内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 导数在研究函数性质中的应用

1 内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 导数在研究函数性质中的应内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 导数在研究函数性质中的应 用用 主干知识整合 1 导数的几何意义 2 函数的单调性与导数 如果已知函数在某个区间上单调递增 减 则这个函数的导数在这个区间上大 小 于零 恒成立 在区间上离散点处导数等于零 不影响函数的单调性 如函数y x sinx 3 函数的导数与极值 对可导函数而言 某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件 但对不可导的函 数 可能在极值点处函数的导数不存在 如函数y x 在x 0 处 因此对于一般函数而言 导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件 4 闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 其最大值是区间的端点处的函数值和 在这个区间内函数的所有极大值中的最大者 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内 函数的所有极小值的最小者 5 定积分与曲边形面积 1 曲边为y f x 的曲边梯形的面积 在区间 a b 上的连续的曲线y f x 和直线 x a x b a b y 0 所围成的曲边梯形的面积S Error 当f x 0 时 S f x dx b a 当 f x 0 时 S f x dx b a 2 曲边为y f x y g x 的曲边形的面积 在区间 a b 上连续的曲线y f x y g x 和直线x a x b a b y 0 所围成的曲边梯形的面积S f x g x b a dx 当f x g x 时 S f x g x dx 当f x 0 的一条切线 则实数b 2 已知f x 为偶函数 当x 0 时 f x x 1 2 1 满足f f a 的实数a的 1 2 2 个数为 1 ln2 1 2 8 解析 1 切线的斜率是 2 根据导数的几何意义可以求出切点 的横坐标 进而求出切点的坐标 切点在切线上 代入即可求出b的值 y 令 2 1 x 1 x 得x 故切点为 代入直线方程 得 ln 2 b 所以b ln2 1 1 2 1 2 ln 1 2 1 2 1 2 2 如图所示 f x 有四个解 1 1 1 1 所以f a 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 或f a 1 或f a 1 2 2 2 2 2 2 当f a 1 时 a有 2 个值对应 2 2 当f a 1 时 a有 2 个值对应 2 2 当f a 1 时 a有 4 个值对应 2 2 综上可知满足f f a 的实数a有 8 个 1 2 探究点二 导数在研究函数中的应用 例 2 2011 北京卷 已知函数f x x k 2e x k 1 求f x 的单调区间 2 若对于任意的x 0 都有f x 求k的取值范围 1 e 解答 1 f x x2 k2 e 1 k x k 令f x 0 得x k 当k 0 时 f x 与f x 的情况如下 x k k k k k k f x 0 0 f x 4k2e 1 0 所以 f x 的单调递增区间是 k 和 k 单调递减区间是 k k 当k 0 时 f x 与f x 的情况如下 所以 f x 的单调递减区间是 k 和 k 单调递增区间是 k k 2 当k 0 时 因为f k 1 e 所以不会有 x 0 f x k 1 k 1 e 1 e x k k k k k k f x 0 0 f x 0 4k2e 1 3 当k 0 时 由 1 知f x 在 0 上的最大值是f k 4k2 e 所以 x 0 f x 等价于f k 1 e 4k2 e 1 e 解得 k 0 1 2 故当 x 0 f x 时 k的取值范围是 1 e 1 2 0 点评 单调性是函数的最重要的性质 函数的极值 最值等问题的解决都离不开函 数的单调性 含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法 分类讨论的良好素 材 函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点 函数单调性的讨论 往往归结为一个不等式 特别是一元二次不等式的讨论 对一元二次不等式 在二次项系数 的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论 即分类讨论的标准 是先二次项系数 再根的大小 对于在指定区间上不等式的恒成立问题 一般是转化为函数 最值问题加以解决 如果函数在这个指定的区间上没有最值 则可转化为求函数在这个区间 上的值域 通过值域的端点值确定问题的答案 例 3 2011 江西卷 设f x x3 x2 2ax 1 3 1 2 1 若f x 在上存在单调递增区间 求a的取值范围 2 3 2 当 0 a 2 时 f x 在 1 4 上的最小值为 求f x 在该区间上的最大值 16 3 解答 1 由f x x2 x 2a 2 2a x 1 2 1 4 当x 时 f x 的最大值为f 2a 令 2a 0 得a 2 3 2 3 2 9 2 9 1 9 所以 当a 时 f x 在上存在单调递增区间 1 9 2 3 2 令f x 0 得两根x1 x2 1 1 8a 2 1 1 8a 2 所以f x 在 x1 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 当 0 a 2 时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 又f 4 f 1 6a 0 即f 4 f 1 27 2 所以f x 在 1 4 上的最小值为f 4 8a 40 3 16 3 得a 1 x2 2 从而f x 在 1 4 上的最大值为f 2 10 3 变式题 已知函数f x ax2 x lnx ax2 x a R 1 2 1 当a 0 时 求曲线y f x 在 e f e 处的切线方程 e 2 718 2 求函数f x 的单调区间 解答 1 当a 0 时 f x x xlnx f x lnx 所以f e 0 f e 1 所以当a 0 时 曲线y f x 在 e f e 处的切线方程为y x e 2 函数f x 的定义域为 0 f x ax2 x 2ax 1 lnx ax 1 2ax 1 lnx 1 x 当a 0 时 2ax 10 在 1 上f x 0 4 所以此时f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 当 0 a0 在上f x 时 在和 1 上f x 0 在上f x 0 k 1 x2 1 x 则 h x k 1 x2 1 2x x2 设 k 0 由 h x 知 k x2 1 x 1 2 x2 当 x 1 时 h x 0 而 h 1 0 故当 x 0 1 时 h x 0 可得h x 0 1 1 x2 当 x 1 时 h x 0 可得h x 0 1 1 x2 从而当 x 0 且 x 1 时 f x 0 lnx x 1 k x 即f x lnx x 1 k x 设 0 k 1 由于当 x 时 k 1 x2 1 2x 0 故 h x 0 而 h 1 1 1 1 k 0 故当 x 时 h x 0 可得h x 0 与题设矛盾 1 1 1 k 1 1 x2 设k 1 此时h x 0 而 h 1 0 故当x 1 时 h x 0 可得 h x 0 与题设矛盾 1 1 x2 综合得 k 的取值范围为 0 点评 本题的困难是第二问的不等式问题 通过作差 f x 后 通过适当的变换把其变换为 lnx x 1 k x lnx x 1 1 x lnx x 1 k x 1 1 x2 6 其目的就是为了分 0 x1 进行研究 括号内的部分看似 2lnx k 1 x2 1 x 复杂 其实就是 2lnx k 1 把这个式子作为函数 h x 其导数是很容易求出的 x 1 x 而且函数 h x 恰好在 x 1 处等于零 这样就便于使用函数的单调性得到和 h 1 进行比较的 式子 使用特殊点的函数值是分析解决不等式问题的重要技巧之一 本题具有极高的技巧性 也很容易使解题者陷入分离参数的困境 变式题 已知函数f x ln x a x2 x在x 0 处取得极值 1 求实数a的值 2 求函数f x 的单调区间 3 若关于x的方程f x x b在区间 0 2 有两个不等实根 求实数b的取值范 5 2 围 解答 1 由已知得 f x 2x 1 1 x a 1 2x x a x a x a 由题意知 f 0 0 即 0 解得 a 1 1 a a 2 由 1 得 f x 1 2x x 1 x 1 x 1 x 1 2x x 3 2 x 1 由 f x 0 得 1 x 0 由 f x 0 f x 的单调递增区间为 1 0 单调递减区间为 0 3 令 g x f x ln x 1 x2 x b x 0 2 则 g x 5 2x b 3 2 2x 令 g x 0 得x 1 或x 舍 当 0 x0 当 1 x 2 1 x 1 3 2 5 4 时 g x 0 即 g x 在 0 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 方程f x x b在区间 0 2 上有两个不等实根等价于函数g x 在 0 2 上有两个不 5 2 同的零点 故只要Error 即可 即Error 解得ln3 1 b ln2 1 2 即实数 b 的取值范围为ln3 1 b ln2 1 2 规律技巧提炼 1 求解切线问题时要注意求的是曲线上某点处的切线问题 还是曲线的过某个点的切 线问题 2 函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本 函数的单调递增区间和单调递减区 间的分界点就是函数的极值点 在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的 极值点把函数的定义域区间进行分段 在各个段上研究函数的导数的符号 确定函数的单调 性 也确定了函数的极值点 这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则 3 使用导数的方法研究不等式问题的基本方法是构造函数 通过导数的方法研究这个 函数的单调性 极值 利用特殊点的函数值和整个区间上的函数值的比较得到不等式 注意 在一些问题中对函数的解析式进行适当的变换再构造函数 7 4 使用导数的方法研究方程的根的分布 其基本思想是构造函数后 使用数形结合方 法 即先通过 数 的计算得到函数的单调区间和极值 再使用 形 的直观得到方程根的 分布情况 教师备用例题 备选理由 例 1 是以三角函数为背景的试题 鉴于当前在高考中考查函数导数的情况 以三角函数为主的试题不多见 选用此题弥补这个不足 例 2 难度不大 考查全面 是一道 综合性较强的函数与导数试题 可以全面串联导数研究函数性质 不等式和方程 例 3 是一 个以构造函数 通过研究函数的单调性 极值点和特殊点的函数值研究不等式的典型例题 这个题和本讲例 5 可以形成学习使用导数的方法研究不等式的一个基本思路 提高学习解 决函数综合题的能力 例 1 若f x h x ax b g x 则定义h x 为曲线f x g x 的 线 已知f x tanx x g x sinx x 则f x g x 的 线为 0 2 0 2 分析 实际上就是确定a b的值 使得不等式sinx ax b tanx对任意的x 恒成立 可以通过构造函数的方法解决这个不等式的恒成立问题 0 2 答案 y x 解析 这样的直线若存在 则对x 0 时一定满足不等式sinx ax b tanx 故 b 0 设 h x sinx ax 则 h x cosx a 如果a 0 则 h x 0 函数 h x 在区间 上单调递增 h x h 0 0 无论 a 取何值 都不会有 h x 0 恒成立 如果 0 2 0 a 1 则函数 h x 在区间存在一个极值点 x0 且是极大值点 从而当 x 0 x0 时 0 2 h x h 0 也不可能 当 a 1 时 函数 h x 在上单调递减 故 h x h 0 0 0 2 此时不等式sinx ax 恒成立 例 2 设函数f x lnx ax2 bx 1 2 1 当a b 时 求f x 的最大值 1 2 2 令F x f x ax2 bx 01 则函数在区间有一个极值点 x0 且 0 2 0 2 是极大值点 当 x 0 x0 时 x 0 0 不等式 ax tanx 不恒成立 故不等式 ax tanx 恒成立时 a 1 综合可知只能是 a 1 故所求的直线是 y x 解答 1 依题意 知 f x 的定义域为 0 8 当a b 时 f x lnx x2 x 1 2 1 4 1 2 f x x 令 f x 0 1 x 1 2 1 2 x 2 x 1 2x 解得 x 1 因为 x 0 所以舍去 x 2 当 0 x0 此时 f x 单调递增 当 x 1 时 f x 0 x 0 所以 x1 0 舍去 x2 m m2 4m 2 m m2 4m 2 当 x 0 x2 时 g x 0 g x 在 x2 上单调递增 当 x x2时 g x2 0 g x 取最小值 g x2 则Error 即Error 所以 2mlnx2 mx2 m 0 因为 m 0 所以 2lnx2 x2 1 0 设函数 h x 2lnx x 1 因为当 x 0 时 h x 是增函数 所以 h x 0 至多有一 解 因为 h 1 0 所以方程 的解为 x2 1 即 1 解得 m m m2 4m 2 1 2 例 3 已知函数 f x sinx x 0 g x ax x 0 1 若 f x g x 恒成立 求实数 a 的取值范围 2 当 a 取 1 中最小值时 求证 g x f x x3 1 6 解答 1 令 h x sinx ax x 0 h x cosx a 若 a 1 则 h x cosx a 0 h x sinx ax 在 0 上单调递减 h x h 0 0 所以sinx ax x 0 成立 若 0 a0 h x 0 2 sinx ax 在 x 0 x0 单调递增 h x h 0 0 不合题意 舍去 若 a 0 时 对任意的 x 有cosx a 0 h