北京市怀柔区2012届高三数学4月调研考试试题 文 北师大版

1 F E P G O Q H 20122012 年怀柔区高三年级调研考试数年怀柔区高三年级调研考试数 学 文科 学 文科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 个小题 每小题个小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 有且只有一项是符合题目要求的 有且只有一项是符合题目要求的 1 已知全集 U 一 l 0 1 2 集合 A 一 l 2 则 ACU A 0 1 B 2 C 0 l 2 D 2 已知i为虚数单位 2 i z 则复数 z A i 1B i 1C 2iD 2i 3 a 2 是 直线 ax 十 2y 0 与直线 x y l 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 一个四棱锥的三视图如图所示 其中主 视图是腰长为 1 的等腰直角三角形 则 这个几何体的体积是 A 2 1 B 1 C 2 3 D 2 5 函数 2 sincos 1yxx 是 A 最小正周期为 2 的奇函数 B 最小正周期为 2 的偶函数 C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 6 如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H 则 OPOQ A OH B OG C EO D FO 7 设 x 1 S min logx2 log2 4x3 则 S 的最大值为 A 3 B 4 C 5 D 6 8 若函数 yf xxR 满足 2f xf x 且 1 1x 时 2 1f xx 11 主视图 左视图 俯视图 2 开 始 i 1 s 0 s s i 1 i i 2 输出 S 结 束 否 是 函数 lg 0 1 0 xx g x x x 则函数 h xf xg x 在区间 5 5 内的零点的个 数为 A 5 B 7 C 8 D 10 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 函数 x xf 2 1 1 的定义域是 10 如图给出的是计算 2011 1 5 1 3 1 1 的值 的一个程序框图 其中判断框内应填入的条件 是 11 如图 ABC 中 90 C 30 A 1 BC 在三角 形内挖去半圆 圆心O在边AC 上 半圆与BC AB相切于点 C M 与AC交于N 见图中 非阴影部分 则该半圆的半径 长为 12 当 1 2 x 时 不等式 2 1 logaxx 恒成立 则实数a的取值范围为 13 已知不等式组 1 2 2 y yx yx 表示的平面区域为M 若直线13 kkxy与平面区域 M有公共点 则k的取值范围是 14 手表的表面在一平面上 整点 1 2 12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为 2 2 的圆周上 从整点 i 到整点 i 1 的向量记作 1 iit t 则 2111243323221 tttttttttttt 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 15 本小题满分 13 分 在 ABC 中 角 A B C 的所对应边分别为 a b c 且 sin2sin 3 5ACba 求 c 的值 3 求 3 2sin A的值 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥SABCD 中 底面ABCD是 正方形 其他四个侧面都是等边三角形 AC与BD的 交点为O E为侧棱SC上一点 当E为侧棱SC的中 点时 求证 SA 平面BDE 求证 平面BDE 平面SAC O S A B C D E 4 17 本小题满分 13 分 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽取M名学生作为样本 得到 这M名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如下 求 出 表中 M p及图中a的值 分组频数频率 10 15 100 25 15 20 24 n 20 25 m p 25 30 20 05 合计M 1 频率 组距 15252010 0 30 次数 a 5 若该校高三学生有 240 人 试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间 10 15 内的人数 在所取样本中 从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人 求至多一人 参加社区服务次数在区间 25 30 内的概率 18 本小题满分 13 分 设a R 函数 23 3 xaxxf 若2 x是函数 xfy 的极值点 求实数a的值 若函数 x g xe f x 在 2 0 上是单调减函数 求实数a的取值范围 6 19 本小题满分 14 分 已知椭圆C的两焦点为 0 1 1 F 0 1 2 F 并且经过点 2 3 1M 求椭圆C的方程 已知圆O 1 22 yx 直线l 1 nymx 证明当点 nmP 在椭圆C上运动 时 直线l与圆O恒相交 并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围 7 20 本题满分 13 分 对于给定数列 n c 如果存在实常数 p q使得 1nn cpcq 对于任意 nN 都成 立 我们称数列 n c是 T数列 若nan2 3 2n n b nN 数列 n a n b是否为 T数列 若是 指 出它对应的实常数 p q 若不是 请说明理由 证明 若数列 n a是 T数列 则数列 1 nn aa也是 T数列 若数列 n a满足 1 2a 23 1 Nntaa n nn t为常数 求数列 n a前 2013项的和 8 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 题号 12345678 答案 ACCACDAC 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 9 0 10 2011 i 11 3 3 12 2 1 13 0 3 1 14 936 三 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 15 本小题满分 13 分 在 ABC 中 角 A B C 的所对应边分别为 a b c 且 sin2sin 3 5ACba 求 c 的值 求 3 2sin A的值 解 根据正弦定理 sinsin ca CA 所以 sin 22 5 sin C caa A 5 分 根据余弦定理 得 222 2 5 cos 25 cba A bc 9 于是 2 5 sin1 cos 5 AA 从而 4 sin22sincos 5 AAA 22 3 cos2cossin 5 AAA 12 分 所以 43 3 sin 2 sin2 coscos2 sin 33310 AAA 13 分 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥SABCD 中 底面ABCD是 正方形 其他四个侧面都是等边三角形 AC与BD的 交点为O E为侧棱SC上一点 当E为侧棱SC的中 点时 求证 SA 平面BDE 求证 平面BDE 平面SAC 证明 连接OE 由条件可得SA OE 因为SA 平面BDE OE 平面BDE 所以SA 平面BDE 7 分 证明 由已知可得 SBSD O是BD中点 所以BDSO 又因为四边形ABCD是正方形 所以BDAC 因为ACSOO 所以BDSAC 面 又因为BDBDE 面 所以平面BDE 平面SAC 14 分 17 本小题满分 13 分 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽取M名学生作为样本 得到 这M名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方 图如下 分组频数频率 O S A B C D E O S A B C D E 频率 组距 15252010 0 30 次数 a 10 求出表中 M p及图中a的值 若该校高三学生有 240 人 试估计 该校高三学生参加社区服务的次数在区间 10 15 内的人数 在所取样本中 从参加社区服务的 次数不少于 20 次的学生中任选 2 人 求至多一人参加社区服务次数在区间 25 30 内的 概率 解 由分组 10 15 内的频数是10 频率是0 25知 10 0 25 M 所以40M 2 分 因为频数之和为40 所以1024240m 4m 3 分 4 0 10 40 m p M 4 分 因为a是对应分组 15 20 的频率与组距的商 所以 24 0 12 40 5 a 6 分 因为该校高三学生有 240 人 分组 10 15 内的频率是0 25 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人 8 分 这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有26m 人 设在区间 20 25 内的人为 1234 a a a a 在区间 25 30 内的人为 12 b b 则任选2人共有 1213141112232421 a aa aa aa ba ba aa aa b 2234 a ba a 3132414212 a ba ba ba bb b15 种情况 10 分 而两人都在 25 30 内只能是 12 b b一种 12 分 所以所求概率为 114 1 1515 P 约为0 93 13 分 18 本小题满分 13 分 设a R 函数 23 3 xaxxf 若2 x是函数 xfy 的极值点 求实数a的值 10 15 100 25 15 20 24 n 20 25 m p 25 30 20 05 合计M 1 11 若函数 x g xe f x 在 2 0 上是单调减函数 求实数a的取值范围 解 2 363 2 fxaxxx ax 因为2x 是函数 yf x 的极值点 所以 2 0 f 即6 22 0a 所以1a 经检验 当1a 时 2x 是函数 yf x 的极值点 即1a 6 分 由题设 322 336 x g xe axxaxx 又0 x e 所以 0 2 x 322 3360axxaxx 这等价于 不等式 2 322 3636 33 xxx a xxxx 对 0 2 x 恒成立 令 2 36 3 x h x xx 0 2 x 则 22 2222 3 46 3 2 2 0 3 3 xxx h x xxxx 10 分 所以 h x在区间0 2 上是减函数 所以 h x的最小值为 6 2 5 h 12 分 所以 6 5 a 即实数a的取值范围为 6 5 13 分 19 本小题满分 14 分 已知椭圆C的两焦点为 0 1 1 F 0 1 2 F 并且经过点 2 3 1M 求椭圆C的方程 已知圆O 1 22 yx 直线l 1 nymx 证明当点 nmP 在椭圆C上运动 时 直线l与圆O恒相交 并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围 解 解法一 设椭圆C的标准方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由椭圆的定义知 12 22 22 222 33 21 101 104 1 3 22 acbac 得 3 2 ba 故C的方程为1 34 22 yx 4 分 解法二 设椭圆C的标准方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 依题意 1 22 ba 将点 2 3 1M坐标代入得1 2 3 1 2 2 2 2 ba 由 解得3 4 22 ba 故C的方程为1 34 22 yx 4 分 因为点 nmP 在椭圆C上运动 所以 22 1 43 mn 则1 34 22 22 nm nm 从而圆心O到直线1 nymxl的距离r nm d 1 1 22 所以直线l与圆O相交 8 分 直线l被圆O所截的弦长为 22 2 1 1212 nm dL 3 4 1 1 12 4 13 1 12 2 2 2 m m m 10 分 3 1 3 4 1 1 4 1 43 4 1 340 2 22 m mm 3 3 62 L 14 分 20 本题满分 13 分 对于给定数列 n c 如果存在实常数 p q使得 1nn cpcq 对于任意 nN 都成 13 立 我们称数列 n c是 T数列 若nan2 3 2n n b nN 数列 n a n b是否为 T数列 若是 指 出它对应的实常数 p q 若不是 请说明理由 证明 若数列 n a是 T数列 则数列 1 nn aa也是 T数列 若数列 n a满足 1 2a 23 1 Nntaa n nn t为常数 求数列 n a前 2013项的和 解 因为2 n an 则有 1 2 nn aa nN 故数列 n a是 T数列 对应的实常数分别为1 2 因为3 2n n b 则有 1 2 nn bb nN 故数列 n b是 T数列 对应的实常数分别为2 0 4 分 证明 若数列 n a是 T数列 则存在实常数 p q 使得 1nn apaq 对于任意 nN 都成立 且有 21nn apaq 对于任