因式分解专项训练

1 因式分解方法技巧因式分解方法技巧 专题一专题一 分解因式的常用方法 一提二用三查分解因式的常用方法 一提二用三查 即先考虑各项有无公因式可提 再考虑能否运用公 式来分解 最后检查每个因式是否还可以继续分解 以及分解的结果是否正确 常见错误 常见错误 1 漏项 特别是漏掉 2 变错符号 特别是公因式有负号时 括号内的符号没变化 3 分解不彻底 首项有负常提负 各项有 公 先提 公 某项提出莫漏 1 括号里面分到 底 例题 例题 把下列各式因式分解 1 x y x y y x x y 2 2 a5 a 3 3 x2 4x 2 48 1 2 3 3 123xx 222 2 1 2axxa aa63 2 4 56x3yz 14x2y2z 21xy2z2 5 4a3 16a2b 26ab2 6 44 16nm 专题二专题二 二项式的因式分解二项式的因式分解 二项式若能分解 就一定要用到两种方法 1 提公因式法 2 平方差公式 法 先观察二项式的两项是否有公因式 然后再构造平方差公式 运用平方差公式 a2 b2 a b a b 时 关键是正确确定公式中 a b 所代表的整式 将一个数或者一个整式化成 整式 然后通过符号的转换找到负号 构成平方差公式 记住要分解彻底 平方差公式运用时注意点 平方差公式运用时注意点 根据平方差公式的特点 当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式 A 多项式为二项式或可以转化成二项式 B 两项的符号相反 C 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方 及多项式可以转化成平方差的形式 D 首项系数是负数的二项式 先交换两项的位置 再用平方差公式 E 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解 如有公因式的先提取公因式 例题例题 分解因式 3 x y 2 27 2 1 x5 x3 2 3 25 16x2 44 16nm 4 9a2 b2 5 25 16x2 6 9a2 b2 4 1 4 1 专题三专题三 三项式的分解因式三项式的分解因式 如果一个能分解因式 一般用到下面 2 种方法 1 提公因式法 2 完全平 方公式法 先观察三项式中是否含有公因式 然后再看三项式是否是完全平方式 即 a2 2ab b2或者 a2 2ab b2的形式 完全平方公式运用时注意点 完全平方公式运用时注意点 A 多项式为三项多项式式 B 其中有两项符号相同 且这两项的绝对值均可以化为某两数 或代数式 的平方 C 第三项为 B 中这两个数 或代数式 的积的 2 倍 或积的 2 倍的相反数 例题例题 将下列各式因式分解 1 ax2 2axy ay2 2 x4 6x2 9 1 25x 2 20 xy 4y2 2 x 3 4x 2 4x 3 324 8124a babab 4 5 32 3129xxx 1311212113 2 nnnnnn yxyxyx 3 专题四专题四 多项式因式分解的一般步骤 多项式因式分解的一般步骤 如果多项式的各项有公因式 那么先提公因式 如果各项没有公因式 那么可尝试运用公式 十字相乘法来分解 如果用上述方法不能分解 那么可以尝试用分组 拆项 补项法来分解 分解因式 必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 分组分解法分组分解法 要把多项式 am an bm bn 分解因式 可以先把它前两项分成一组 并提出公因式 a 把它后 两项分成一组 并提出公因式 b 从而得到 a m n b m n 又可以提出公因式 m n 从而得 到 a b m n 例题例题 分解因式 1 m2 5n mn 5m 2 1311212113 2 nnnnnn yxyxyx 1 2 bc b c ca c a ab a b baba44 22 1 2 aa 231 22 xxyxyx 52 22 3 axya xyxy 2234 2 2 已知 求的值 x x 1 3x x 4 4 1 4 3 若是三角形的三条边 求证 abc abcbc 222 20 专题五专题五 完全平方公式在使用时常作如下变形 222222 2 2abaabbabaabb 1 222222 2 2ababab ababab 2 2222 4 4ababab ababab 3 2222 2 ababab 4 2222 1 2 ababab 5 22 1 2 ababab 6 222222 1 2 abcabbccaabbcca 例 1 已知长方形的周长为 40 面积为 75 求分别以 长方形的长和宽为边长的正方形面积 之和是多少 例 2已知长方形两边之差 为 4 面积为 12 求以长方形的 长与宽之和为边长的正方形面 积 例 3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和 证明 这个整数的 2 倍也可以表示为两个 整数的平方和 例 5已知两数的和为 10 平方和为 52 求这两数的积 5 例 6 已知 x 1 b x 2 c x 3 求 2 b2 c2 b bc c 的值 巩固练习巩固练习 把下列各式分解因式把下列各式分解因式 1 4x3 31x 15 2 2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c4 3 x5 x 1 4 x3 5x2 3x 9 5 2a4 a3 6a2 a 2 1 3p2 6pq 2 2x2 8x 8 1 x3y xy 2 3a3 6a2b 3ab2 3 a2 x y 16 y x 4 x2 y2 2 4x2y2 1 2x2 x 2 16x2 1 3 6xy2 9x2y y3 4 4 12 x y 9 x y 2 1 2am2 8a 2 4x3 4x2y xy2 1 3x 12x3 2 x2 y2 2 4x2y2 6 1 x2y 2xy2 y3 2 n2 m 2 n 2 m 3 x 2y 2 y2 2 x 1 x 3 1 35 36 axxaax 22 3 32334 52015yxyxyx 1 3p2 6pq 2 2x2 8x 8 1 x3y xy 2 3a3 6a2b 3ab2 1 a2 x y 16 y x 2 x2 y2 2 4x2y2 3 a2 4a 4 b2 1 2x2 x 2 16x2 1 3 6xy2 9x2y y3 4 4 12 x y 9 x y 2 1 n2 m 2 n 2 m 2 4x3 4x2y xy2 3 x2 y2 2 4x2y2 4 3x 12x3 7 1 x2y 2xy2 y3 2 x 2y 2 y2 1 2am2 8a 2 x 1 x 3 1 1 a2 b2 2a 1 1 x4 7x2 1 2 x4 x2 2ax 1 a2 3 1 y 2 2x2 1 y2 x4 1 y 2 4 x4 2x3 3x2 2x 1 a4 16 x2 1 y2 2xy 22 16 ab9 ab 1 2 m 1 m 1 1 m 3 22 22 mn2 mnmn 22 4 1 yx 1 6xy2 9x2y y3 2 2a b 2 8ab 3 4 222 2cbaba xaax22 22 1 2 3 4 34 2 xx2482 2 xxyxyyx365 2 10029 24 xx 8 37 38 39 xyxyyx 22 2 2 5 2 xax 23 yxyxyx 40 41 23 5 7 32 abyxyxba 3 3 3 xcxbxa 42 36 x y 2 49 x y 2 43 x 1 b2 1 x 44 x2 x 1 2 1 1 2 3 2 4 xy 2 4 xy 2 xyx 22 20 9 5 1 ba 1 2 3 22 23 32 yxyx 4242 55bmam xyxy33 3 2