基本不等式完整版(非常全面)

1 基本不等式专题辅导基本不等式专题辅导 一 知识点总结一 知识点总结 1 1 基本不等式原始形式 基本不等式原始形式 1 若 则 Rba abba2 22 2 若 则Rba 2 22 ba ab 2 2 基本不等式一般形式 均值不等式 基本不等式一般形式 均值不等式 若 则 Rba abba2 3 3 基本不等式的两个重要变形 基本不等式的两个重要变形 1 若 则 Rba ab ba 2 2 若 则 Rba 2 2 ba ab 总结 当两个正数的积为定植时 它们的和有最小值 总结 当两个正数的积为定植时 它们的和有最小值 当两个正数的和为定植时 它们的积有最小值 当两个正数的和为定植时 它们的积有最小值 特别说明 以上不等式中 特别说明 以上不等式中 当且仅当当且仅当时取时取ba 4 4 求最值的条件 求最值的条件 一正 二定 三相等一正 二定 三相等 5 5 常用结论 常用结论 1 若 则 当且仅当时取 0 x 1 2x x 1x 2 若 则 当且仅当时取0 x 1 2x x 1x 3 若 则 当且仅当时取0 ab 2 a b b a ba 4 若 则Rba 2 2 22 2 baba ab 5 若 则 Rba 22 11 1 22 baba ab ba 特别说明 以上不等式中 特别说明 以上不等式中 当且仅当当且仅当时取时取 ba 6 6 柯西不等式 柯西不等式 1 若 则 a b c dR 22222 abcdacbd 2 若 则有 123123 a a a b b bR 2222222 1231 1231 1223 3 aaabbbaba ba b 3 设是两组实数 则有 1212 nn a aabb 与b 222 12 n aaa 222 12 n bbb 2 1 122 nn aba ba b 二 题型分析二 题型分析 题型一 利用基本不等式证明不等式题型一 利用基本不等式证明不等式 1 设均为正数 证明不等式 ba ab ba 11 2 2 已知为两两不相等的实数 求证 cba cabcabcba 222 3 已知 求证 1abc 222 1 3 abc 4 已知 且 求证 a b cR 1abc abccba8 1 1 1 2 5 已知 且 求证 a b cR 1abc 111 1118 abc 6 2013 年新课标 卷数学 理 选修 4 5 不等式选 讲 设 a b c均为正数 且1abc 证明 1 3 abbcca 222 1 abc bca 7 2013 年江苏卷 数学 选修 4 5 不等式选讲 已知 求证 0 babaabba 2233 22 题型二 利用不等式求函数值域题型二 利用不等式求函数值域 1 1 求下列函数的值域 求下列函数的值域 1 2 2 2 2 1 3 x xy 4 xxy 3 4 0 1 x x xy 0 1 x x xy 题型三 利用不等式求最值题型三 利用不等式求最值 一 一 凑项 凑项 1 已知 求函数的最小值 2 x 42 4 42 x xy 变式 1 已知 求函数的最小值 2 x 42 4 2 x xy 3 变式 2 已知 求函数的最大值 2 x 42 4 2 x xy 练习 1 已知 求函数的最小 5 4 x 1 42 45 yx x 值 2 已知 求函数的最大值 5 4 x 1 42 45 yx x 题型四 利用不等式求最值题型四 利用不等式求最值 二 二 凑系数 凑系数 1 当时 求的最大值 82 yxx 变式 1 当时 求的最大值 4 82 yxx 变式 2 设 求函数的最大值 2 3 0 x 23 4xxy 2 若 求的最大值 02 xyxx 63 变式变式 若 求的最大值 40 x 28 xxy 3 求函数的最大值 2 5 2 1 2512 xxxy 提示 平方 利用基本不等式 4 变式 变式 求函数的最大值 4 11 4 3 41134 xxxy 题型五 巧用题型五 巧用 1 1 的代换求最值问题的代换求最值问题 1 已知 求的最小值 12 0 babat ab 11 法一 法一 法二 法二 变式变式 1 1 已知 求的最小22 0 babat ab 11 值 变式变式 2 2 已知 求的最小值 28 0 1x y xy xy 变式变式 3 3 已知 且 求的最小0 yx 11 9 xy xy 值 变式变式 4 4 已知 且 求的最小0 yx 19 4 xy xy 值 变式变式 5 5 1 若且 求的最小值 0 yx12 yx 11 xy 2 若且 求的最小 Ryxba 1 y b x a yx 值 5 变式变式 6 6 已知正项等比数列满足 n a 567 2aaa 若存在两项 使得 求的最 nm aa 1 4aaa nm nm 41 小值 题型六 分离换元法求最值 了解 题型六 分离换元法求最值 了解 1 求函数的值域 1 1 107 2 x x xx y 变式 变式 求函数的值域 1 1 8 2 x x x y 2 求函数的最大值 提示 换元法 52 2 x x y 变式 变式 求函数的最大值 94 1 x x y 题型七 基本不等式的综合应用题型七 基本不等式的综合应用 1 已知 求的最小值1loglog 22 ba ba 93 2 2009 天津 已知 求的最小值 0 ba ab ba 2 11 变式变式 1 2010 四川 如果 求关于的表0 baba 6 达式的最小值 11 2 baaab a 变式变式 2 2012 湖北武汉诊断 已知 当时 1 0 aa 函数的图像恒过定点 若点在直1 1 log xy a AA 线上 求的最小值 0 nymx nm 24 3 已知 求最小值 0 yx822 xyyxyx2 变式变式 1 已知 满足 求范围 0 ba3 baabab 变式变式 2 2010 山东 山东 已知 0 yx 求最大值 提示 通分或三角 3 1 2 1 2 1 yx xy 换元 变式变式 3 2011 浙江 浙江 已知 0 yx 求最大值 1 22 xyyxxy 4 2013 年山东 理 设正实数满足zyx 则当取得最大值时 043 22 zyxyx z xy 的最大值为 zyx 212 A B C D 01 4 9 3 提示 代入换元 利用基本不等式以及函数求最值 7 变式 变式 设是正数 满足 求的zyx 032 zyx xz y2 最小值 题型八 利用基本不等式求参数范围题型八 利用基本不等式求参数范围 1 2012 沈阳检测 已知 且0 yx 恒成立 求正实数的最小值 9 1 y a x yxa 2 已知且恒成立 0 zyx zx n zyyx 11 如果 求的最大值 参考 4 Nnn 提示 分离参数 换元法 变式 变式 已知满则 若恒成立 0 ba2 41 ba cba 求的取值范围 c 题型九 利用柯西不等式求最值题型九 利用柯西不等式求最值 1 1 二维柯西不等式 二维柯西不等式 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a Rdcba 若 则 a b c dR 22222 abcdacbd 2 2 二维形式的柯西不等式的变式 二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba 2222 1 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a Rdcba bdacdcba 2222 2 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a Rdcba 8 2 3 bdacdcba 0 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a dcba 3 3 二维形式的柯西不等式的向量形式 二维形式的柯西不等式的向量形式 0 等号成立时使或存在实数当且仅当 kak 4 4 三 三维柯西不等式维柯西不等式 若 则有 123123 a a a b b bR 2222222 1231 1231 1223 3 aaabbbaba ba b 3 3 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 b a b a b a Rba ii 5 5 一般 一般维柯西不等式维柯西不等式n 设是两组实数 则有 1212 nn a aabb 与b 222 12 n aaa 222 12 n bbb 2 1 122 nn aba ba b 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 n n ii b a b a b a Rba 题型分析题型分析 题型一 利用柯西不等式一般形式求最值题型一 利用柯西不等式一般形式求最值 1 设 若 则 x y zR 222 4xyz 的最小值为 时 zyx22 zyx 析 2 2 1 22 2222222 zyxzyx 3694 最小值为zyx22 6 此时 3 2 2 2 1 6 221 222 zyx 3 2 x 3 4 y 3 4 z 2 设 求的 x y zR 226xyz 222 xyz 最小值 并求此时之值 m x y z Ans 3 4 3 2 3 4 4 zyxm 3 设 求 x y zR 332 zyx 之最小值为 此时 222 1 zyx y 析 0 1 32332