浅谈韦达定理的应用

浅谈韦达定理的应用浅谈韦达定理的应用 摘摘 要要 韦达定理是由十六世纪著名的杰出数学家韦达发现的 它描述了一元二次方程的根与系数之间的 关系 韦达定理的内容具有灵活性 应用广泛性 条件放缩性等特点 在一元二次方程中和圆锥曲线中 都是一个重点 它能培养学生逻辑思维能力 灵活解决问题能力等 关键词关键词 一元二次方程 圆锥曲线 韦达定理 引言引言 韦达定理是中学阶段的重要内容 平时的教学过程中 教师们经常会碰到一些需要运用韦达定理的 相关题目时有很大的困难 学生理解起来也会有很多的迷惑之处 比如前段时间 在初三的一次辅导中 学生碰到了一题考查一元二次不等式的题目 题意如下 已知不等式的解集为 则不等式的解集为0 2 cbxax 42 xx0 2 abxcx 本题主要考查学生一元二次不等式与一元二次方程的转化 以及整体思想和转换思想的能力 学生要是 按照平时的方程解法去做 解题难度会比较大 即使能力强的学生也要花上很长时间才能将解题过程写 完整 但是 如果学生能理解并且应用韦达定理的话 此题的解题思路就会显而易见 并能简化解题过 程 所以 我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性 是很有必要与意义的同时 韦 达定理也是解决圆锥曲线的问题重要手段 同时也是简化运算从而快速得到运算结果的有效途径 由于 它的灵活性在解析几何中有广泛应用 特别对于一些圆锥曲线问题 如果和韦达定理相结合 使用设而 不求的方法 可很大程度上的简化运算 同时解题的思路也格外清晰 如直线与曲线 椭圆 双曲线 抛物线 相交 求截得的弧长 正文正文 任给一个一元二次方程 a0 设他的两根为 利用求根0 2 cbxax 21 x x 公式 得到根和系数的关系 a acbb x 2 4 2 a b xx 21 这就是著名的韦达定理 它描述了方程的根和系数之间的关系 是一元二 a c xx 21 次方程解法的补充 在求圆锥曲线问题时用它更会问题简单化 接下来 我们来归 纳一下韦达定理在一元二次方程中应用和在圆锥曲线中的应用 1 1 在一元二次方程中的应用在一元二次方程中的应用 1 1 已知方程的一根 求另一根 已知方程的一根 求另一根 例例 1 1 已知关于的方程的一根为 求另一根和的值 x052 2 kxx 2 111 1 x 2 xk 解析 由韦达定理可知 所以 所以 2 5 21 xx 2 111 2 5 12 xx1 2 21 k xx 2 k 注释 本题要是按照平时的做法 先将带入方程中 求出 k 值 再用求根公式去求另外 1 x 一个解 虽然也能得到正确的答案 但是由于方程的根带有根号 计算时难度会加大 而且 学生的出错率也会随之增加 但该题由韦达定理求解 明显能减少学生计算量 也能提高正 确性 2 2 对复杂系数的一元二次方程求解 对复杂系数的一元二次方程求解 例例 2 2 已知方程的两个解为 请求出的值 0112 2 aaxax 21 x x 21 xx 解析 根据韦达定理可得 所以学生很容易得出12 21 axx 1 21 aaxx 所以1 21 axax11 21 aaxx 注释 在本题中出现了另一个字母 a 部分学生可能比较迷茫 不知道怎么求解 若学 生直接采用求根公式进行求解 计算量会很大 而且出现了字母 a 可能导致部分学生无法 简化根的形式而出错 但是 此题采用韦达定理求解 就能跳过繁琐的计算 直接求出答案 3 3 已知两根 构造新的一元二次方程 已知两根 构造新的一元二次方程 例例 3 3 已知某一元二次方程的两根为 二次项系数为 2 请确定该方程的表53 52 达式 解析 设所求方程为 02 2 cbxx 由韦达定理可得 2 55352 b 2 51 53 52 c 解得 52 10 cb 所以所求一元二次方程为 052102 2 xx 例例 4 4 已知方程 求一个一元二次方程 使它的根分别比第一个方程的两02 2 xx 根大 2 解析 设所求方程的两个根为 且 21 m m2 2 2211 xmxm 由韦达定理可得 则2 1 2121 xxxx 3 21 mm 22 21 mm 所以 0 2121 2 mmmmmm 注释 上面两题题型考查学生如何构造方程 需要学生有较强的理解和抽象思维能力 但是 初中学生的抽象能力与构造能力很薄弱 很难找到此题的切入点 倘若学生能采用韦 达定理 其解题思路是很明显的 而且讲解时学生也很容易理解 能很大程度上降低了难度 4 4 利用整体思想求代数式的值 利用整体思想求代数式的值 例例 5 5 已知关于x的一元二次方程的两个实数根满足012 2 mmxx 21 x x 求实数的值 7 2 2 2 1 xx12 m 解析 因为 7 2 2 2 1 xx 所以722 21 2 221 2 1 xxxxxx 即 72 21 2 21 xxxx 根据韦达定理可知 12 2121 mxxmxx 所以 7122 2 mm 解得 5 1 21 mm 检验 当 m 5 时 舍去0 所以 112 1 mm 例例 6 6 若是方程的两个实数根 求 1 的值 2 21 x x0432 2 xx 11 21 xx 的值 1 2 2 1 x x x x 解析 1 由韦达定理可知 则2 2 3 2121 xxxx 2 9 111 212121 xxxxxx 2 8 252 21 21 2 21 21 2 1 2 1 1 2 2 1 xx xxxx xx xx x x x x 注释 上面两题型主要考查了学生韦达定理和整体代入的数学思想 这样就能简化代数 式 方便计算 要是学生先将方程的根求出来的话 再代入代数式求值的话 这个过程计算 会比较烦 特别是例 5 中海含有另外一个字母 会降低学生学习的兴趣 5 5 在一元二次不等式中的求解 在一元二次不等式中的求解 例例 7 7 已知不等式 2 0axbxc 的解集为 24xx 则不等式 2 0cxbxa 的解集 为 解析 由韦达定理可得 0a 6 b a 8 c a 从而推导得出 0c 3 4 b c 1 8 a c 所以 2 0cxbxa 可化为 2 0 ba xx cc 即 2 31 0 48 xx 解为 11 24 xx 或 注释 本题由于是一选择题 利用数学中的特殊值法很容易得出答案 但要是能完整写 出解题过程的话难度较大 一般的学生很难找到头绪 但是 利用韦达定理进行求解的话 能帮助学生容易找到解题的思路和头绪 并且计算过程也能优化 6 6 在等式证明中的应用 在等式证明中的应用 例例 8 8 设实数满足 zyx 1 111 zyx zyx 求证 中至少有一个数为 1 zyx 解析 不妨设 1z 则由题意可得zxyzyx 1 所以由韦达定理可知 为方程的解 yx 01 2 ztzt 111110 xyxyxyzz 所以中至少有一个数为 1 从条件易知具有对称性yx zyx 所以中至少有一个为 1 zyx 注释 韦达定理除了应用在一元二次方程中 也在许多证明中有很大的体现 比方该题 虽然有很强的对称性 但是想要证明得到结论并非易事 采用韦达定理能帮助解题者理清思 路 明确目标 帮助解决问题 2 2 在解析几何中的应用 在解析几何中的应用 1 1 求弦长中的应用求弦长中的应用 例例 1 1 已知直线 L 的斜率为 2 且过抛物线的焦点 求直线 L 被抛物线所截得弦pxy2 2 长 解 易知直线的方程为 联立方程组和消去 x 得到 2 2 p xy pxy2 2 2 2 p xy 直线与抛物线有两个不同的交点 由韦达定理可知 0 22 ppyy05 2 p 故 弦长 2 2121 pyypyy 2 5p d 注释 韦达定理除了应用在一元二次方程中 也可以应用在解析几何中 让复杂的问题 简单化 使人很容易解出答案 2 2 判定曲线交点的个数判定曲线交点的个数 例例 2 2 曲线与曲线交点的个数有多少个 0 2 aaxy yxy43 22 解 分析 联立方程组与 消去x得 0 2 aaxy yxy43 22 003 4 1 2 ay a y 2 axy 3 0 4 1 0012 4 1 21 21 2 yy a a yy a a 所以 方程有两个不等的正实根 由得出 有四个不等的 x 解 故两条曲线的交点 2 axy 个数有 4 个 注释 在这道题中显然我们把解析几何问题通过转化成了一元二次方程求解问题 简化 了解题过程 降低了解题难度 使学生更易接受 3 3 求曲线方程 求曲线方程 例例 3 3 抛物线与过点 M 的直线 L 相交于 A B 两点 O 为坐标原点 若直线 OA 与 2 2 x y OB 的斜率之和为 1 求直线 L 的方程 解 设 AB 直线 L 的方程为 y kx 1 和消去 y 得由韦 11 y x 22 y x 2 2 x y 0 22 2 kxx 达定理得2 2 2121 xxkxx 又k xx xx k x kx x kx x y x y 21 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 11 1 直线 L 的方程 y x 1 注释 韦达定理的应用明显降低了难度 结论结论 以上就是韦达定理在一元二次方程和圆锥曲线中的应用 从上述各例中我们可以看出 韦达定理的应用广泛 且相当灵活 要很好的掌握它 需认真分析题目 可能一些题目一眼 看不出来 但对其进行适当变形 就可以转化成一元二次方程 从而用韦达定理来解决 简 化了问题激发学生的学习积极性 参考文献 参考文献 1 吴志翔 中学数学教学参考书证明不等式 M 1982 年 02