2011届高三数学二轮复习 专题二第二讲函数与基本初等函数 北师大版 (2)

用心 爱心 专心1 第二讲第二讲 函数与基本初等函数 函数与基本初等函数 主干知识回扣 主干网络 1 构成函数的要素有哪几个 如何判断两个函数是否是同一函数 提示 有定义域 值域 对应关系三个 只要判断其定义域与对应关系是否完全相同即 可 2 分段函数的定义域 值域 最大 小 值 图象与各段上的定义域 值域 最大 小 值 图象有什么关系 提示 分段函数的定义域 值域为各段上定义域 值域的并集 最大 小 值是各段最大 小 值中的最大 小 值 而图象则是由各段上的图象合成的 3 函数的单调性反映在其函数图象上有什么特征 如何判定函数的单调性 提示 函数在定义域的某个区间上图象上升或下降的变化状态 函数单调性的判定方法 定义法 取值 作差 变形 定号 作答 其中变形是关键 常用的方法有 通分 配方 因式分解 导数法 复合函数的单调性遵循 同增异减 的原则 4 函数的奇偶性反映在其函数图象上有什么特征 如何判定函数的奇偶性 提示 函数在其整个定义域上图象关于原点 y 轴的对称特征 函数奇偶性的判定方法 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 对于定义域内的任意一个 x 若都有 f x f x 则 f x 为偶函数 若都有 f x f x 则 f x 为奇函数 若都有 f x f x 0 则 f x 为偶函数 若都有 f x f x 0 则 f x 为奇函数 5 若函数 f x a 是偶函数 那么函数 f x 的图象的对称轴是什么 提示 f x a 是偶函数 f x a f a x f x f 2a x f x 的图象关于直线 x a 对 用心 爱心 专心2 称 6 指数函数与对数函数的图象和性质是什么 提示 高频点突破 考点一 函数的概念及其表示 1 根据函数的概念可以知道 1 函数图象与任意一条与 x 轴垂直的直线至多有一个公共 点 但与任意一条与 y 轴垂直的直线的公共点可能没有 也可能有任意个 2 函数图象一 定是坐标系中的曲线 但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象 2 函数的表示方法 解析法 图象法和列表法 当一个函数在定义域的不同区间上具有不 同的对应关系时 在不同的定义域区间上的函数解析式也不同 就要用分段函数来表 示 分段函数是一个函数 例 1 1 2010 陕西 已知函数 f x Error 若 f f 0 4a 则实数 a 等于 A B 1 2 4 5 C 2 D 9 2 2010 陕西 某学校要召开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x x 表示不大于 x 的最大整数 可以表示为 A y B y x 10 x 3 10 C y D y x 4 10 x 5 10 独立解答 1 f x Error 0 1 f 0 20 1 2 f 0 2 1 f f 0 22 2a 4a a 2 故选 C 2 根据规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一 名代表 即余数分别为 7 8 9 时可增选一名代表 因此利用取整函数可表示为 y 故选 B x 3 10 变式训练 1 1 2009 山东 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x Error 则 f 2 009 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 2 2010 东北六校模拟 函数 fM x 的定义域为 R 且定义如下 fM x Error 其中 M 为非空数集且 M R 在实数集 R 上有两个非空真子集 A B 满 足 A B 空集 则函数 F x 的值域为 fA B x 1 fA x fB x 1 A B 0 2 3 1 1 2 2 3 C D 1 1 3 1 解析 1 由已知得 f 1 2 log 21 f 0 0 f 1 f 0 f 1 1 用心 爱心 专心3 f 2 f 1 f 0 1 f 3 f 2 f 1 1 1 0 f 4 f 3 f 2 0 1 1 f 5 f 4 f 3 1 f 6 f 5 f 4 0 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2 009 f 5 1 故选 C 2 根据题意 当 x A 时 x B 则 F x 1 1 1 1 0 1 当 x B 时 x A 则 F x 1 1 1 0 1 1 当 x A 且 x B 时 F x 1 0 1 0 0 1 因此函数 F x 的值域为 1 故选 D fA B x 1 fA x fB x 1 考点二 函数的基本性质 1 函数的性质是每年高考的必考内容 其中函数单调区间的确定 利用单调性求最值 值 域 比较大小 求参数的取值范围以及单调性与奇偶性相结合问题更是每年高考的热点内 容 2 判断函数的单调性的一般思路 对于选择 填空题若能画出图象一般用数形结合法 而 对于由基本初等函数通过加 减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判 断问题 对于解析式较复杂的用导数法或定义法 3 对于函数的奇偶性的判断 首先要看函数的定义域是否关于原点对称 其次再看 f x 与 f x 的关系 4 求函数最值常用的方法有单调性法 图象法 基本不等式法 导数法等 例 2 1 2009 山东 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 2 2010 课标全国 设偶函数 f x 满足 f x x3 8 x 0 则 x f x 2 0 A x x 2 或 x 4 B x x 0 或 x 4 C x x 0 或 x 6 D x x 2 或 x 2 独立解答 1 因为 f x 满足 f x 4 f x 所以 f x 8 f x 所以函数 f x 是以 8 为周期的周期函数 则 f 25 f 1 f 80 f 0 f 11 f 3 又因为 f x 在 R 上是奇函数 f 0 0 得 f 80 f 0 0 f 25 f 1 f 1 而由 f x 4 f x 得 f 11 f 3 f 3 f 1 4 f 1 又因为 f x 在区间 0 2 上是增函数 所以 f 1 f 0 0 所以 f 1 0 即 f 25 f 80 f 11 故选 D 用心 爱心 专心4 2 f x x3 8 x 0 且 f x 是偶函数 f x Error Error 或Error Error 或Error 解得 x 4 或 x 0 故选 B 变式训练 2 2010 山东济南质检 设 f x x3 x 则对任意实数 a b a b 0 是 f a f b 0 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 易知 f x 是 R 上的奇函数且增函数 a b f a f b f b 答案 C 考点三 函数图象 1 解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质 善于利用函数的性质来作图 要 合理利用图象的三种变换 2 分析函数的图象 实质就是分析函数的性质 主要观察以下几点 1 图象的上界与下界 即函数的最大值与最小值 2 与坐标轴的交点 即 f x 0 或 x 0 的点 3 图象的对称性 即函数的奇偶性 4 图象在某段上的变化趋势 即函数的单调性 5 图象的变化规律 即函数的周期性 例 3 2010 课标全国 已知函数 f x Error 若 a b c 互不相等 且 f a f b f c 则 abc 的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 解析 a b c 互不相等 不妨设 a b c f a f b f c 由图象可知 0 a 1 1 b 10 10 c 12 f a f b lg a lg b lg a lg b 即 lg a lg a 1 b 1 b ab 1 10 abc c 12 故选 C 考点四 指数函数与对数函数 指数函数 对数函数在高考中处于次重要位置 在高考中往往以基础知识为主 如数 值的计算 数值的大小比较等 有时也与函数的基本性质 如单调性等综合考查 例 4 12 分 2009 上海 有时可用函数 f x Error 描述学习某学科知识的掌握程度 其中 x 表示某学科知识的学习次数 x N f x 表示对 用心 爱心 专心5 该学科知识的掌握程度 正实数 a 与学科知识有关 1 证明 当 x 7 时 掌握程度的增长量 f x 1 f x 总是下降 2 根据经验 学科甲 乙 丙对应的 a 的取值区间分别为 115 121 121 127 127 133 当学习某学科知识 6 次时 掌握程度是 85 请确定相应的学科 标准解答 1 证明 当 x 7 时 f x 1 f x 3 分 0 4 x 3 x 4 而当 x 7 时 函数 y x 3 x 4 单调递增 4 分 且 x 3 x 4 0 故 f x 1 f x 单调递减 5 分 当x 7 掌握程度的增长量f x 1 f x 总是下降 6 分 2 由题意可知 0 1 15ln 0 85 8 分 a a 6 整理得 e0 05 9 分 a a 6 解得 a 6 20 50 6 123 0 123 0 121 127 11 分 e0 05 e0 05 1 由此可知 该学科是乙学科 12 分 3 2010 浙江 设函数的集合 P 2 11 log 0 1 1 0 1 22 f xxab ab 平面上 点的集合 Q Error 则在同一