【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题08 立体几何 理

1 精选精选 详解详解 2013 2013 届高三数学名校试题汇编 第届高三数学名校试题汇编 第 3 3 期 专题期 专题 0808 立立 体几何体几何 理理 一 基础题 1 1 安徽省黄山市安徽省黄山市 20132013 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 m n是不同的直线 是不同的平面 有以下四命题 若 则 若 m 则 m 若 mm 则 若 nnm 则 m 其中真命题的序号是 A B C D 2 2 广东省潮州市广东省潮州市 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 对于平面 和共面的两直线 m n 下列命题中是真命题的为 A 若m mn 则 n B 若 m n 则 mn C 若m n 则 mn D 若m n与 所成的角相等 则 mn 答案 C 解析 考查空间中线 面的平行与垂直的位置关系的判断 3 2012 20133 2012 2013 学年云南省昆明市高三 上 摸底调学年云南省昆明市高三 上 摸底调研测试研测试 如图 若一个空间几何体的 三视图中 正视图和侧视图都是直角三角形 其直角边均为 1 则该几何体的表面积为 A B C D 解析 由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱锥 底面是一个边长为 1 的正方形 故底面积 S底 1 侧面有两个直角边长为 1 的等腰直角三角形 和两个边长分为 1 的直角 三角形组成 故 S侧 2 1 1 2 1 1 该几何体的表面积 S S底 S侧 2 故选 D 4 2012 2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试 零诊 已知 m n 是两条不 同直线 是两个不同平面 则下列命题中正确的是 2 A 若 n m n 则 m B 若 n m n 则 m 或 m C 若 n m n m m 则 m 且 m D 若 m 不垂直于平面 则 m 不可能垂直于平面 内的无数条直线 5 惠州市惠州市20132013届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 已知 m n 是两条不同直线 是三个不同 平面 下列命题 中正确的有 mnmn 若 则 若 则 mm 若 则 mnmn 若 则 6 2012 2013 学年江西省南昌市调研考试 下列命题中 m n 两条不同的直线 表示三个不同的平面 若 mn A则mn 若 则 A 若 mn AA则m nA 若 m AA则m 正确的命题是 C A B C D 解析 中平面 即可平行 也可相交 中直线mn 平行 相交和异面皆可 7 北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考 在空间 下列命题正确的是 3 A 平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B 垂直于同一平面的两条直线平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 平行于同一直线的两个平面平行 答案 B 解析 A 中的射影也有可能是两个点 错误 C 中两个平面也可能相交 错误 D 中 的两个平面也有可能相交 错误 所以只有 B 正确 8 四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测 已知直线 l丄平面 a 直线 平面 则 是 的 A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件 D 既不充分又不必要条件 9 2012 2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三 上 第一次调研考试 5 分 一个几 何体按比例绘制的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 A B C D 10 2012 201310 2012 2013 学年河南省中原名校高三 上 第三次联考学年河南省中原名校高三 上 第三次联考 5 分 已知某个几何体的三 视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 4 A B C D 答案 B 解析 由三视图可知 几何体为底面为正三角形的三棱锥 且一面垂直于底面 V 故选 B 11 11 安徽省皖南八校安徽省皖南八校 20132013 届高三第二次联考届高三第二次联考 已知几何体的三视图如图所示 可得这个几 何体的体积是 答案 2 解析 由三视图可知 这个几何体是个四棱锥 底面是一个长和宽分别为 3 2 的矩形 四棱锥的高为 1 其体积为 1 3 2 12 3 12 12 广东省潮州市广东省潮州市 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 若一个正三棱柱的三视图如 下图所示 则这个正三棱柱的体积为 13 13 安徽省黄山市安徽省黄山市 20132013 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 一个几何体的三视图如右图所示 主视图与俯视图都是一边长为3cm的矩形 左视图是一个边长为2cm的等边三角形 则这个 5 几何体的体积为 答案 3 3 3cm 解析 由三视图可知 该几何体是放到的正三棱柱 底面是边长为 2 的正三角形 高为 3 故几何体的体积为 3 1 2 2 sin6033 3 2 cm 二 能力题 1 1 安徽省黄山市安徽省黄山市 20132013 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 如图 右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是 答案 A 解析 根据三视图的定义 可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形 侧视图和 正视图一样 故答案为 A 2 2 广东省肇庆市中小学教学质量评估广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012 2013 学年第一学期统一检测题学年第一学期统一检测题 已知某个几何体的三视图如图 2 所示 根据图中标出的尺寸 单位 cm 则这个几何体的 体积是 A 3 8cm B 3 12cm C 3 24cm D 3 72cm 正视图 侧视图 D 正视图 侧视图 B 正视图 侧视图 A 正视图 侧视图 C 6 3 2012 2013 学年江西省南昌二中高三 上 第四次月考 已知以下三视图中有三个同 时表示某一个三棱锥 则不是该三棱锥的三视图是 A B C D 4 广州市广州市 20132013 届高三年级届高三年级 1 1 月调研测试月调研测试 已知四棱锥PABCD 的三视图如图 1 所 示 则四棱锥PABCD 的四个侧面中面积最大的是 A 3 B 2 5 C 6 D 8 7 D 2 5 2 22 3 3 C B A P N M 22 2 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 4 3 3 侧 1 2 答案答案 C 解析解析 三棱锥如图所示 3PM 1 452 5 2 PDC S 1 2 33 2 PBCPAD SS 1 4 36 2 PAB S 5 2012 2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试 零诊 设某几何体的三视图 如图 尺寸的长度单位为 m 若该几何体的各个顶点都在同一球面上 则此球的表面积 等于 m2 答案用含有 的式子表示 8 6 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理 已知一个空间几何体的三视图如图所示 根 据图中标出的尺寸 可得这个几何体的全面积为 A 10 4 34 2 B 10 2 34 2 C 142 34 2 D 14 4 34 2 答案 B 7 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 已知三棱锥的底 面是边长为的正三角形 其正视图与俯视图如图所示 则其侧视 9 图的面积为 A 3 4 B 3 2 C 3 4 D 答案 C 解析 由正视图与俯视图可知 该几何体为正三棱锥 侧视图为 侧 视图的高为 3 2 高为3 所以侧视图的面积为 133 3 224 选 C 8 北京市东城区 2013 届高三上学期期末理 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体 的表面积为 10 9 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理 如图 某三棱锥的三视图都是直角边为 2的等腰直角三角形 则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 A 3 B 2 3 C 1 D 2 答案 A 解析 由三视图可知 该几何体是一个三棱锥 三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形 所以四个面中面积最大的为BCD 且BCD 是边长为为 2 的正三角形 所以 13 2 23 22 BCD S 选 A 10 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理 三棱锥DABC 及其三视图中的主视图和 11 左视图如图所示 则棱BD的长为 11 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理 设 m n是不同的直线 是不同的 平面 下列命题中正确的是 A 若 mnmn 则 B 若 mnmn 则 C 若 mnmn 则 D 若 mnmn 则 答案 C 解析 C 中 当 mmn 所以 n 或 n 当n 所以 所以 正确 12 北京市通州区 2013 届高三上学期期末理 一个几何体的三视图如图所示 该几何 体 的表面积是 12 A 164 2 B 124 2 C 84 2 D 44 2 13 北京市西城区 2013 届高三上学期期末理 某四面体的三视图如图所示 该四面体的 六条棱的长度中 最大的是 A 2 5 B 2 6 C 2 7 D 4 2 13 答案 C 14 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 中 点 1 P 2 P分别是线段AB 1 BD 不包括端点 上的动点 且线段 12 P P平行于平面 11 A ADD 则四面体 121 PP AB的体积的最大值是 A 1 24 B 1 12 C 1 6 D 1 2 答案 A 解析 过 2 P做 2 PO 底面于 O 连结 1 OP 则 1 OPAB 即 1 OP为三棱锥 211 PPAB 的 高 设 1 01APxx 则由题意知 1 OPAD 所以有 11 OPBP ADAB 即 1 1OPx 三角形 1 1 1 2 APB Sx 所以四面体 121 PP AB的体积为 1 1 2 1 1111111 1 1 33266224 APB xx SOPxxxx 当且仅当 1xx 即 1 2 x 时 取等号 所以四面体 121 PP AB的体积的最大值为 1 24 选 A 14 15 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥 的体积是 A 3 8 B 4 C 2 D 3 4 答案 B 解析 由三视图可知该几何体为三棱锥 三棱锥的高为 2 底面三角形的高为 3 底面边 长为 3 所以底面积为 1 4 36 2 所以该几何体的体积为 1 6 24 3 选 B 16 安徽省 2013 届高三开年第一考 一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的 其 正视图 侧视图 俯视图均是边长为 2 的正方形 如图所示 该多面体的表面积是 A 124 3 B 82 3 C 122 3 D 84 3 答案 A 解析 由三视图可得 多面体如图所示 其面积为 正 主 视图侧 左 视图 俯视图 2 2 3 2 31 15 124 3S 选 A 17 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考 如图 L M N 分别为正方体对应棱的中 点 则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是 A 垂直 B 相交不垂直 C 平行 D 重合 18 2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E F 是 AB 的三等分点 G H 是 CD 的三等分点 M N 分别是 BC EH 的中点 则四棱 锥 A1 FMGN 的 侧视图为 答案 C 解析 略 19 安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考 已知命题 如果 xy yz 则 xz 是假命题 那么字母 x y z 在空间所表示的几何图形只可能是 A 全是直线 B 全是平面 C x z 是直线 y 是平面 D x y 是平面 z 是直线 答案 D 解析 当 x y 是平面 z 是直线时 xy yz 推不出x z 选 D 20 四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测 一空间几 何体的三视图如图所示 图中各线段旁的数字表示 该线段的长度 则 该几何体的体积为 A 30 B 27 C 35 D 36 16 答案 A 解析 本题考查立体几何的三视图 需要空间想象力 原几何体是 下面棱长为 3 的正 方体 上面是高为 2 高线也是一侧棱 且垂足是棱的中点 的三棱锥 22 2012 2013 学年云南省昆明市高三 上 摸底调研测试 已知 A B C D 四点在半 径为的球面上 且 AD BC 5 AB CD 则三棱锥 D ABC 的体积是 解析 由题意 构造长方体 其面上的对角线构成三棱锥 D ABC 如图所示 设长方体的长宽高分别为 a b c 则 a 3 b 2 c 4 三棱锥 D ABC 的体积是 2 3 4 4 2 3 4 20 故答案为 20 23 2012 2013 学年江西省南昌市调研考试 如图是一 个几何体的三视图 根据图中的数据 可得该几何体的 体积是 解析 还原该几何体的立体图形如下图 再将其切 割为两个相同四棱锥和一个三棱柱 便可求得体积为 2 17 24 安徽省宣城市安徽省宣城市 6 6 校校 20132013 届高三联合测评考届高三联合测评考 一几何体 的三视图如图所示 则其体积为 答案 2 解析 该几何体是一个高为 6 底面半径为 2 的圆锥的 1 4 故其体积 V 2 1 1 26 2 4 3 答案 解析 经过空间一点作与两条异面的公垂线段平行的直线 与两条异面直线都 垂直 而且这样的直线有且只有一条 故正确 若该点在这两条异面直线其中一条上 经过该点无法作一平面与两异面直线都平 行 故错误 若直线 b 不在平面 内或两个平面 不是垂直的 此时都无法判断 b 故错误 平行六面体的四个侧面两两全等 但侧棱与底面不垂直时 棱柱为斜四棱柱 故 错误 当三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况 侧面都是等腰三角形的三棱锥 但不是正三棱锥 故错误 18 故答案为 三 拔高题 1 1 北京市东城区北京市东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 一个几何体的三视图如 图所示 则该几何体的表面积为 2 2 北京市东城区北京市东城区 2012 20132012 2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 本小题共 14 分 如图 在菱形ABCD中 60DAB E是AB的中点 MA 平面ABCD 且在矩形ADNM中 2AD 3 7 7 AM 求证 AC BN 求证 AN 平面MEC 求二面角MECD 的大小 解 连结BD 则ACBD 由已知DN 平面ABCD 因为DNDBD AB C D E N M F AB C D E N M y x z 19 所以AC 平面NDB 2 分 又因为BN 平面NDB 所以ACBN 4 分 CM与BN交于F 连结EF 由已知可得四边形BCNM是平行四边形 所以F是BN的中点 因为E是AB的中点 所以 ANEF 7 分 又EF 平面MEC AN 平面MEC 所以 AN平面MEC 9 分 又平面ADE的法向量 0 0 1 m 所以 1 cos 2 m n m n m n 所以二面角MECD 的大小是 60 14 分 20 3 2012 2013 2012 2013 学年河南省中原名校高三 上 第三次联考学年河南省中原名校高三 上 第三次联考 12 分 如图一 平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称 A 60 C 90 CD 2 把 ABD 沿 BD 折起 如图二 使二 面角 A BD C 的余弦值等于 对于图二 完成以下各小题 求 A C 两点间的距离 证明 AC 平面 BCD 求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值 由 知 BD 平面 ACEBD 平面 ABD 平面 ACE 平面 ABD 10 分 平面 ACE 平面 ABD AE 作 CF AE 交 AE 于 F 则 CF 平面 ABD CAF 就是 AC 与平面 ABD 所成的角 12 分 14 分 21 C B A C1 B1 A1 O 4 2012 2013 学年江西省南昌市调研考试 本小题满分 12 分 如图 边长为 a 的正方体 1111 ABCDABC D 中 E 为 1 CC的中点 求直线 1 AE与平面 11 BDD B所成角的正弦值 求点 E 到平面 1 ADB的距离 解析 以 DA DC DD1所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系如图 则 D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 E 0 a 2 a A1 a 0 a 3 分 1 设直线A1E与平面BDD1B1所成的角为 因为 AC 平面BDD1B1 所以平面BDD1B1的法向量为 0 aaAC 又 2 1 a aaEA 2 1 1 2 21 22 2 cos 3 9 2 4 AC AEa AC AE ACAEa a 所以 3 22 sin 6 分 2 设n 1 yx为平面A1DB的法向量 0 0 1 aaDBaaDA 0 1 DAn 0 DBn 1 1 yx 8 分 22 1 1 1 n 又 3 0 22 aDE n DEada n 11 分 即点E到平面 1 ADB的距离为 3 2 a 12 分 5 5 惠州市惠州市20132013届高三第三次调研考试届高三第三次调研考试 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1ADAA 2AB 点E在棱AB上移动 1 证明 11 D EAD 2 当E点为AB的中点时 求点E到平面 1 ACD 的距离 3 AE等于何值时 二面角 1 DECD 的大小为4 解析 1 证明 证明 如图 连接 1 D B 依题意有 在长方形 11 A ADD 中 1 1ADAA 1111 11 11111 11 A ADDADAD ADAD B ABA ADDABADADD E D EAD B ADABA 四边形 平面 又平面 平面 4分 2 解解 22 5ACABBC 21AEAB 22 2ECBEBC 1252 cos 22 12 AEC 23 2 sin 2 AEC 121 12 222 AEC S 6分 1 111 1 326 DAEC V 22 11 2ADAADA 22 1111 5DCDCCC 1 1 5 3 10 2 sin 105 D AC 1 13 103 25 2102 A DC S 设点E到平面 1 ACD 的距离为d 11 131 326 DAECE AD C VVd 1 3 d 点E到平面 1 ACD 的距离为 1 3 8分 6 2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷 本小题满分 12 分 在正四棱锥 V ABCD 中 P Q 分别为棱 VB VD 的中点 点 M 在边 BC 上 且 BM BC 1 3 AB VA 6 I 求证 CQ 丄 AP II 求二面角 B AP M 的余弦值 24 设正方形ABCD的中心为O N为AB的中点 R为BC的中点 分别以ON OR OV所在直线为x轴 y轴 z轴 如图建立空间直角坐标系 设平面BAP的法向量为 1 a b c n 由 0 0 AP AB 1 1 1 1 n n n n 得 3100 0 abc b 故 1 10 0 1 n 同理可得平面APM的法向量为 2 3 1 0 n 设二面角BAPM 的平面角为 则 3 11 cos 11 1 12 2 1 12 2 n nn n n nn n 12分 7 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考 本小题满分 13 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱 AA1 平面 ABC ABC 为正三角形 且侧面 AA1C1C 是边长为 2 的正方形 E 是 A B 的中点 F 在棱 CC1上 I 当 1 1 2 C F CF 时 求多面体 ABCFA1的体积 II 当点 F 使得 A1F BF 最小时 求二面角 A A1F B 的余弦值 25 侧 4 M N B C D A P 解析 1 11 1410 2 233 AA FC C FCF ACCCCFS 直角梯形 由已知可得ABC 的高为3且等于四棱锥ACFAB 1 的高 3 9 10 3 3 10 3 1 1 ACFAB V 即多面体 1 ABCFA的体积为 3 9 10 5 分 将侧面 11B BCC展开到侧面 11ACC A得到矩形 11A ABB 连结BA1 交CC1于点F 此 时点F使得BFFA 1 最小 此时FC平行且等于AA1的一半 F 为CC1的中点 7 分 以 1 AC AA分别为y轴 z轴 过点 A 且与AC垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系 则 1 0 0 0 3 1 0 0 0 2 0 2 1 ABAF 显然平面 1 AAF的法向量为 1 1 0 0 n 设平面 1 AFB的法向量为 2 nx y z 11 3 1 2 0 2 1 ABAF 320 20 xyz yz 令1 y 得 2 3 1 2 n 设二面角 1 AAFB 为 则 12 12 6 cos 4 n n nn 13 分 8 8 广州市广州市 20132013 届高三年级届高三年级 1 1 月调研测试月调研测试 本小题满分 14 分 如图 4 已知四棱锥PABCD 底面ABCD是正方形 PA 面ABCD 点M是CD的中点 点N是PB的中点 连接AM ANMN 1 求证 MN 面PAD 26 E M N D C B A P E M N D C B A P 2 若5MN 3AD 求二面角NAMB 的余弦值 本小题主要考查空间线面位置关系 二面角等基础知识 考查空间想象 推理论证 抽 象概括和运算求解能力 以及化归与转化的数学思想方法 1 证法证法 1 1 取PA的中点E 连接DE EN 点N是PB的中点 1 2 ENAB ENAB 1 分 点M是CD的中点 底面ABCD是正方形 1 2 DMAB DMAB 2 分 ENDM ENDM 四边形EDMN是平行四边形 MNDE 3 分 DE 平面PAD MN 平面PAD MN 面PAD 4 分 证法证法 2 2 连接BM并延长交AD的延长线于点E 连接PE 点M是CD的中点 1 2 DMAB DMAB 1 分 点M是BE的中点 2 分 点N是PB的中点 MNPE 3 分 PE 面PAD MN 平面PAD MN 面PAD 4 分 证法证法 3 3 取AB的中点E 连接NE ME 点M是CD的中点 点N是PB的中点 MEAD NEPA AD 面PAD ME 平面PAD 27 ME 面PAD 1 分 PA 面PAD NE 平面PAD NE 面PAD 2 分 NF 面NEF AM NF 8 分 NFE 是二面角NAMB 的平面角 9 分 在 Rt NEM中 5MN 3MEAD 得 22 4NEMNME 10 分 在 Rt MEA中 3 2 AE 得 22 3 5 2 AMMEAE 28 z y x E M N D C B A P 3 5 5 AE ME EF AM g 11 分 在 Rt NEF中 22 445 5 NFNEEF 12 分 3 89 cos 89 EF NFE NF 13 分 二面角NAMB 的余弦值为 3 89 89 14 分 设平面AMN的法向量为n x y z 由n0AM n0AN 得 3 30 2 3 40 2 xy yz 令1x 得2y 3 4 z n 3 12 4 是平面AMN的一个法向量 11 分 29 又 0 0 4EN 是平面AMB的一个法向量 12 分 cos n EN A n EN n EN 3 89 89 13 分 二面角NAMB 的余弦值为 3 89 89 14 分 9 2012 2013 2012 2013 学年四川省成都市高新区高三 上 统一检测学年四川省成都市高新区高三 上 统一检测 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD AD DC CB 1 ABC 60 四边形 ACFE 为矩形 平面 ACFE 平面 ABCD CF 1 I 求证 BC 平面 ACFE II 点 M 在线段 EF 上运动 设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 90 试求 cos 的取值范围 30 是平面 FCB 的一个法向量 当 0 时 cos 有最小值 当时 cos 有最大值 10 广东省肇庆市中小学教学质量评估广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012 2013 学年第一学期统一检测题学年第一学期统一检测题 本题满分 本题满分 14 分 分 如图 5 在四棱锥PABCD 中 底面为直角梯形 90ADBCBAD PA垂直于底面ABCD 22 PAADABBCM N 分别为 PC PB的中点 1 求证 PBDM 2 求平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值 3 求点B到平面PAC的距离 31 2 方法一 方法二 如图建立空间直角坐标系 则 0 0 0 1 0 1 AN 0 2 0 D 1 0 1 AN 0 2 0 AD 6 分 设平面ADMN的法向量为 nx y z 则 0 0 n AN n AD A A 即 0 20 xz y 令1z 则1x 所以平面ADMN的一个法向量为 1 0 1 n 显然 0 0 2 a 是平面ABCD的一个法向量 7 分 设平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的平面角为 则 32 22 cos 22 2 n a na A 9 分 即平面ADMN与平面ABCD所成的二面角的余弦值为 2 2 10 分 11 11 安徽省黄山市安徽省黄山市 20132013 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 本小题满分 12 分 如图 已知多面体ABCDE中 AB 平面ACD DE 平面 ACD AC AD CD DE 2 AB 1 F为CD的中点 求证 AF 平面CDE 求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小 解 DE 平面ACD AF 平面ACD DE AF 又 AC AD F为CD中点 AF CD 因CD DE D AF 平面CDE 4 分 取CE的中点Q 连接FQ 因为F为CD的中点 则FQ DE 故DE 平面 ACD FQ 平面ACD 又由 可知FD FQ FA两两垂直 以O为坐标原点 建立如 33 图坐标系 则F 0 0 0 C 1 0 0 A 0 0 3 B 0 1 3 E 1 2 0 1 1 3 2 2 0 CBCE 6 分 设面BCE的法向量 nx y z 则 0 0 n CB n CE 即 30 220 xyz xy 取 1 1 0 n 又平面ACD的一个法向量为 0 1 0 FQ 0 1 02 cos 2 2 FQ n FQ n FQ n 面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为 45 12 北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理 在四棱锥EABCD 中 底面ABCD是 正方形 ACBDO与交于点ECABCDF底面 为BE的中点 求证 DE 平面ACF 求证 BDAE 若2 ABCE 在线段EO上是否存在点G 使CGBDE平面 若存在 求出 EG EO 的值 若不存在 请说明理由 O F E D C B A 答案 解 I 连接OF 由ABCD是正方形可知 点O为BD中点 34 又F为BE的中点 G A B C D E F O 所以OF DE 2 分 又 OFACF DEACF平面平面 所以DE 平面ACF 4 分 II 证明 由ECABCDBDABCD底面 底面 所以 ECBD 由ABCD是正方形可知 ACBD 又 ACEC C AC ECACE平面 所以 BDACE平面 8 分 又AEACE平面 所以BDAE 9 分 解法二 35 z y x O F E D C B A G 由ECABCD底面 且底面ABCD是正方形 如图 建立空间直角坐标系 CDBE 由已知2 ABCE 设 0 CEa a 则 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 CDaBaEa 2222 0 2 2 0 0 2 2222 OaaBDaaBEa a EOaaa uuu ruuruuu r 设G为线段EO上 一点 且 01 EG EO 则 22 22 EGEOaaa uuu ruuu r 22 1 22 CGCEEOaaa uuu ruuruuu r 12 分 由题意 若线段EO上存在点G 使CGBDE平面 则CGBD uuu ruuu r CGBE uuu ruur 所以 22 1 1 0 0 1 2 aa 解得 故在线段EO上存在点G 使CGBDE平面 且 1 2 EG EO 14 分 13 北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理 在长方体 1111 ABCD ABC D中 1 2AA AD 点E在棱CD上 且 1 3 CE CD 求证 1 AD 平面 11 AB D 在棱 1 AA上是否存在点P 使DP 平面 1 B AE 若存在 求出线段AP的长 若 不存在 请说明理由 若二面角 11 A B E A的余弦值为 30 6 求棱AB的长 36 答案 证明 在长方体 1111 ABCD ABC D中 因为 11 AB 面 11 AD DA 所以 111 ABAD 2 分 在矩形 11 AD DA中 因为 1 2AA AD 所以 11 ADAD 所以 1 AD 面 11 AB D 4 分 37 设AB的长为x 则 11 0 0 2 0 CxBx 2 0 2 0 2 3 CxEx 假设在棱 1 AA上存在点P 使得DP 平面 1 B AE 因为DP 平面 1 B AE 等价于0DP n且DP 平面 1 B AE 得 3 2 2 0 2 xyx 所以 2 3 y 所以 4 0 0 3 AP 4 3 AP 所以AP的长为 4 3 9 分 38 因为CD 11 AB 且点ECD 所以平面 11 AB E 平面 11 AB D与面 11 ABCD是同一个平面 由 可知 1 AD 面 11 AB D 所以 1 2 0 2 D A 是平面 11 AB E的一个法向量 11 分 由 可知 平面 1 B AE的一个法向量为 3 3 2 xx n 因为二面角 11 A B E A的余弦值为 30 6 所以 1 22 1 2 330 cos 63 2 29 2 xxD A AD xx n n 解得3 2x 故AB的长为3 2 14 分 14 北京市东城区 2013 届高三上学期期末理 如图 在菱形ABCD中 60DAB E是AB的中点 MA 平面ABCD 且在矩形ADNM中 2AD 3 7 7 AM 求证 AC BN 求证 AN 平面MEC 求二面角MECD 的大小 答案 解 连结BD 则ACBD 由已知DN 平面ABCD 因为DN DBD 所以AC 平面NDB 2 分 又因为BN 平面NDB 所以ACBN 4 分 CM与BN交于F 连结EF 由已知可得四边形BCNM是平行四边形 所以F是BN的中点 AB C D E N M F AB C D E N M y x z 39 因为E是AB的中点 所以 ANEF 7 分 又 EF 平面 MEC AN 平面 MEC 所以 AN平面MEC 9 分 由于四边形ABCD是菱形 E是AB的中点 可得DEAB 如图建立空间直角坐标系Dxyz 则 0 0 0 D 3 0 0 E 0 2 0 C 3 7 3 1 7 M 3 2 0 CE 3 7 0 1 7 EM 10 分 设平面MEC的法向量为 x y z n 则 0 0 CE EM n n 15 北京市房山区 2013 届高三上学期期末理 在长方体在长方体 1111 ABCDABC D 中 中 1ABBC 1 2AA E为为 1 BB中点中点 证明 证明 1 ACD E D1 C1 B1A1 E D C B A 40 求 求DE与平面与平面 1 AD E所成角的正弦值 所成角的正弦值 在棱 在棱AD上是否存在一点上是否存在一点P 使得 使得BP 平面平面 1 AD E 若存在 求 若存在 求DP的长 若不的长 若不 存在 说明理由存在 说明理由 证明 连接 证明 连接BD 1111 ABCDABC D 是长方体 是长方体 1 D D 平面平面ABCD 又又AC 平面平面ABCD 1 D DAC 1 1 分分 在长方形在长方形ABCD中 中 ABBC BDAC 2 2 分分 又又 1 BDD DD AC 平面平面 11 BB D D 3 3 分分 而而 1 D E 平面平面 11 BB D D 1 ACD E 4 4 分分 z y x D1 C1 B1A1 E D C B A 41 16 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理 如图 在三棱锥P ABC中 PA PB AB 2 3BC 90 ABC 平面PAB 平面ABC D E分别为AB AC中点 求证 DE 平面PBC 求证 AB PE 求二面角 A PB E 的大小 E D A BC P 答案 解 D E分别为AB AC中点 DE BC DE 平面 PBC BC 平面 PBC E D B C A P 42 DE 平面 PBC 4 分 连结PD PA PB PD AB 5 分 DEBC BC AB DE AB 6 分 又 PDDED AB 平面PDE 8 分 PE 平面PDE AB PE 9 分 设二面角的A PBE 大小为 由图知 12 12 12 1 coscos 2 n n n n nn 43 所以 60 即二面角的 APBE 大小为60 14 分 17 北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 90BAC 1 2 ABACAA E是BC中点 E C1 B1 A1 C B A I 求证 1 AB平面 1 AEC II 若棱 1 AA上存在一点M 满足 11 B MC E 求AM的长 求平面 1 AEC与平面 11 ABB A所成锐二面角的余弦值 以A为原点 AB为x轴 AC为 y 轴 1 AA 为z轴建立空间直角坐标系 所以 111 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 1 1 0 AABBCCE 设 0 0 02 Mmm 所以 11 2 0 2 1 1 2 B MmC E 因为 11 B MC E 所以 11 0B M C E 解得 1m 所以 1AM 8 分 44 18 北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理 如图 1 在 RtABC 中 90C 36BCAC D E分别是ACAB 上的点 且 DEBC 将 ADE 沿DE折起到 1 ADE 的位置 使 1 ADCD 如图 2 求证 BC 平面 1 ADC 若2CD 求BE与平面 1 ABC所成角的正弦值 当D点在何处时 1 AB的长度最小 并求出最小值 A B CD E 图 1图 2 A1 B CD E 45 设 0 0 D x 则 1 0 6 A xx 222 1 0 0 3 6 0 ABxx 2 2 1245xx 12 分 当 3x时 1 AB 的最小值是3 3 即D为AC中点时 1 AB的长度最小 最小值为3 3 14 分 19 北京市通州区 2013 届高三上学期期末理 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 CC1 底面 46 ABC AC BC 2 2 2AB CC1 4 M是棱CC1上一点 A B C A1 B1C1 M N 求证 BC AM 若N是AB上一点 且 1 ANCM ABCC 求证 CN 平面AB1M 若 5 2 CM 求二面角A MB1 C的大小 过N作NP BB1交AB1于P 连结MP 则 NP CC1 且ANP 1 ABB 5 分 于是有 1 NPAN BBAB 由已知 1 ANCM ABCC 有 11 NPCM BBCC 因为 BB1 CC1 所以 NP CM 所以 四边形MCNP是平行四边形 6 分 M P C1B1 A1 N C B A 47 所以 CN MP 7 分 因为 CN 平面AB1M MP 平面AB1M 8 分 所以 CN 平面AB1 M 9 分 20 北京市西城区 2013 届高三上学期期末理 如图 四棱锥ABCDP 中 底面 ABCD为正方形 PDPA PA平面PDC 48 E为棱PD的中点 求证 PB 平面EAC 求证 平面PAD 平面ABCD 求二面角BACE 的