A 0 A 2x A 即函数 f x 的值域为 2 由正弦定理得到 则 sinB sinC sinA 即 b c 13 由余弦定理得到 a2 b2 c2 2bccosA b c 2 2bc 2bccosA 即 49 169 3bc bc 40 故 ABC 的面积为 S 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换 正 余弦定理的应用 正弦函数的值域 属 于中档题 20 2015 潍坊模拟 已知函数 f x 2cos2x 2sinxcosx x R 当 x 0 时 求函数 f x 的单调递增区间 设 ABC 的内角 A B C 的对应边分别为 a b c 且 c 3 f C 2 若向量 1 sinA 与向量 2 sinB 共线 求 a b 的值 考点 正弦定理 平面向量共线 平行 的坐标表示 平面向量数量积的运算 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 I 利用三角函数的恒等变换化简 f x 的解析式为 令 k z 求得 x 的范围 结合 可得 f x 的递增区间 由 f C 2 求得 结合 C 的范围求得 C 的值 根据向量 1 sinA 与向量 2 sinB 共线 可得 故有 再由余弦定理 得 9 a2 b2 ab 由 求得 a b 的值 解答 解 I 令 解得 即 f x 的递增区间为 由 得 而 C 0 可得 向量向量 1 sinA 与向量 2 sinB 共线 由正弦定理得 由余弦定理得 c2 a2 b2 2ab cosC 即 9 a2 b2 ab 由 解得 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换 正弦函数的增区间 正弦定理 余弦定理的 应用 两个向量共线的性质 属于中档题 21 2015 济南二模 已知向量 cos 2x cosx sinx 1 cosx sinx 函 数 f x 求函数 f x 的单调递增区间 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 f A a 2 B 求 ABC 的面积 S 考点 正弦定理 平面向量数量积的运算 三角函数中的恒等变换应用 菁优网版权所有 专题 三角函数的图像与性质 分析 由两向量的坐标 利用平面向量的数量积运算法则列出 f x 解析式 利 用两角和与差的余弦函数公式化简 整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角 的正弦函数 根据正弦函数的单调性即可确定出函数 f x 的单调递增区间 由第一问确定出的 f x 解析式 根据 f A 确定出 A 的度数 再由 a sinB 的值 利用正弦定理求出 b 的值 同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出 sinC 的值 利用三角形面积公式即可求出 S 解答 解 向量 cos 2x cosx sinx 1 cosx sinx 函数 f x cos 2x cos2x sin2x cos 2x cos2x cos2x sin2x cos2x cos2x sin2x sin 2x 令 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z 则函数 f x 的单调递增区间为 k k k Z 由 f A sin 2A 得 sin 2A A 为 ABC 的内角 由题意知 0 A 2A 2A 解得 A 又 a 2 B 由正弦定理 得 b A B sinC sin A B sin A B snAcosB cosAsinB 则 ABC 的面积 S absinC 2 点评 此题考查了正弦定理 平面向量的数量积运算 正弦函数的单调性 以及三角形 的面积公式 熟练掌握正弦定理是解本题的关键 22 2015 和平区校级三模 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a 3 b 4 B A 1 求 cosB 的值 2 求 sin2A sinC 的值 考点 正弦定理 余弦定理 菁优网版权所有 专题 计算题 三角函数的求值 解三角形 分析 1 运用正弦定理和诱导公式 以及同角公式 即可得到 cosB 2 由二倍角的正弦和余弦公式 以及诱导公式 化简计算即可得到 解答 解 1 cosB cos A sinA 又 a 3 b 4 所以由正弦定理得 所以 所以 3sinB 4cosB 两边平方得 9sin2B 16cos2B 又 sin2B cos2B 1 所以 而 所以 2 2A 2B sin2A sin 2B sin2B 又 A B C sinC cos2B 1 2cos2B 点评 本题考查正弦定理和运用 考查三角函数的化简和求值 注意运用二倍角公式和 诱导公式 以及同角三角函数的基本关系式 属于中档题 23 2015 洛阳三模 在锐角 ABC 中 1 求角 A 2 若 a 求 bc 的取值范围 考点 正弦定理 余弦定理 菁优网版权所有 专题 计算题 三角函数的求值 解三角形 分析 1 由余弦定理可得 a2 c2 b2 2accosB 代入已知整理可得 sin2A 1 从而可求 A 的值 2 由 1 及正弦定理可得 bc 根据已知求得角的范围 即 可求得 bc 的取值范围 解答 解 1 由余弦定理可得 a2 c2 b2 2accosB sin2A 1 且 2 又 b 2sinB c 2sinC bc 2sin 135 C 2sinC 点评 本题主要考查了正弦定理 余弦定理在解三角形中的应用 属于中档题 24 2015 河北区一模 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 2cosAcosC 1 2sinAsinC 求 B 的大小 若 求 ABC 的面积 考点 正弦定理 三角函数中的恒等变换应用 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 由 2cosAcosC 1 2sinAsinC 化简求得 求得 可得 B 的值 由余弦定理 可得 把 代入求得 ac 的值 再根据计算求得结果 解答 解 由 2cosAcosC 1 2sinAsinC 得 2 cosAcosC sinAsinC 1 又 0 B 由余弦定理得 又 故 点评 本题主要考查正弦定理 余弦定理的应用 根据三角函数的值求角 属于中档 题 25 2015 云南一模 在 ABC 中 a b c 分别是内角 A B C 的对边 且 sinA sinB sinC sinC sinB sinB sinC sinA 若 1 求 A 的大小 2 设为 ABC 的面积 求的最大值及此时 B 的值 考点 正弦定理 平面向量数量积的运算 菁优网版权所有 专题 计算题 解三角形 分析 1 共线向量的坐标运算可得 sinA sinB sinC sinB sinC sinA sinBsinC 再利用正弦定理将角的正弦转化为所对边的边长 再利用余弦定理即可求得 A 的大小 2 依题意 利用正弦定理 2 可求得 S bcsinA sinBsinC 逆用两角差的余弦即可求得 S cosBcosC 取最大值及此时 B 的值 解答 解 1 sinA sinB sinC sinB sinC sinA sinBsinC 根据正弦定理得 a b c c b a bc 即 a2 b2 c2 bc 由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 得 cosA 又 A 0 A 2 a A 由正弦定理得 2 b 2sinB c 2sinC S bcsinA 2sinB 2sinC sinBsinC S cosBcosC sinBsinC cosBcosC cos B C 当 B C 时 即 B C 时 S cosBcosC 取最大值 点评 本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用 考查平面共线向量的坐标运算及两角 差的余弦 考查转化思想与综合运算能力 属于中档题 26 2015 历下区校级四模 已知向量 若 求函数 f x 的最小正周期 已知 ABC 的三内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 a 3 A 为锐角 2sinC sinB 求 A c b 的值 考点 正弦定理 平面向量数量积的运算 两角和与差的正弦函数 余弦定理 菁优网版权所有 专题 计算题 解三角形 分析 利用两角和差的正弦公式化简函数 f x 的解析式为 sin 2x 由此求 得函数 f x 的最小正周期 已知 ABC 中 由 A 为锐角 求得 sinA 可得 A 由正弦定理可得 b 2c 根据 a 3 再由余弦定理求出 c b 的值 解答 解 sinxcosx cos2x sin 2x 故函数 f x 的最 小正周期为 已知 ABC 中 A 为锐角 sinA A 2sinC sinB 由正弦定理可得 b 2c a 3 再由余弦定理可得 9 b2 c2 2bc cos 解得 b 2 c 点评 本题主要考查两个向量的数量积公式 两角和差的正弦公式 正弦定理 余弦定 理的应用 属于中档题 27 2015 高安市校级模拟 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 sin A 2cos B C 0 1 求 A 的大小 2 若 a 6 求 b c 的取值范围 考点 正弦定理 三角函数的化简