【2013年中考攻略】中考数学 专题18 动态几何之和差问题探讨

用心 爱心 专心1 2013 2013 年中考攻略年中考攻略 专题专题 1818 动态几何之和差问题探讨 动态几何之和差问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题 动态包括点动 线动和面动三大类 解这类题目要 以静 制动 即把动态问题 变为静态问题来解 而静态问题又是动态问题的特殊情况 常见的题型包括最值 问题 面积问题 和差问题 定值问题和存在性问题等 前面我们已经对最值问题 面积问题进行了探 讨 本专题对和差问题进行探讨 结合 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例 我们从四方面进行动态几何之和差问题的探讨 1 静态和差问题 2 和差为定值问题 3 和差最大问题 4 和差最小问题 一 静态和差问题一 静态和差问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 海南省海南省 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 B 与 C 的平分线交于点 O 过 O 点作 DE BC 分别交 AB AC 于 D E 若 AB 5 AC 4 则 ADE 的周长是 答案答案 9 考点考点 角平分线定义 平行线的性质 等腰三角形的判定 分析分析 OB 是 B 的平分线 DBO OBC 又 DE BC OBC BOD DBO BOD DO DB 同理 EO EC 又 AB 5 AC 4 ADE 的周长 AD DE AE AD DO EO AE AD DB EC AE AB AC 5 4 9 例例 2 2 20122012 湖北荆门湖北荆门 3 3 分 分 如图 已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 将正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠 则图中阴影部分的周长为 A 8 B 4 C 8 D 6 用心 爱心 专心2 答案答案 C 考点考点 翻折变换 折叠问题 折叠的对称性质 正方形的性质 勾股定理 分析分析 如图 正方形 ABCD 的对角线长为 2 即 BD 2 A 90 AB AD ABD 45 22 AB BD cos ABD BD cos45 2 2 2 2 2 AB BC CD AD 2 由折叠的性质 A M AM D N DN A D AD 图中阴影部分的周长为 A M BM BC CN D N A D AM BM BC CN DN AD AB BC CD AD 2 2 2 2 8 故选 C 例例 3 3 20122012 四川内江四川内江 3 3 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 10 BC 5 点 E F 分别在 AB CD 上 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 A D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1 D1处 则阴影部分图形的周长为 A 15 B 20 C 25 D 30 答案答案 D 考点考点 翻折变换 折叠问题 矩形和折叠的性质 分析分析 根据矩形和折叠的性质 得 A1E AE A1D1 AD D1F DF 则阴影部分的周长即为矩形的周长 为 2 10 5 30 故选 D 例例 4 4 20122012 山东枣庄山东枣庄 3 3 分 分 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC 10 BC 8 则图中五个小矩形的周长之和为 A 14 B 16 C 20 D 28 用心 爱心 专心3 答案答案 D 考点考点 平移的性质 勾股定理 分析分析 由勾股定理 得 AB 将五个小矩形的所有上边平移至 AD 所有下 2222 ACBC1086 边平移至 BC 所有左边平移至 AB 所有右边平移至 CD 五个小矩形的周长之和 2 AB CD 2 6 8 28 故选 D 例例 5 5 20122012 湖北武汉湖北武汉 3 3 分 分 在面积为 15 的平行四边形 ABCD 中 过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E 作 AF 垂直于直线 CD 于点 F 若 AB 5 BC 6 则 CE CF 的值为 A 11 B 11 11 3 2 11 3 2 C 11 或 11 D 11 或1 11 3 2 11 3 2 11 3 2 3 2 答案答案 C 考点考点 平行四边形的性质和面积 勾股定理 分析分析 依题意 有如图的两种情况 设 BE x DF y 如图 1 由 AB 5 BE x 得 222 AEABBE25x 由平行四边形 ABCD 的面积为 15 BC 6 得 2 6 25x 15 解得 负数舍去 5 3 x 2 由 BC 6 DF y 得 222 AFADDF36y 由平行四边形 ABCD 的面积为 15 AB 5 得 2 5 36y 15 解得 负数舍去 y 3 3 CE CF 6 5 11 5 3 2 3 3 11 3 2 如图 2 同理可得 BE DF 5 3 2 3 3 CE CF 6 5 11 5 3 2 3 3 11 3 2 故选 C 例例 6 6 20122012 山东枣庄山东枣庄 8 8 分 分 已知 如图 在四边形 ABCD 中 ABC 90 CD AD AD2 CD2 2AB2 1 求证 AB BC 2 当 BE AD 于 E 时 试证明 BE AE CD 用心 爱心 专心4 答案答案 解 1 证明 连接 AC ABC 90 AB2 BC2 AC2 CD AD AD2 CD2 AC2 AD2 CD2 2AB2 AB2 BC2 2AB2 AB BC 2 证明 过 C 作 CF BE 于 F BE AD 四边形 CDEF 是矩形 CD EF ABE BAE 90 ABE CBF 90 BAE CBF 又 AB BC BEA CFB BAE CBF AAS AE BF BE BF EF AE CD 考点考点 勾股定理 矩形的性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 题目中存在直角 垂直 含线段平方的等式 因此考虑连接 AC 构造直角三角形 利用勾 股定理证明 2 可采用 截长 法证明 过点 C 作 CF BE 于 F 易证 CD EF 只需再证明 AE BF 即可 这 一点又可通过全等三角形获证 例例 7 7 20122012 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特 7 7 分 分 如图 四边形 ABCD 是正方形 点 G 是 BC 边上任意一点 DE AG 于 E BF DE 交 AG 于 F 1 求证 AF BF EF 2 将 ABF 绕点 A 逆时针旋转 使得 AB 与 AD 重合 记此时点 F 的对应点为点 F 若正方形边长为 3 求点 F 与旋转前的图中点 E 之间的距离 用心 爱心 专心5 答案答案 1 证明 如图 正方形 ABCD AB AD BAD BAG EAD 90 DE AG AED 90 EAD ADE 90 ADE BAF 又 BF DE AEB AED 90 在 AED 和 BFA 中 AEB AED ADE BAF AD AB AED BDA AAS BF AE AF AE EF AF BF EF 2 解 如图 根据题意知 FAF 90 DE AF AF F AE AED 90 即 F AE AED 180 AF ED 四边形 AEDF 为平行四边形 又 AED 90 四边形 AEDF 是矩形 EF AD 3 点 F 与旋转前的图中点 E 之间的距离为 3 考点考点 正方形的性质 旋转的性质 全等三角形的判定和性质 矩形的判定和性质 分析分析 1 由四边形 ABCD 为正方形 可得出 BAD 为 90 AB AD 进而得到 BAG 与 EAD 互余 又 DE 垂直于 AG 得到 EAD 与 ADE 互余 根据同角的余角相等可得出 ADE BAF 利用 AAS 可得出三角 形 ABF 与三角形 ADE 全等 利用全等三角的对应边相等可得出 BF AE 由 AF AE EF 等量代换可得证 2 将 ABF 绕点 A 逆时针旋转 使得 AB 与 AD 重合 记此时点 F 的对应点为点 F 连接 EF 如图所示 由旋转的性质可得出 FAF 为直角 AF AF 由 1 的全等可得出 AF DE 等量代 换可得出 DE AF AF 再利用同旁内角互补两直线平行得到 AF 与 DE 平行 根据一组对边平行且相等 的四边形为平行四边形可得出 AEDF 为平行四边形 再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出 AEDF 为矩形 根据矩形的对角线相等可得出 EF AD 由 AD 的长即可求出 EF 的长 例例 8 8 20122012 重庆市重庆市 1010 分 分 已知 如图 在菱形 ABCD 中 F 为边 BC 的中点 DF 与对角线 AC 交于点 M 过 M 作 ME CD 于点 E 1 2 1 若 CE 1 求 BC 的长 2 求证 AM DF ME 用心 爱心 专心6 答案答案 解 1 四边形 ABCD 是菱形 AB CD 1 ACD 1 2 ACD 2 MC MD ME CD CD 2CE CE 1 CD 2 BC CD 2 2 证明 F 为边 BC 的中点 BF CF BC CF CE 1 2 在菱形 ABCD 中 AC 平分 BCD ACB ACD 在 CEM 和 CFM 中 CE CF ACB ACD CM CM CEM CFM SAS ME MF 延长 AB 交 DF 于点 G AB CD G 2 1 2 1 G AM MG 在 CDF 和 BGF 中 G 2 BFG CFD BF CF CDF BGF AAS GF DF 由图形可知 GM GF MF AM DF ME 考点考点 菱形的性质 平行的性质 等腰三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 根据菱形的对边平行可得 AB D 再根据两直线平行 内错角相等可得 1 ACD 所以 ACD 2 根据等角对等边的性质可得 CM DM 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE DE 然后求 出 CD 的长度 即为菱形的边长 BC 的长度 2 先利用 SAS 证明 CEM 和 CFM 全等 根据全等三角形对应边相等可得 ME MF 延长 AB 交 DF 于点 G 然后证明 1 G 根据等角对等边的性质可得 AM GM 再利用 AAS 证明 CDF 和 BGF 全等 根据全等三角形对应边相等可得 GF DF 最后结合图形 GM GF MF 即可得证 例例 9 9 20122012 湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田湖北天门 仙桃 潜江 江汉油田 3 3 分 分 如图 线段 AC n 1 其中 n 为正整数 点 B 在线 段 AC 上 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF 连接 AM ME EA 得到 AME 当 AB 1 时 AME 用心 爱心 专心7 的面积记为 S1 当 AB 2 时 AME 的面积记为 S2 当 AB 3 时 AME 的面积记为 S3 当 AB n 时 AME 的面积记为 Sn 当 n 2 时 Sn Sn 1 例例 1010 20122012 贵州铜仁贵州铜仁 4 4 分 分 如图 在 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分线交于点 E 过点 E 作 MN BC 交 AB 于 M 交 AC 于 N 若 BM CN 9 则线段 MN 的长为 A 6 B 7 C 8 D 9 答案答案 D 考点考点 角平分线的定义 平行线的性质 等腰三角形的判定和性质 分析分析 ABC ACB 的平分线相交于点 E MBE EBC ECN ECB MN BC EBC MEB NEC ECB MBE MEB NEC ECN BM ME EN CN MN ME EN 即 MN BM CN BM CN 9 MN 9 故选 D 用心 爱心 专心8 例例 1111 20122012 广东梅州广东梅州 3 3 分 分 如图 在折纸活动中 小明制作了一张 ABC 纸片 点 D E 分别是边 AB AC 上 将 ABC 沿着 DE 折叠压平 A 与 A 重合 若 A 75 则 1 2 A 150 B 210 C 105 D 75 答案答案 A 考点考点 翻折变换 折叠问题 三角形内角和定理 分析分析 A DE 是 ABC 翻折变换而成 AED A ED ADE A DE A A 75 AED ADE A ED A DE 180 75 105 1 2 360 2 105 150 故选 A 例例 1212 20122012 湖北孝感湖北孝感 3 3 分 分 已知 是锐角 与 互补 与 互余 则 的值是 A 45 B 60 C 90 D 180 答案答案 C 考点考点 余角和补角 分析分析 根据互余两角之和为 90 互补两角之和为 180 结合题意即可得出答案 由题意得 180 90 两式相减可得 90 故选 C 例例 1313 20122012 湖南长沙湖南长沙 3 3 分 分 如图 AB CD EF 那么 BAC ACE CEF 度 答案答案 360 考点考点 平行线的性质 分析分析 AB CD BAC ACD 180 CD EF CEF ECD 180 用心 爱心 专心9 得 BAC ACD CEF ECD 180 180 360 即 BAC ACE CEF 3 60 练习题 练习题 1 1 20122012 辽宁本溪辽宁本溪 3 3 分 分 如图 在直角 ABC 中 BAC 90 AB 8 AC 6 DE 是 AB 边的垂直平分线 垂足为 D 交边 BC 于点 E 连接 AE 则 ACE 的周长为 A 16 B 15 C 14 D 13 2 2 20122012 吉林省吉林省 3 3 分 分 如图 在等边 ABC 中 D 是边 AC 上一点 连接 BD 将 BCD 绕点 B 逆时 针旋转 60 得到 BAE 连接 ED 若 BC 10 BD 9 则 AED 的周长是 3 3 20122012 福建龙岩福建龙岩 3 3 分 分 如图 Rt ABC 中 C 90 AC BC 6 E 是斜边AB 上任意一点 作 EF AC 于 F EG BC 于 G 则矩形CFEG 的周长是 4 4 20122012 福建宁德福建宁德 4 4 分 分 如图 在矩形 ABCD 中 AB 2 BC 3 点 E F G H 分别在矩形 ABCD 的各边上 EF HG EH FG 则四边形 EFGH 的周长是 A B C 2 D 2 10131013 5 5 20122012 内蒙古包头内蒙古包头 1010 分 分 如图 已知 AB 为 O 的直径 过 O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E AD EC 于点 D 且交 O 于点 F 连接 BC CF AC 用心 爱心 专心10 1 求证 BC CF 2 若 AD 6 DE 8 求 BE 的长 3 求证 AF 2DF AB 6 6 20122012 山东东营山东东营 1010 分 分 1 如图 1 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 F 是 AD 延长线上一点 且 DF BE 求证 CE CF 2 如图 2 在正方形 ABCD 中 E 是 AB 上一点 G 是 AD 上一点 如果 GCE 45 请你利用 1 的 结论证明 GE BE GD 3 运用 1 2 解答中所积累的经验和知识 完成下题 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 AD BC BC AD B 90 AB BC E 是 AB 上一点 且 DCE 45 BE 4 DE 10 求直角梯形 ABCD 的面积 7 7 20122012 黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 8 8 分 分 如图 ABC 中 AB AC P 为底边 BC 上一点 PE AB PF AC CH AB 垂足分别为 E F H 易证 PE PF CH 证明过程如下 用心 爱心 专心11 1 如图 P 为 BC 延长线上的点时 其它条件不变 PE PF CH 又有怎样的数量关系 请写出你的猜 想 并加以证明 2 填空 若 A 300 ABC 的面积为 49 点 P 在直线 BC上 且 P 到直线 AC 的距离为 PF 当 PF 3 时 则 AB 边上的高 CH 点 P 到 AB 边的距离 PE 8 8 20122012 江苏江苏南通南通 3 3 分 分 如图 在 ABC 中 C 70 沿图中虚线截去 C 则 1 2 A 360 B 250 C 180 D 140 9 9 20122012 江苏南京江苏南京 2 2 分 分 如图 是五边形 ABCDE 的 4 个外角 若 则1 2 3 4 2A1 0 1234 用心 爱心 专心12 10 10 20122012 四川绵阳四川绵阳 3 3 分 分 如图 将等腰直角三角形虚线剪去顶角后 1 2 A 225 B 235 C 270 D 与虚线的位置有关 11 11 20122012 四川凉山四川凉山 4 4 分 分 如图 一个等边三角形纸片 剪去一个角后得到一个四边形 则图中 的度数是 A B C D 180 220 240 300 二 和差为定值问题二 和差为定值问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 广西崇左广西崇左 1010 分 分 如图所示 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 BC CD 上 移动 但点 A 到 EF 的距离 AH 始终保持与 AB 的长度相等 问在点 E F 移动过程中 1 EAF 的大小是否发生变化 请说明理由 2 ECF 的周长是否发生变化 请说明理由 答案答案 解 1 EAF 的大小不会发生变化 理由如下 在正方形 ABCD 中 AH EF AHF D 90 用心 爱心 专心13 AF AF AH AD Rt AHF Rt ADF HL HAF DAF 同理 Rt AHE Rt ABE HAE BAE HAF DAF HAE BAE 90 EAF HAF HAE 45 EAF 的大小不会发生变化 2 ECF 的周长不会发生变化 理由如下 由 1 知 Rt AHF Rt ADF Rt AHE Rt ABE FH FD EH EB EF EH FH EB FD CE CF EF CE CF EB FD BC CD CE CF EF CE CF EB FD BC CD 考点考点 正方形的性质 动点和定值问题 全等三角形的判定和性质 分析分析 1 由 HL 证得 Rt AHF Rt ADF 和 Rt AHE Rt ABE 即可得 EAF HAF HAE 45 即 EAF 的大小不会发生变化 2 由 1 两个全等即可得 CE CF EF CE CF EB FD BC CD 即 CE CF EF CE CF EB FD BC CD 点评点评 第二问 ECF 的周长即 CE CF EF 为定值 正方形 ABCD 边长的 2 倍 例例 2 2 20122012 山东德州山东德州 1212 分 分 如图所示 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为正方形 AD 边上 的一点 不与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折 痕为 EF 连接 BP BH 1 求证 APB BPH 2 当点 P 在边 AD 上移动时 PDH 的周长是否发生变化 并证明你的结论 3 设 AP 为 x 四边形 EFGP 的面积为 S 求出 S 与 x 的函数关系式 试问 S 是否存在最小值 若存在 求出这个最小值 若不存在 请说明理由 答案答案 解 1 如图 1 PE BE EBP EPB 又 EPH EBC 90 用心 爱心 专心14 EPH EPB EBC EBP 即 PBC BPH 又 AD BC APB PBC APB BPH 2 PHD 的周长不变为定值 8 证明如下 如图 2 过 B 作 BQ PH 垂足为 Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AAS AP QP AB BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH HL CH QH PHD 的周长为 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 3 如图 3 过 F 作 FM AB 垂足为 M 则 FM BC AB 又 EF 为折痕 EF BP EFM MEF ABP BEF 90 EFM ABP 又 A EMF 90 AB ME EFM BPA ASA EM AP x 在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 即 2 x BE2 8 2 x CFBEEM2 x 8 又 四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等 2 2 2 11x11 SBECFBC 4 x4 x2x 8 x2 6 22422 当 x 2 时 S 有最小值 6 1 04 2 考点考点 翻折变换 折叠问题 正方形的性质 折叠的性质 全等三角形的判定和性质 勾股定理 二 次函数的最值 分析分析 1 根据翻折变换的性质得出 PBC BPH 进而利用平行线的性质得出 APB PBC 即可得出 答案 用心 爱心 专心15 2 先由 AAS 证明 ABP QBP 从而由 HL 得出 BCH BQH 即可得 CH QH 因此 PDH 的 周长 PD DH PH AP PD DH HC AD CD 8 为定值 3 利用已知得出 EFM BPA 从而利用在 Rt APE 中 4 BE 2 x2 BE2 利用二次函数的 最值求出即可 例例 3 3 20122012 黑龙江绥化黑龙江绥化 8 8 分 分 如图 点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点 且 BE BC AB 3 BC 4 点 P 为直线 EC 上的一点 且 PQ BC 于点 Q PR BD 于点 R 1 如图 1 当点 P 为线段 EC 中点时 易证 PR PQ 不需证明 5 12 2 如图 2 当点 P 为线段 EC 上的任意一点 不与点 E 点 C 重合 时 其它条件不变 则 1 中的 结论是否仍然成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 如图 3 当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时 其它条件不变 则 PR 与 PQ 之间又具有怎样的数 量关系 请直接写出你的猜想 答案答案 解 2 图 2 中结论 PR PQ 仍成立 证明如下 12 5 连接 BP 过 C 点作 CK BD 于点 K 四边形 ABCD 为矩形 BCD 90 又 CD AB 3 BC 4 22 22 BDCDBC345 S BCD BC CD BD CK 3 4 5CK CK 1 2 1 2 12 5 S BCE BE CK S BEP PR BE S BCP PQ BC 且 S BCE S BEP S BCP 1 2 1 2 1 2 BE CK PR BE PQ BC 1 2 1 2 1 2 又 BE BC CK PR PQ CK PR PQ 1 2 1 2 1 2 又 CK PR PQ 12 5 12 5 用心 爱心 专心16 3 图 3 中的结论是 PR PQ 12 5 考点考点 矩形的性质 三角形的面积 勾股定理 分析分析 2 连接 BP 过 C 点作 CK BD 于点 K 根据矩形的性质及勾股定理求 出 BD 的长 根据三角形面积相等可求出 CK 的长 最后通过等量代换即可证明 3 图 3 中的结论是 PR PQ 125 连接 BP S BPE S BCP S BEC S BEC 是固定值 BE BC 为两个底 PR PQ 分别为高 从而 PR PQ 12 5 例例 4 4 20122012 山东潍坊山东潍坊 1111 分 分 如图 已知抛物线与坐标轴分别交于 A 2 O B 2 0 C 0 l 三 点 过坐标原点 O 的直线 y kx 与抛物线交于 M N 两点 分别过点 C D 0 2 作平行于 x 轴的直线 1 l 2 l 1 求抛物线对应二次函数的解析式 2 求证以 ON 为直径的圆与直线相切 1 l 3 求线段 MN 的长 用 k 表示 并证明 M N 两点到直线的距离之和等于线段 MN 的长 2 l 答案答案 解 1 设抛物线对应二次函数的解析式为 y ax2 bx c 则 解得 4a2b c 0 4a 2b c 0 c 1 1 a 4 b 0 c 1 抛物线对应二次函数的解析式 所以 2 1 y x1 4 2 设 M x1 y1 N x2 y2 因为点 M N 在抛物线上 x22 4 y2 1 22 1122 11 y x1y x1 44 形 用心 爱心 专心17 又 2 2222 22222 ONxy4 y1yy2 2 ONy2 又 y2 l ON 2 y2 设 ON 的中点 E 分别过点 N E 向直线作垂线 垂 1 l 足为 P F 则 2 2yOCNP EF 22 ON 2EF 即 ON 的中点到直线的距离等于 ON 长度的一半 1 l 以 ON 为直径的圆与相切 1 l 3 过点 M 作 MH NP 交 NP 于点 H 则 22 222 2121 MNMHNHxxyy 又 y1 kx1 y2 kx2 y2 y1 2 k2 x2 x1 2 MN2 1 k2 x2一 xl 2 又 点 M N 既在 y kx 的图象上又在抛物线上 即 x2 4kx 4 0 x2 x1 4k x2 x1 4 2 1 kx x1 4 MN2 1 k2 x2一 xl 2 1 k2 x2 xl 2 4x2 xl 16 1 k2 2 MN 4 1 k2 延长 NP 交于点 Q 过点 M 作 MS 交于点 S 2 l 2 l 2 l 则 MS NQ y1 2 y2 2 22 12 11 x1 x1 4 44 2 22222 121212 111 x x 2 x x2xx 2 16k 8 2 4k 4 4 1 k 444 MS NQ MN 即 M N 两点到距离之和等于线段 MN 的长 2 l 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 中点坐标的求法 直线与圆相 切的条件 一元二次方程根与系数的关系 勾股定理 分析分析 1 根据点在曲线上 点的坐标满足方程的关系 用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数 的解析式 2 要证以 ON 为直径的圆与直线相切 只要证 ON 的中点到直线的距离等于 ON 长的一半即 1 l 1 l 可 3 运用一元二次方程根与系数的关系 求出 MN 和 M N 两点到直线的距离之和 相比较即 2 l 可 例例 5 5 20122012 江苏江苏苏州苏州 9 9 分 分 如图 正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合 将正方形 ABCD 用心 爱心 专心18 以 1cm s 的速度沿 FG 方向移动 移动开始前点 A 与点 F 重合 在移动过程中 边 AD 始终与边 FG 重合 连接 CG 过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P 连接 PD 已知正方形 ABCD 的边长为 1cm 矩形 EFGH 的边 FG GH 的长分别为 4cm 3cm 设正方形移动时间为 x s 线段 GP 的长为 y cm 其中 0 x 2 5 试求出 y 关于 x 的函数关系式 并求出 y 3 时相应 x 的值 记 DGP 的面积为 S1 CDG 的面积为 S2 试说明 S1 S2是常数 当线段 PD 所在直线与正方形 ABCD 的对角线 AC 垂直时 求线段 PD 的长 答案答案 解 1 CG AP CGD PAG 则 tanCGD tanPAG CDPG GDAG GF 4 CD DA 1 AF x GD 3 x AG 4 x 即 y 关于 x 的函数关系式为 1y 3x4x 4x y 3x 4x y 3x 当 y 3 时 解得 x 2 5 4x 3 3x 2 12 11 4x11113 S GP GD 3xx 2S GD CD 3x1x 22 3x22222 形 为常数 12 1131 SS x 2x 2222 3 延长 PD 交 AC 于点 Q 正方形 ABCD 中 AC 为对角线 CAD 45 PQ AC ADQ 45 GDP ADQ 45 DGP 是等腰直角三角形 则 GD GP 化简得 解得 4x 3x 3x 2 x5x 5 0 用心 爱心 专心19 55 x 2 0 x 2 5 55 x 2 在 Rt DGP 中 0 GD552 10 PD 2 3x 2 3 22cos45 考点考点 正方形的性质 一元二次方程的应用 等腰直角三角形的性质 矩形的性质 解直角三角形 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 分析分析 1 根据题意表示出 AG GD 的长度 再由可解出 x 的值 tanCGD tanPAG 2 利用 1 得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1 S2 然后作差即可 3 延长 PD 交 AC 于点 Q 然后判断 DGP 是等腰直角三角形 从而结合 x 的范围得出 x 的值 在 Rt DGP 中 解直角三角形可得出 PD 的长度 练习题 练习题 1 1 广东广州 广东广州 1414 分 分 已知关于的二次函数的图象经过点 C 0 1 且与轴x 2 0yaxbxc a x 交于不同的两点 A B 点 A 的坐标是 1 0 1 求的值 c 2 求的取值范围 a 3 该二次函数的图象与直线 1 交于 C D 两点 设 A B C D 四点构成的四边形的对角线相交于y 点 P 记 PCD 的面积为 S1 PAB 的面积为 S2 当 0 1 时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 a 2 2 20112011 湖南岳阳湖南岳阳 8 8 分 分 如图 将菱形纸片 AB E CD F 沿对角线 BD EF 剪开 得到 ABD 和 ECF 固定 ABD 并把 ABD 与 ECF 叠放在一起 1 操作 如图 将 ECF 的顶点 F 固定在 ABD 的 BD 边上的中点处 ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右 旋转 设旋转时 FC 交 BA 于点 H H 点不与 B 点重合 FE 交 DA 于点 G G 点不与 D 点重合 求证 BH GD BF2 2 操作 如图 ECF 的顶点 F 在 ABD 的 BD 边上滑动 F 点不与 B D 点重合 且 CF 始终经过点 A 过点 A 作 AG CE 交 FE 于点 G 连接 DG 探究 FD DG 请予证明 用心 爱心 专心20 3 3 20112011 福建莆田福建莆田 1010 分 分 如图 将 矩形 OABC 放在直角坐际系中 O 为坐标原点 点 A 在 x 轴正半 轴上 点 E 是边 AB 上的 个动点 不与点 A N 重合 过点 E 的反比例函数的图象与边 BC 0 k yx x 交于点 F 1 4 分 若 OAE OCF 的而积分别为 S1 S2 且 S1 S2 2 求的值 k 2 6 分 若 OA 2 0C 4 问当点 E 运动到什么位置时 四边形 OAEF 的面积最大 其最大值为多少 4 4 20112011 黑龙江龙东五市黑龙江龙东五市 8 8 分 分 如图 点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点 且 BE BC AB 3 BC 4 点 P 为直线 EC 上的一点 且 PQ BC 于点 Q PR BD 于点 R 1 如图 1 当点 P 为线段 EC 中点时 易证 PR PQ 不需证明 5 12 2 如图 2 当点 P 为线段 EC 上的任意一点 不与点 E 点 C 重合 时 其它条件不变 则 1 中 的结论是否仍然成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 如图 3 当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时 其它条件不变 则 PR 与 PQ 之间又具有怎样 的数量关系 请直接写出你的猜想 用心 爱心 专心21 5 5 20112011 湖南永州湖南永州 1010 分 分 探究问题 方法感悟 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 且满足 EAF 45 连接 EF 求证 DE BF EF 感悟解题方法 并完成下列填空 将 ADE 绕点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 此时 AB 与 AD 重合 由旋转可得 AB AD BG DE 1 2 ABG D 90 ABG ABF 90 90 180 因此 点 G B F 在同一条直线上 EAF 45 2 3 BAD EAF 90 45 45 1 2 1 3 45 即 GAF 又 AG AE AF AF GAF EF 故 DE BF EF 方法迁移 如图 将 Rt ABC 沿斜边翻折得到 ADC 点 E F 分别为 DC BC 边上的点 且 EAF DAB 试猜 2 1 想 DE BF EF 之间有何数量关系 并证明你的猜想 问题拓展 如图 在四边形 ABCD 中 AB AD E F 分别为 DC BC 上的点 满足 EAF DAB 试猜想当 B 与 D 2 1 满足什么关系时 可使得 DE BF EF 请直接写出你的猜想 不必说明理由 6 6 20112011 福建莆田福建莆田 1414 分 分 已知菱形 ABCD 的边长为 1 ADC 60 等边 AEF 两边分别交边 DC CB 于 点 E F 1 4 分 特殊发现 如图 1 若点 E F 分别是边 DC CB 的中点 求证 菱形 ABCD 对角线 AC BD 交 点 O 即为等边 AEF 的外心 2 若点 E F 始终分别在边 DC CB 上移动 记等边 AEF 的外心为点 P 4 分 猜想验证 如图 2 猜想 AEF 的外心 P 落在哪一直线上 并加以证明 6 分 拓展运用 如图 3 当 AEF 面积最小时 过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M 交边 DC 用心 爱心 专心22 的延长线于点 N 试判断是否为定值 若是 请求出该定值 若不是 请说明理由 11 DMDN 三三 和差最大问题和差最大问题 典型例题 典型例题 例例 1 1 20122012 广西崇左广西崇左 1010 分 分 如图所示 抛物线 a 0 的顶点坐标cbxaxy 2 为点 A 2 3 且抛物线与 y 轴交于点 B 0 2 cbxaxy 2 1 求该抛物线的解析式 2 是否在 x 轴上存在点 P 使 PAB 为等腰三角形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 3 若点 P 是 x 轴上任意一点 则当 PA PB 最大时 求点 P 的坐标 答案答案 解 1 抛物线的顶点坐标为 A 2 3 可设抛物线的解析式为 2 ya x2 3 由题意得 解得 2 a 02 32 1 a 4 物线的解析式为 即 2 1 y x2 3 4 2 1 yxx2 4 2 设存在符合条件的点 P 其坐标为 p 0 则 PA PB AB 222 2p 3 22 p2 222 32 25 当 PA PB 时 解得 22 2p 3 22 p2 9 p 4 当 PA PB 时 5 方程无实数解 22 2p 3 当 PB AB 时 5 解得 22 p2 p1 用心 爱心 专心23 x 轴上存在符合条件的点 P 其坐标为 0 或 1 0 或 1 0 9 4 3 PA PB AB 当 A B P 三点共线时 可得 PA PB 的最大值 这个最大值等于 AB 此时点 P 是直线 AB 与 x 轴的交点 设直线 AB 的解析式为 则y kx b 解得 直线 AB 的解析式为 b2 2kb3 1 k 2 b2 1 yx2 2 当 0 时 解得 1 yx2 2 x4 当 PA PB 最大时 点 P 的坐标是 4 0 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 等腰三角形的判定和性质 分析分析 1 由已知用待定系数法 设顶点式求解 2 分 PA PB PA PB PB A 三种情况讨论即可 3 求得 PA PB 最大时的位置 即可求解 用心 爱心 专心24 例例 3 3 20122012 广东广州广东广州 1414 分 分 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 5 BC 10 F 为 AD 的中点 CE AB 于 E 设 ABC 60 90 1 当 60 时 求 CE 的长 2 当 60 90 时 是否存在正整数 k 使得 EFD k AEF 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理由 连接 CF 当 CE2 CF2取最大值时 求 tan DCF 的值 答案答案 解 1 60 BC 10 sin 即 sin60 CE BC 解得 CE CE3 102 5 3 2 存在 k 3 使得 EFD k AEF 理由如下 用心 爱心 专心25 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G F 为 AD 的中点 AF FD 在平行四边形 ABCD 中 AB CD G DCF 在 AFG 和 CFD 中 G DCF G DCF AF FD AFG CFD AAS CF GF AG CD CE AB EF GF AEF G AB 5 BC 10 点 F 是 AD 的中点 AG 5 AF AD BC 5 AG AF 1 2 1 2 AFG G 在 AFG 中 EFC AEF G 2 AEF 又 CFD AFG CFD AEF EFD EFC CFD 2 AEF AEF 3 AEF 因此 存在正整数 k 3 使得 EFD 3 AEF 设 BE x AG CD AB 5 EG AE AG 5 x 5 10 x 在 Rt BCE 中 CE2 BC2 BE2 100 x2 在 Rt CEG 中 CG2 EG2 CE2 10 x 2 100 x2 200 20 x CF GF 中已证 CF2 CG 2 CG2 200 20 x 50 5x 1 2 1 4 1 4 CE2 CF2 100 x2 50 5x x2 5x 50 x 2 50 5 2 25 4 当 x 即点 E 是 AB 的中点时 CE2 CF2取最大值 5 2 此时 EG 10 x 10 CE 515 22 2 255 15 100 x 100 42 5 15 CG15 2 tan DCFtan G 15 EG3 2 考点考点 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 平行四边形的性质 对顶角的性质 全等三角形的 判定和性质 直角三角形斜边上的中线性质 等腰三角形的性质 二次函数的最值 勾股定理 分析分析 1 利用 60 角的正弦值列式计算即可得解 2 连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G 利用 角边角 证明 AFG 和 CFD 全等 根据全 等三角形对应边相等可得 CF GF AG CD 再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF GF 用心 爱心 专心26 再根据 AB BC 的长度可得 AG AF 然后利用等边对等角的性质可得 AEF G AFG 根据三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 EFC 2 G 然后推出 EFD 3 AEF 从而得解 设 BE x 在 Rt BCE 中 利用勾股定理表示出 CE2 表示出 EG 的长度 在 Rt CEG 中 利 用勾股定理表示出 CG2 从而得到 CF2 然后相减并整理 再根据二次函数的最值问题解答 例例 4 4 20122012 河北省河北省 1212 分 分 如图 1 和 2 在 ABC 中 AB 13 BC 14 cos ABC 5 13 探究 如图 1 AH BC 于点 H 则 AH AC ABC 的面积 S ABC 拓展 如图 2 点 D 在 AC 上 可与点 A C 重合 分别过点 A C 作直线 BD 的垂线 垂足为 E F 设 BD x AE m CF n 当点 D 与点 A 重合时 我们认为 S ABD 0 1 用含 x m n 的代数式表示 S ABD及 S CBD 2 求 m n 与 x 的函数关系式 并求 m n 的最大值和最小值 3 对给定的一个 x 值 有时只能确定唯一的点 D 指出这样的 x 的取值范围 发现 请你确定一条直线 使得 A B C 三点到这条直线的距离之和最小 不必写出过程 并写出这个 最小值 答案答案 解 探究 12 15 84 拓展 1 由三角形面积公式 得 ABD 11 SBD AExm 22 CBD 11 SBD CFxn 22 2 由 1 得 ABD 2S m x CBD 2S n x CBDABCABD 2S2S2S168 m n xxxx ABC 中 AC 边上的高为 ABC 2S16856 AC155 x 的取值范围为 56 x14 5 随 x 的增大而减小 m n 用心 爱心 专心27 当时 的最大值为 15 当时 的最小值为 12 56 x 5 m nx 14m n 3 x 的取值范围为或 56 x 5 13x14 发现 直线 AC A B C 三点到这条直线的距离之和最小 最小值为 56 5 考点考点 动点问题 锐角三角函数定义 特殊角有三角函数值 勾股定理 垂直线段的性质 反比例函 数的性质 分析分析 探究 在 Rt ABH 中 AB 13 BH AB 5 cos ABC 13 5 cos ABC135 13 根据勾股定理 得 2222 AHABBH13512 BC 14 HC BC BH 9 根据勾股定理 得 2222 ACAB HC12 915 ABC 11 SBC AH14 1284 22 拓展 1 直接由三角形面积公式可得 2 由 1 和即可得到关于 x 的反比例函数关系式 根据垂 ABCABDCBD SS S m n 直线段最短的性质 当 BD AC 时 x 最小 由面积公式可求得 因为 AB 13 BC 14 所以当 BD BC 14 时 x 最大 从而根据反比例函数的性质求出 m n 的最大值和最小值 3 当时 此时 BD AC 在线段 AC 上存在唯一的点 D 当时 此时 56 x 5 56 x13 5 在线段 AC 上存在两点 D 当时 此时在线段 AC 上存在唯一的点 D 因此 x 的取值范围为13x14 或 56 x 5 13x14 发现 由拓展 2 知 直线 AC A B C 三点到这条直线的距离之和 即 ABC 中 AC 边上的高 最小 最小值为 它小于 BC 边上的高 12 和 AB 边上的高 56 5 ABC 2S168 AB13 练习题 练习题 1 1 20112011 内蒙古乌兰察布内蒙古乌兰察布 4 4 分 分 如图 是半径为 6 的 D 的圆周 C 点是上的任意一点 A BE 4 1 A BE ABD 是等边三角形 则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是 用心 爱心 专心28 2 2 20112011 四川广安四川广安 1212 分 分 如图所示 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是直角梯形 BC AD BAD 90 BC 与 y 轴相交于点 M 且 M 是 BC 的中点 A B D 三点的坐标分别是 A B D 3 0 连接 DM 并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON 若抛物线1 0 1 2 经过点 D M N 2 yaxbxc 1 求抛物线的解析式 2 抛物线上是否存在点 P 使得 PA PC 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E 点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点 当点 Q 在什么位置时有 QE QC 最大 并求出最大值 3 3 20112011 河南省河南省 1111 分 分 如图 在平面直角坐标系中 直线与抛物线交 33 42 yx 2 1 4 yxbxc 于 A B 两点 点 A 在轴上 点 B 的横坐标为 8 x 1 求该抛物线的解析式 2 点 P 是直线 AB 上方的抛物