历年高考数学真题考点归纳 2010年 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形

1 历年高考真题考点归纳历年高考真题考点归纳 20102010 年年 第五章第五章 平面向量 解三角形平面向量 解三角形 第二节第二节 解三角形解三角形 一 选择题 1 1 20102010 上海文 上海文 18 若 ABC的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 答案 C 解析 由sin sin sin5 11 13ABC 及正弦定理得 a b c 5 11 13 由余弦定理得0 1152 13115 cos 222 c 所以角 C 为钝角 2 2 20102010 湖南文 湖南文 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 c 2a 则 A a b B a b C a b D a 与 b 的大小关系不能确定 命题意图 本题考查余弦定理 特殊角的三角函数值 不等式的性质 比较法 属中档题 3 3 20102010 江西理 江西理 7 E F 是等腰直角 ABC 斜边 AB 上的三等分点 则tanECF A 16 27 B 2 3 C 3 3 D 3 4 答案 D 2 解析 考查三角函数的计算 解析化应用意识 解法 1 约定 AB 6 AC BC 3 2 由余弦定理 CE CF 10 再由余弦定理得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 解法 2 坐标化 约定 AB 6 AC BC 3 2 F 1 0 E 1 0 C 0 3 利用向量的夹角公式得 4 cos 5 ECF 解得 3 tan 4 ECF 4 4 20102010 北京文 北京文 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的 四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积 为 A 2sin2cos2 B sin3cos3 C 3sin3cos1 D 2sincos1 答案 A 5 5 20102010 天津理 天津理 7 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别是 a b c 若 22 3abbc sin2 3sinCB 则 A A 0 30 B 0 60 C 0 120 D 0 150 答案 A 解析 本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用 属于中等题 由由正弦定理得 2 3 2 3 22 cb cb RR 所以 cosA 2222 c a3 22 bbcc bcbc 32 33 22 bcbc bc 所以 A 300 温馨提示 解三角形的基本思路是利用正弦 余弦定理将边化为角运算或将角化为边 运算 6 6 20102010 湖南理 湖南理 6 在 ABC 中 角 A B C 所对的边长分别为 a b c 若 C 120 3 2ca 则 A a b B a ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P有O PO C 而小艇的最高 航行速度只能达到 30 海里 小时 故轮船与小艇不可能在 A C 包含 C 的任意位置相遇 设COD 0 90 10 3tanRt CODCD 则在中 OD 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为 10 10 3tan 30 t 和 10 3 cos t v 所以 10 10 3tan 30 10 3 cosv 解得 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv 又故 从而30 90 30tan 由于时 取得最小值 且最小值为 3 3 于是 当30 时 10 10 3tan 30 t 取得最小值 且最小值为 2 3 此时 在OAB 中 20OAOBAB 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇 2010 安徽理数 16 本小题满分 12 分 设ABC 是锐角三角形 a b c分别是内角 A B C所对边长 并且 10 22 sinsin sin sin 33 ABBB 求角A的值 若12 2 7AB ACa A 求 b c 其中bc 8 8 20102010 江苏卷 江苏卷 17 本小题满分 14 分 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的标杆 BC 的高度 h 4m 仰角 ABE ADE 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离 d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔的 实际高度为 125m 试问 d 为多少时 最大 解析 本题主要考查解三角形的知识 两角差的正切及不等式的应用 1 tan tan HH AD AD 同理 tan H AB tan h BD 11 AD AB DB 故得 tantantan HHh 解得 tan4 1 24 124 tantan1 24 1 20 h H 因此 算出的电视塔的高度 H 是 124m 2 由题设知dAB 得tan tan HHhHh dADDBd 2 tantan tan 1tantan 1 HHh hdh dd HHhH Hh dH Hh d ddd 2 H Hh dH Hh d 当且仅当 125 12155 5dH Hh 时 取等号 故当55 5d 时 tan 最大 因为0 2 则0 2 所以当55 5d 时 最大 故所求的d是55 5m 9 9 20102010 江苏卷 江苏卷 23 本小题满分 10 分 已知 ABC 的三边长都是有理数 1 求证 cosA 是有理数 2 求证 对任意正整数 n cosnA 是有理数 解析 本题主要考查余弦定理 数学归纳法等基础知识 考查推理论证的能力与分析问题 解决问题的能力 满分 10 分 方法一 1 证明 设三边长分别为 a b c 222 cos 2 bca A bc a b c是有理数 222 bca 是有理数 分母2bc为正有理数 又有理数集对于除法的具有封闭性 222 2 bca bc 必为有理数 cosA 是有理数 2 当1n 时 显然 cosA 是有理数 当2n 时 2 cos22cos1AA 因为 cosA 是有理数 cos2A也是有理数 假设当 2 nk k 时 结论成立 即 coskA cos 1 kA 均是有理数 当1nk 时 cos 1 coscossinsinkAkAAkAA 1 cos 1 coscos cos cos 2 kAkAAkAAkAA 12 11 cos 1 coscoscos 1 cos 1 22 kAkAAkAkA 解得 cos 1 2coscoscos 1 kAkAAkA cosA coskA cos 1 kA 均是有理数 2coscoscos 1 kAAkA 是有理数 cos 1 kA 是有理数 即当1nk 时 结论成立 综上所述 对于任意正整数 n cosnA 是有理数 方法二 证明 1 由 AB BC AC 为有理数及余弦定理知 222 cos 2 ABACBC A AB AC 是有理数 2 用数学归纳法证明 cosnA 和sinsinAnA 都是有理数 当1n 时 由 1 知cos A是有理数 从而有 2 sinsin1 cosAAA 也是有理数 假设当 1 nk k 时 coskA和sinsinAkA 都是有理数 当1nk 时 由cos 1 c