变量间的相关关系教案

1 高中数学必修高中数学必修 3 3 变量间的相关关系变量间的相关关系 教案教案 教学分析 教材通过收集实际问题中两个有关联变量的数据作出散点图 并利用散点 图直观地认识变量间的相关关系 值得注意的是 散点图直观地描述了两个变量之间有没有相关关系 教学 中指导学生作出散点图 并利用散点图直观认识两变量的相关关系 三维目标 1 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系 2 明确事物间的相互联系 认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外 仍存在大量的非确定性的相关关系 并利用散点图直观体会这种相关关系 3 通过讨论相关关系 培养学生普遍联系的思想 重点难点 教学重点 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的 相关关系 利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系 教学难点 变量之间相关关系的理解 课时安排 1 课时 教教学学过过程程 导入新课 思路思路 1 1 在学校里 老师经常这样对学生说 如果你的数学成绩好 那么 你的物理学习就不会有什么大问题 按照这种说法 似乎学生的物理成绩与数 学成绩之间存在着一种相关关系 这种说法有没有根据呢 教师点出课题 思路思路 2 2 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍 有人经统计发现了一个有趣 的现象 如果村庄附近栖息的天鹅多 那么这个村庄的婴儿出生率也高 天鹅 少的地方婴儿的出生率也低 于是 他就得出一个结论 天鹅能够带来孩 子 你认为这样得到的结论可靠吗 如何证明这个结论的可靠性 教师点出课 题 推进新课 Error Error 1 粮食产量与施肥量有关系吗 名师出高徒 可以解释为教师的水平越 高 学生的水平也越高 教师的水平与学生的水平有什么关系 你能举出更多 的描述生活中两个变量的相关关系的例子吗 2 两个变量间的关系有几种 什么是相关关系 3 怎样判断两个变量间的相关关系 4 什么是正相关 负相关 讨论结果 1 粮食产量与施肥量有关系 一般是在标准范围内 施肥越多 粮食产量 越高 教师的水平与学生的水平有关系 通常是教师的水平越高 学生的水平 2 往往也越高 像这种关系称为相关关系 我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的例子 例如 商品销售收入与广告支出经费之间的关系 商品销售收入与广告支出经费 有着密切的联系 但商品销售收入不仅与广告支出多少有关 还与商品质量 居民收入等因素有关 粮食产量与施肥量之间的关系是 在一定范围内 施肥量越大 粮食产量 就越高 但是 施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素 因为粮食产量还要受 到土壤质量 降雨量 田间管理水平等因素的影响 2 变量与变量之间的关系常见的有两类 一类是确定性的函数关系 像正 方形的边长 a 和面积 S 的关系 另一类是变量间确实存在关系 但又不具备函 数关系所要求的确定性 它们的关系是带有随机性的 即相关关系 3 我们先看下面的例子 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中 研究人员获得了一组样本数 据 年龄 23273841454950 脂肪 9 517 821 225 927 526 328 2 年龄 53545657586061 脂肪 29 630 231 430 833 535 234 6 分析数据 大体上来看 随着年龄的增加 人体中脂肪的百分比也在增 加 以年龄 x 的取值作横坐标 把相应的脂肪含量 y 的值作纵坐标 在直角坐 标系中描点 xi yi i 1 2 3 14 如下图所示 这样的图形叫做散点 图 从散点图我们可以看出 年龄越大 体内脂肪含量越高 图中点的趋势表 明两个变量之间存在相关关系 这个图支持了我们从数据表中得出的结论 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上 就用该函数来描述变量之间的 关系 即变量之间具有函数关系 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 变量之间就有相关关系 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就 有线性相关关系 4 具有相关关系的两个变量 x 与 y 如果 x 的值由小变大时 y 的值也在 由小变大 这种相关称为正相关 反之 如果一个变量的值由小变大时另一个 变量的值由大变小 这种相关称为负相关 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内 称为正相关 如果 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内 称为负相关 注 散点图的 3 点如果几乎没有什么规则 则这两个变量之间不具有相关关系 Error 思路思路 1 1 例 设某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表 年收 入 x 万元 24466677810 年饮 食支 出 y 万元 0 91 41 62 02 11 91 82 12 22 3 1 画出散点图 2 根据散点图判断 x 与 y 之间是否具有相关关系 分析 分析 根据散点图中各点的分布情况判断 x 与 y 之间是否具有相关关系 解 解 1 散点图 如下图所示 2 观察散点图知 各点在一次函数图象 直线 的附近 所以 x 与 y 之间具 有相关关系 并且是正相关 点评 点评 画散点图时应注意合理选择单位长度 避免图形过大或偏小 或者 是点的坐标在坐标系中画不准 使图形失真 导致得出错误结论 4 变式训练 5 名学生的数学和物理成绩如下表 画出散点图 并判断它们是否有相关关系 解 解 以 x 轴表示数学成绩 y 轴表示物理成绩 可得相应的散点图 观察散点图知 数学成绩与物理成绩具有相关关系 并且是正相关 思路思路 2 2 例 有关法律规定 香烟盒上必须印上 吸烟有害健康 的警示语 吸烟是 否一定会引起健康问题 你认为 健康问题不一定是由吸烟引起的 所以可以 吸烟 的说法对吗 解 解 从已经掌握的知识来看 吸烟会损害身体的健康 但是除了吸烟之外 还有许多其他的随机因素影响身体健康 人体健康是很多因素共同作用的结 果 我们可以找到长寿的吸烟者 也更容易发现由于吸烟而引发的患病者 所 以吸烟不一定引起健康问题 但吸烟引起健康问题的可能性大 因此 健康问 题不一定是由吸烟引起的 所以可以吸烟 的说法是不对的 点评 点评 在探究研究的过程中 如果能够从两个变量的观察数据之间发现相 关关系是极为有意义的 由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系 从 而发现引起这种相关关系的本质原因是什么 本题的意义在于引导学生重视对 统计结果的解释 从中发现进一步研究的问题 变式训练 下列关系中 带有相关关系的是 正方形的边长与面积之间的关系 水稻产量与施肥量之间的关系 人的身高与年龄之间的关系 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 分析 分析 两变量之间的关系有两种 函数关系与带有随机性的相关关系 正 方形的边长与面积之间的关系是函数关系 水稻产量与施肥量之间的关系不是 严格的函数关系 但是具有相关性 因而是相关关系 人的身高与年龄之间的 关系既不是函数关系 也不是相关关系 因为人的年龄达到一定时期身高就不发 5 生明显变化了 因而它们不具备相关关系 降雪量与交通事故的发生率之间具 有相关关系 因此填 答案 答案 Error 1 一个车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此进 行了 10 次试验 收集数据如下 零件 数 x 个 102030405060708090100 加工 时间 y mi n 626875818995102108115122 1 画出散点图 2 关于加工零件的个数与加工时间 你能得出什么结论 解 解 1 散点图如下图 2 加工零件的个数与所花费的时间具有相关关系 并且是正相关 2 有时候 一些东西吃起来口味越好 对我们的身体越有害 下表给出了 不同类型的某种食品的数据 第二列表示此种食品所含热量的百分比 第三列 数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价 品牌所含热量的百分比口味记录 6 A B C D E F G H I J 25 34 20 19 26 20 19 24 19 13 89 89 80 78 75 71 65 62 60 52 1 作出这些数据的散点图 2 关于两个变量之间的关系 你能得出什么结论 解 解 1 散点图如图 2 基本呈正相关关系 即食品所含热量越高 口味越好 Error 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据 房屋面积 m2 11511080135105 销售价格 万元 24 821 618 429 222 1 画出数据对应的散点图 2 指出是正相关还是负相关 3 关于销售价格 y 和房屋的面积 x 你能得出什么结论 解 解 1 数据对应的散点图如图所示 7 2 散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内 所以是正相关 3 关于销售价格 y 和房屋的面积 x 房屋的面积越大 价格越高 它们具 有相关的关系 并且是正相关 Error 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图 并利用散点图直 观认识变量间的相关关系 Error 本节练习 B 设设计计感感想想 本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容 通 过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系 并学会了利用散点图及其分布 来说明两个变量的相关关系的种类 为下一节课作了铺垫 另外 本节课通过 选取一些学生特别关心的身边事例 对学生进行思想情操教育 意志教育来增 强其自信心 使学生养成良好的学习态度和学习方法 树立科学的时间观 培 养其勤奋 吃苦耐劳的精神 备备课课资资料料 数学家关肇直 关肇直 1919 2 13 1982 11 12 中国科学院院士 是中国数学家 生于 北京 原籍广东省南海县 父亲关葆麟早年留学德国 回国后任铁道工程师多 年 于 1932 年故世 母亲陆绍馨 是北平女子师范大学的毕业生 曾从教于北 京师范大学 关葆麟去世后 母亲以微薄的收入艰难地抚育关肇直及其弟妹多 人 新中国成立后 关肇直尽心亲侍慈母 直至其母 1967 年去世 关肇直于 1959 年 1 月与刘翠娥结婚 他们有两个女儿 刘翠娥系中国科学院工程物理研 究所研究人员 关肇直于 1927 年进入北京培华中学附属小学学习 1931 年入英国人办的崇 德中学学习 学校对英文要求十分严格 加上关肇直自小就由父母习以英文 德文 为日后掌握英文 德文 法文 西班牙文和俄文奠定了良好基础 1936 年高中毕业后考入清华大学土木工程系 后于 1938 年转入燕京大学数学系学 习 毕业后在燕京大学 后迁成都 任教 参加成都教授联谊会 担任学生进步 组织的导师 积极支持抗日救国学生运动 1946 年春从成都返回北平 北京 不久从燕京大学转到北京大学数学系任教 1947 年通过考试成为国民政府派遣 的中法交换生赴法国留学 名义上去瑞士学哲学 实际上去了巴黎大学庞加莱 8 研究所研究数学 导师是著名数学家 一般拓朴与泛函分析的创始人弗雷歇 M R Frechetl 1948 年参加革命团体 中国科学工作者协会 是该会旅法 分会的创办人之一 1949 年 10 月 新中国诞生 他毅然决定放弃获得博士学位 的机会 关肇直于 12 月回到祖国 满腔热情地参加了新中国的建设 并立即参 加了组建中国科学院的工作 他和其他同志一起 协助郭沫若院长筹划建院事 宜 确定科学院的方向 任务 体制等 组建科学院图书馆 担任图书管理处 处长 编译局处长 1952 年参加筹建中国科学院数学研究所的工作 并在数学 研究所从事数学研究 历任副研究员 研究员 研究室主任 副所长 学术委 员会副主任 他还是中国科学院声学研究所学术委员会委员及原子能研究所学 术委员会委员 从 1952 年起 兼任北京师范大学 北京大学 中国人民大学和 中国科技大学等校教授以及华南工学院名誉教授 并兼任过中国科学院成都分 院学术顾问 该院数理科学研究室主任 中国科学院武汉数学物理研究所顾问 研究员 他还是国家科委数学学科组副组长 自动化学科组成员 曾担任北京 数学会理事长 中国数学会秘书长 国际自动控制联合会理论委员会成员及 中国科学 科学通报 数学学报 和 系统科学与数学 等杂志的编委或 主编等职