圆锥曲线中的定点定值问题（教师版）

联邦理科 高二寒假 1 第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一 直线恒过定点问题 例1 已知动点在直线上 过点分别作曲线的切线 切点E 2l y E 2 4C xy EA EB 为 求证 直线恒过一定点 并求出该定点的坐标 ABAB 解 设 2 aE 4 4 2 2 2 2 1 1 x xB x xAxy x y 2 1 4 2 2 1 4 11 2 1 两两两两两两两两两两两两两两两两Exxx x yA 整理得 2 1 4 2 11 2 1 xax x 082 1 2 1 axx 同理可得 2 22 280 xax 8 2082 2121 2 21 xxaxxaxxxx两两两两两两 又 2 4 2 a aAB两两两两两 22 12 1212 1212 44 42 AB xx yyxxa k xxxx 2 2 22 aa AByxa 直线的方程为2 2 a yxAB 即过定点0 2 例 2 已知点 00 P xy是椭圆 2 2 1 2 x Ey 上任意一点 直线l的方程为 0 0 1 2 x x y y 直线 0 l过 P 点与直线l垂直 点 M 1 0 关于直线 0 l的对称点为 N 直线 PN 恒 过一定点 G 求点 G 的坐标 解 直线 0 l的方程为 0000 2 xyyyxx 即 0000 20y xx yx y 设 0 1 M关于直线 0 l的对称点N的坐标为 N m n 则 0 0 0 000 12 1 20 22 xn my x nm yx y 解得 32 000 2 0 432 0000 2 00 2344 4 2448 2 4 xxx m x xxxx n yx 直线PN的斜率为 432 00000 32 0000 4288 2 34 nyxxxx k mxyxx 联邦理科 高二寒假 2 从而直线PN的方程为 432 0000 00 32 000 4288 2 34 xxxx yyxx yxx 即 32 000 432 0000 2 34 1 4288 yxx xy xxxx 从而直线PN恒过定点 1 0 G 二 恒为定值问题 例 3 已知椭圆两焦点 1 F 2 F在y轴上 短轴长为2 2 离心率为 2 2 P是椭圆在第一 象限弧上 一点 且 12 1PF PF 过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA PB 分别交椭 圆于 A B 两点 1 求 P 点坐标 2 求证直线 AB 的斜率为定值 解 1 设椭圆方程为 22 22 1 yx ab 由题意可得 2 2 2 2abc 所以椭圆的方程为 22 1 42 yx 则 12 0 2 0 2 FF 设 0000 0 0 P xyxy 则 100200 2 2 PFxyPFxy 22 1200 2 1PF PFxy 点 00 P xy在曲线上 则 22 00 1 24 xy 2 2 0 0 4 2 y x 从而 2 2 0 0 4 2 1 2 y y 得 0 2y 则点P的坐标为 1 2 2 由 1 知 1 PFx轴 直线 PA PB 斜率互为相反数 设 PB 斜率为 0 k k 则 PB 的直线方程为 2 1 yk x 由 22 2 1 1 24 yk x xy 得 222 2 2 2 2 40kxkk xk 联邦理科 高二寒假 3 设 BB B xy则 2 22 2 2 2 22 1 22 B k kkk x kk 同理可得 2 2 2 22 2 A kk x k 则 2 4 2 2 AB k xx k 2 8 1 1 2 ABAB k yyk xk x k 所以直线 AB 的斜率2 AB AB AB yy k xx 为定值 例 4 已知动直线与椭圆相交于 两 1 yk x 22 1 5 5 3 xy C AB 点 已知点 求证 为定值 7 0 3 M MA MB 解 将代入中得 1 yk x 22 1 5 5 3 xy 2222 1 3 6350kxk xk 4222 364 31 35 48200kkkk 2 12 2 6 31 k xx k 2 12 2 35 31 k x x k 所以 11221212 7777 3333 MA MBxyxyxxy y 2 1212 77 1 1 33 xxkxx 222 1212 749 1 39 kx xkxxk 22 222 22 357649 1 313319 kk kkk kk 42 2 2 316549 319 kk k k 4 9 课后作业 1 在平面直角坐标系xOy中 已知椭圆 2 2 1 3 x Cy 如图所示 斜率为 0 k k 且不 过原点的 直线l交椭圆C于A B两点 线段AB的中点为E 射线OE交椭圆C于点G 交直线 3x 于点 3 Dm 联邦理科 高二寒假 4 求 22 mk 的最小值 若 2 OGOD OE 求证 直线l过定点 解 由题意 设直线 0 l ykxn n 由 2 2 1 3 ykxn x y 消 y 得 222 1 3 6330kxknxn 2222 364 1 3 3 1 k nkn 22 12 31 0kn 设 A 11 x y B 22 xy AB 的中点 E 00 xy 则由韦达定理得 12 xx 2 6 1 3 kn k 即 0 2 3 1 3 kn x k 00 2 3 1 3 kn ykxnkn k 2 1 3 n k 所以中点 E 的坐标为 2 3 1 3 kn k 2 1 3 n k 因为 O E D 三点在同一直线上 所以 OEOD kK 即 1 33 m k 解得 1 m k 所以 22 mk 2 2 1 2k k 当且仅当1k 时取等号 即 22 mk 的最小值为 2 证明 由题意知 n 0 因为直线 OD 的方程为 3 m yx 所以由 2 2 3 1 3 m yx x y 得交点 G 的纵坐标为 2 2 3 G m y m 又因为 2 1 3 E n y k D ym 且 2 OGOD OE 所以 2 22 31 3 mn m mk 又由 知 1 m k 所以解得kn 所以直线l的方程为 l ykxk 即有 1 l yk x 令1x 得 y 0 与实数 k 无关 所以直线l过定点 1 0 2 已知点为曲线 2 4 0 yx x 上的一点 若 4 0 A 是否存在垂直 x轴的直线l 被以AN为直N 径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解 设AN的中点为B 垂直于 x轴的直线方程为xa 以AN为直径的圆交l于 C D两点 CD的中点为H 联邦理科 高二寒假 5 22 11 4 2