2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（全国卷解析版）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 全国卷 解析版 本试卷分第本试卷分第 卷卷 选择题选择题 和第和第 卷卷 非选择题非选择题 两部分 第两部分 第 卷卷 1 1 至至 2 2 页 第页 第 卷卷 3 3 至至 4 4 页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回页 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第第 卷卷 注意事 注意事 1 答题前 考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填写清楚 并贴好条形码 请认真核准条形码上的准考证号 姓名和科目 2 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 第 卷共 l2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的 一 选择题一 选择题 1 设集合 U U 则则 1 2 3 4 1 2 3 M 2 3 4 N U M N I A A B B C C D D 12 2 3 2 4 1 4 答案 D 命题意图 本题主要考查集合交并补运算 解析 2 3 1 4 U MNMN QII 2 函数的反函数为2 0 yx x A A B B 2 4 x yxR 2 0 4 x yx C C D D 2 4yx xR 2 4 0 yxx 答案 B 命题意图 本题主要考查反函数的求法 解析 由原函数反解得 又原函数的值域为 所以函数的反函 2 4 y x 0y 2 0 yx x 数为 2 0 4 x yx 3 设向量满足 则 a b 1ab 1 2 a b r r 2ab A B C D 2357 答案 B 命题意图 本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法 解析 所以 222 1 2 44 14 43 2 abaa bb rrrr ru r 23ab rr 4 若变量 x y 满足约束条件 则的最小值为 6 3 2 1 xy xy x 23zxy A 17 B 14 C 5 D 3 答案 C 命题意图 本题主要考查简单的线性规划 解析 作出不等式组表示的可行域 从图中不难观察当直线过直线 x 1 与 x 23zxy 3y 2 的交点 1 1 时取得最小值 所以最小值为 5 5 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的条件是ab A A B B C C D D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 答案 A 命题意图 本题主要考查充要条件及不等式的性质 解析 即寻找命题 使 且推不出 逐项验证知可选 A PPab ab P 6 设为等差数列的前项和 若 公差 则 n S n an 1 1a 2d 2 24 kk SS k A A 8 B B 7 C C 6 D D 5 答案 D 命题意图 本题主要考查等差数列的基本公式的应用 解析 解法一 解得 2 2 1 1 2 12 12 4424 22 kk kkk k SSkkk 5k 解法二 解得 221 1 1 2 12 4424 kkkk SSaakkk 5k 7 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 所得的图 cos 0 f xx yf x 3 像与原图像重合 则的最小值等于 A A B B C C D D 1 3 369 答案 C 命题意图 本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系 解析 由题意将的图像向右平移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 yf x 3 说明了是此函数周期的整数倍 得 解得 又 令 得 3 2 3 kkZ 6k 0 1k min 6 C l A B D 8 已知直二面角 点 为垂足 为垂l A ACl CB BDl D 足 若 则2 1ABACBD CD A 2 B C D 132 答案 C 命题意图 本题主要考查二面角的平面角及解三角形 解析 因为是直二面角 平面 l ACl AC ACBC 又 3BC BDl 2CD 9 4 位同学每人从甲 乙 丙 3 门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共 有 A 12 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 答案 B 命题意图 本题主要考查两个原理与排列组合知识 考察考生分析问题的能力 解析 第一步选出 2 人选修课程甲有种方法 第二步安排剩余两人从乙 丙中各选 2 4 6C 1 门课程有种选法 根据分步计数原理 有种选法 2 2 6 424 10 设是周期为 2 的奇函数 当时 则 f x01x f x 2 1 xx 5 2 f A A B B C C D D 1 2 1 4 1 4 1 2 答案 A 命题意图 本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法 关键是把通过周期 性和奇偶性把自变量转化到区间 0 1 上进行求值 5 2 解析 由是周期为 2 的奇函数 利用周期性和奇偶性得 f x 5511111 2 2 1 2222222 ffff 11 设两圆 都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 1 C 2 C 12 C C A 4 B C 8 D 4 28 2 答案 C 命题意图 本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式 解析 由题意知圆心在直线 y x 上并且在第一象限 设圆心坐标为 则 0 a a a 即 所以由两点间的距离公式可求出 22 4 1 aaa 2 10170aa 2 121212 2 4 2 1004 17 8C Caaa a 12 已知平面 截一球面得圆 过圆心且与 成二面角的平面 截该球面得圆MM 0 60 若该球面的半径为 4 圆的面积为 4 则圆的面积为NM N A A 7 B B 9 C C 11 D D 13 答案 D 命题意图 本题主要考查二面角的概念与球的性质 解析 如图所示 由圆的面积为 4知球心到圆的距离M OM 在中 2 3OM Rt OMN 30OMN 故圆的半径 圆 1 3 2 ONOM N 22 13rRON 的面积为 N 2 13Sr 第第 卷卷 注意事项 注意事项 1 答题前 考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名 准考 证号填 写清楚 然后贴好条形码 请认真核准条形码卜的准考证号 姓名和科目 2 第 卷共 2 页 请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答 在试题卷上作答在试题卷上作答 无效无效 3 第 卷共 l0 小题 共 90 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 把答案填在题中横把答案填在题中横线上线上 注意注意 在试卷上作答无效 在试卷上作答无效 13 的二项展开式中 的系数与的系数之差为 10 1 x x 9 x 答案 0 命题意图 本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质 解析 由得的系数为 的系数为 所以 11010 1 rrrrr r TCxC x x10 9 x 9 10 10C 的系数与的系数之差为 0 x 9 x 14 已知 则 3 2 tan2 cos 答案 5 5 命题意图 本题主要考查同角三角函数的基本关系式 要注意角的范围 进而确定值的符 号 解析 则 3 2 tan2 cos 5 5 15 已知正方体中 E 为的中点 则异面直线 AE 与 BC 所成角的余 1111 ABCDABC D 11 C D 弦值为 答案 2 3 命题意图 本题主要考查正方体中异面直线 AE 与 BC 所成的角 解析 取 A1B1的中点 M 连接 EM AM AE 则就是异面直线 AE 与 BC 所成的角 在AEM 中 AEM 22 2352 cos 2 2 33 AEM 16 已知 分别为双曲线 的左 右焦点 点 点的坐标为 1 F 2 FC 22 1 927 xy AC M 2 0 为的平分线 则 AM 12 F AF 2 AF 答案 6 命题意图 本题主要考查三角形的内角平分线定理 双曲线的第一定义和性质 解析 为的平分线 QAM 12 F AF 22 11 41 82 AFMF AFMF 12 2 AFAF 又点 由双曲线的第一定义得 AC 12222 2 26AFAFAFAFAFa 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分本小题满分 l0l0 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 设等比数列的前n项和为 已知求和 n a n S 2 6 a 13 630 aa n a n S 思路点拨 解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1和公比 q 的方程 求出 a1和 q 然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可 解析 设的公比为 q 由题设得 n a 3 分 1 11 6 630 a q aa q 解得或 6 分 1 3 2 a q 1 2 3 a q 当时 1 3 2aq 1 3 2 3 21 nn nn aS 当时 10 分 1 2 3aq 1 2 3 31 nn nn aS 18 本小题满分本小题满分 12 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 ABC ABC 的内角的内角 A A B B C C 的对边分别为的对边分别为 a a b b c c 己知己知 sincsin2 sinsinaACaCbB 求求 B B 若 若 0 75 2 Ab ac求 思路点拨 第 I 问由正弦定理把正弦转化为边 然后再利用余弦定理即可解决 II 在 I 问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解 解析 I 由正弦定理得 3 分 222 2acacb 由余弦定理得 222 2cosbacacB 故 因此 6 分 2 cos 2 B 45B II sinsin 3045 A sin30 cos45cos30 sin45 8 分 26 4 故 sin26 13 sin2 A ab B 12 分 sinsin60 26 sinsin45 C cb B 19 本小题满分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 II 求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买的概率 命题意图 本题主要考查独立事件的概率 对立事件的概率 互斥事件的概率及次独立重 复试验发生 k 次的概率 考查考生分析问题 解决问题的能力 解析 记 A 表示事件 该地的 1 位车主购买甲种保险 B 表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C 表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D 表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 E 表示事件 该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 I 3 分 0 5P A 0 3P B CAB 6 分 0 8P CP ABP AP B II D P D 1 P C 1 0 8 0 2 9 分C P E 12 分 22 3 0 2 0 80 384C 20 本小题满分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 侧SABCD ABCDBCCD 面为等边三角形 SAB2 1ABBCCDSD I 证明 SDSAB 平平 II 求 AB 与平面 SBC 所成角的大小 分析 第 I 问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这 个条件 找出 AB 的中点 E 连结 SE DE 就做出了解决这 个问题的关键辅助线 II 本题直接找线面角不易找出 要找到与 AB 平行的其 它线进行转移求解 命题意图 以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面 角的计算 注重与平面几何的综合 解法一 取中点 连结 则四边形ABEDE 为矩形 连结 则BCDE2DECB SE SEAB 3SE 又 故 1SD 222 EDSESD 所以为直角 3 分DSE 由 得ABDE ABSE DESEE I 平面 所以 AB SDEABSD 与两条相交直线 都垂直 SDABSE 所以平面 6 分SD SAB 另解 由已知易求得 于是 可知 同理1 5 2SDADSA 2 22 SASDAD SDSA 可得 又 所以平面 6 分SDSB SASBS ISD SAB D C A S BE F G H D C A S B 由平面知 平面平面 AB SDEABCD SDE 作 垂足为 则平面 ABCD SFDE FSF 3 2 SDSE SF DE 作 垂足为 则 FGBC G1FGDC 连结 则 SGSGBC 又 故平面 平面平面 9 分 BCFG SGFGG IBC SFGSBC SFG 作 为垂足 则平面 FHSG HFH SBC 即到平面的距离为 3 7 SFFG FH SG FSBC 21 7 由于 所以平面 到平面的距离也为 EDBC EDSBCESBCd 21 7 设与平面所成的角为 则 12 分ABSBC 21 sin 7 d EB 21 arcsin 7 解法二 以为原点 射线为轴的正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 CCDxCxyz 设 则 1 0 0 D 2 2 0 A 0 2 0 B 又设 则 S x y z0 0 0 xyz 2 2 2 1 ASxyz BSx yz DSxy z uuruu ruu u r 由得 ASBS uuruu r 222222 2 2 2 xyzxyz 故 1x 由得 1DS uu u r 22 1yz 又由得 2BS uu r 222 2 4xyz 即 故 3 分 22 410yzy 13 22 yz 于是 13333313 1 1 1 0 22222222 SASBSDS uuruu ruu u r 0 0DS ASDS BS uu u r uuruu u r uu r 故 又 DSAS DSBS ASBSS I 所以平面 6 分SD SAB 设平面的法向量 SBC am n p r 则 0 0aBS aCB a BSa CB ruu r ruur r uu rr uur 又 33 1 0 2 0 22 BSCB uu ruur 故 9 分 33 0 22 20 mnp n 取得 又2p 3 0 2 a r 2 0 0 AB uu u r 21 cos 7 AB a AB a ABa uu u r r uu u r r uu u rr 故与平面所成的角为 12 分ABSBC 21 arcsin 7 21 本小题满分本小题满分 l2l2 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 已知函数 32 3 36 124f xxaxa xaaR 证明 曲线 0yf xx 在处的切线过点 2 2 若求 a 的取值范围 00 f xxxx 在处取得最小值 1 3 分析 第 I 问直接利用导数的几何意义 求出切线的斜率 然后易写出切线方程 II 第 II 问是含参问题 关键是抓住方程的判别式进行分类讨论 0fx 解 I 2 分 2 3636fxxaxa 由得曲线在 x 0 处的切线方程为 0 124 0 36fafa yf x 36 124ya xa 由此知曲线在 x 0 处的切线过点 2 2 6 分 yf x II 由得 0fx 2 21 20 xaxa i 当时 没有极小值 8 分2121a f x ii 当或时 由得21a 21a 0fx 22 12 21 21xaaaxaaa 故 由题设知 02 xx 2 1213aaa 当时 不等式无解 21a 2 1213aaa 当时 解不等式得21a 2 1213aaa 5 21 2 a 综合 i ii 得的取值范围是 12 分a 5 21 2 22 本小题满分本小题满分 l2l2 分分 注意 在试题卷上作答无效注意 在试题卷上作答无效 已知为坐标原点 为椭圆 在轴正半轴上的焦点 过且斜率为OFC 2 2 1 2 y x yF 的直线 与交与 两点 点满足2 lCABP 0OAOBOP uuruu u ruu u rr I 证明 点在上 PC II 设点关于点的对称点为 证明 四POQAPBQ 点在同一圆上 命题意图 本题考查直线方程 平面向量的坐标运算 点与曲 线的位置关系 曲线交点坐标求法及四点共圆的条件 分析 方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路 注意把用0 OAOBOP 坐标表示后求出 P 点的坐标 然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A B 两点的横坐标 表示出来 从而求出点 P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在 C 上 II 此问题证明有两 种思路 思路一 关键是证明互补 通过证明这两个角的正切值互补即可 再 APBAQB 求正切值时要注意利用到角公式 思路二 根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上 所以根据两条弦的垂直平分线的 交点找出圆心 N 然后证明 N 到四个点 A B P Q 的距离相等即可 解析 I 的方程为 代入并化简得 0 1 Fl21yx 2 2 1 2 y x 2 分 2 42 210 xx 设 112233 A x yB xyP xy 则 12 2626 44 xx 121212 2 2 21 2 xxyyxx 由题意得 312312 2 1 2 xxxyyy 所以点的坐标为 P 2 1 2 经验证点的坐标满足方程 故点在椭圆上 6 分P 2 1 2 2 2 1 2 y x PC II 由和题设知 的垂直平分线的方程为P 2 1 2 Q 2 1 2 PQ 1 l 2 2 yx 设的中点为 则 的垂直平分线的方程为ABM 2 1 42 MAB 2 l 21 24 yx 由 得 的交点为 9 分 1 l 2 l 2 1 88 N 22 2213 11 1 2888 NP 2 21 3 2 1 2 2 ABxx g 3 2 4 AM 22 22113 3 48288 MN 22 3 11 8 NAAMMN 故