2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷含答案）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 广东卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 广东卷 含答案 参考公式 柱体的体积公式V Sh 其中S为柱体的底面积 h为柱体的高 线性回归方程 ybxa 中系数计算公式为 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx yxy b xxxnx aybx 其中 x y表示样本均值 若n是正整数 则 nn abab 12 nn aab 21nn abb 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设复数z满足 12i z 其中i为虚数单位 则z A 1 i B 1 i C 22i 22i 已知集合 Ax y x y为实数 且 22 1xy Bx y x y为实数 且 yx 则AB 的元素个数为 若向量a a b b c c满足a a b b且a a c c 则 2 cab 设函数 f x和 g x分别是 上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 f xg x 是偶函数 f xg x 是奇函数 f xg x 是偶函数 f xg x 是奇函数 5 在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定 若 M x y为D上的 动点 点A的坐标为 2 1 则 zOM OA的最大值为 A 4 2 B 3 2 C D 甲 乙两队进行排球决赛 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军 乙队需要再赢两 局才能得冠军 若两队胜每局的概率相同 则甲队获得冠军的概率为 A 1 2 B 3 5 C 2 3 D 3 4 如下图 某几何体的正视图 主视图 是平行四边形 侧视图 左视图 和俯视图都是 矩形 则几何体的体积为 3 2 正视图 3 侧视图 211 俯视图 6 3 9 3 12 3 18 3 8 设S是整数集Z的非空子集 如果 a bS 有abS 则称S关于数的乘法是封闭的 若T V是Z的两个不相交的非空子集 TVZ 且 a b cT 有 abcTx y zV 有 xyzV 则下列结论恒成立的是 A T V中至少有一个关于乘法是封闭的 B T V中至多有一个关于乘法是封闭的 C T V中有且只有一个关于乘法是封闭的 D T V中每一个关于乘法都是封闭的 二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答 6 小题 每小题 5 分 满分 30 分 9 不等式130 xx 的解是 10 7 2 x x x 的展开式中 4 x的系数是 用数字作答 11 等差数列 n a 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则k 12 函数 2 31f xxx 在x 处取得极小值 13 某数学老师身高 176cm 他爷爷 父亲和儿子的身高分别是 173cm 170cm 和 182cm 因 儿子的身高与父亲的身高有关 该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 选做题 14 15 考生只能从中选一题 14 已知两曲线参数方程分别为 5cos 0 sin x y 和 2 5 4 xt tR yt 它们的交点 坐标为 坐标系与参数方程选做题 15 如图 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A B且PB 7 C是圆上一点使 得BC 5 BAC APB 则AB 几何证明选讲选做题 1 解答题 本大题共 6 小题 满分 80 分 解答需写出 文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数f x 2sin 3 1 x 6 x R 1 求f 4 5 的值 2 设 0 2 3f 2 13 10 32 f 5 6 求cos 的值 A B C P O 17 本小题满分 13 分 为了解甲 乙两厂的产品质量 采用分层抽样的方法从甲 乙两厂 生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件 测量产品中的微量元素x y的含量 单位 毫克 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据 编号 12345 x169178166175180 y7580777081 2 已知甲厂生产的产品共有 98 件 求乙厂生产的产品总数 3 当产品中的微量元素x y满足x 175 y 75 该产品为优等品 用上述样本数据估计 乙厂生产的优等品的数量 4 从乙厂抽出的上述 5 件产品中 随机抽取 2 件 求抽取的 2 件产品中的优等品数 的分 布列及其均值 18 本小题满分 13 分 在椎体P ABCD中 ABCD是边长 为 1 的棱形 且 DAB 60 2PAPD PB 2 E F分别是BC PC的中点 1 证明 AD 平面DEF 2 求二面角P AD B的余弦值 19 本小题满分 14 分 设圆C与两圆 2222 5 4 5 4xyxy 中的一个内切 另一个外切 1 求圆C的圆心轨迹L的方程 2 已知点M 3 5 4 5 5 0 55 F 且P为L上动点 求MPFP 的最大值及此时 P的坐标 20 本小题共 14 分 设b 0 数列 n a满足a1 b 1 1 2 22 n n n nba an an 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 对于一切正整数n 1 1 1 2 n n n b a 21 本小题共 14 分 在平面直角坐标系xOy上 给定抛物线L 2 1 4 yx 实数p q满足 2 40pq x1 x2是方程 2 0 xpxq 的两根 记 12 max p qxx 1 过点 2 000 1 0 4 A ppp p0 0 作L的切线交y轴于点B 证明 对线段AB上任一 点Q p q 有 0 2 p p q 2 设M a b 是定点 其中a b满足a2 4b 0 a 0 过M a b 作L的两条切线 12 l l P A B C D F 切点分别为 22 1122 11 44 E ppE pp 12 l l与y轴分别交与 F F 线段EF上异于两端点 的点集记为X 证明 M a b X 12 PP a b 1 2 p 3 设D x y y x 1 y 1 4 x 1 2 5 4 当点 p q 取遍D时 求 p q 的最小值 记为 min 和最大值 记为 max 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 答案 数学 理科 试卷类型 A cbw 一 选择题 题号 答案 BCDACDBA 二 填空题 1 10 84 11 10 12 2 13 185 14 2 5 1 5 15 35 三 解答题 16 解 1 55 2sin 2sin2 41264 f 2 10 3 2sin 213 f 5 sin 13 又 0 2 12 cos 13 6 32 2sin 2cos 25 f 3 cos 5 又 0 2 4 sin 5 16 cos coscossinsin 65 17 解 1 乙厂生产的产品总数为 14 535 98 2 样品中优等品的频率为 2 5 乙厂生产的优等品的数量为 2 3514 5 3 0 1 2 2 23 2 5 ii C C Pi C 0 1 2 i 的分布列为 012 P 3 10 3 5 1 10 均值 314 12 5105 E 18 解 1 取AD的中点G 又PA PD PGAD 由题意知 ABC是等边三角形 BGAD 又PG BG是平面PGB的两条相交直线 ADPGB 平平 EFPB DEGB DEFPGB 平平 平平 ADDEF 平平 2 由 1 知PGB 为二面角PADB 的平面角 在Rt PGA 中 2 22 17 2 24 PG 在Rt BGA 中 222 13 1 24 BG 在PGB 中 222 21 cos 27 PGBGPB PGB PG BG 19 解 1 两圆半径都为 2 设圆C的半径为R 两圆心为 1 5 0 F 2 5 0 F 由题意得 12 2RCFCF 或 21 2RCFCF 1212 22 5 CFCFF F 可知圆心 C 的轨迹是以 12 F F为焦点的双曲线 设方程为 22 22 1 xy ab 则 222 22 1 5 4 2aacbcab 所以轨迹 L 的方程为 2 2 1 4 y x 22 3 51 4 5 1 545 ML MPFPMF 仅当点P是直线MF与双曲线L的交点时 取 由2 MF k 知直线MF与渐近线2 b yxx a 平行 所以直线MF与双曲线L只有一个交点M 又 2MF 所以当点 P 与 M 重合时 MPFP 最大 等于 2 此时 3 54 5 55 P 20 解 法一 1 1 2 1 nn n aba nan 得 1 11 2 1 121 n nnn annn ababba 设 n n n b a 则 1 21 nn bb bb 2 n 设 1 2 nn bb b 则 1 22 1 nn bb bb P A B C D F G P A B C D F E 令 21 1 bb 得 1 2b 1 121 22 nn bb bbb 2 n 知 1 2 n b b 是等比数列 1 1 112 22 n n bb bbb 又 1 1 b b 12112 222 nn n n n b b bbbbb 2 2 n n nn nbb a b 法二 1 ab 22 2 22 22 2 22 bb b a bb 33 2 233 33 2 242 bb b a bbb 猜想 2 2 n n nn nbb a b 下面用数学归纳法证明 当1n 时 猜想显然成立 假设当nk 时 2 2 k k kk kbb a b 则 1 1 11 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 kk k k kkkkk k kb akb kbbkbb a ankbbkbb 所以当1nk 时 猜想成立 由 知 nN 2 2 n n nn nbb a b 22221 2222 nnnnnn bbb 2121221 22222 nnnnnn bbbb 1111221 22222 nnnnnnnn bbbb 以上 n 个式子相加得 221 2 nn bb 1111 22 nnnn bb 2121 222 nnnn bnb 1221212 11 2 2 222 2 2 2 2 2 2 nnnnnnnn n nnnnnn nbbbbbbb a bb 221212 1 222 2 2 2 2 2 nnnnnn nnn bbbbbb b 212111 1 2 22 2 2 nnnnnn nnn bbb b 211121 1 2 22 2 2 nnnnnn nnn bbb b 1 1 1 2 n n b 21 解 00 0 11 22 ABxpxp kyxp 直线AB的方程为 2 000 11 42 yppxp 即 2 00 11 24 yp xp 2 00 11 24 qp pp 方程 2 0 xpxq 的判别式 22 0 4 pqpp 两根 00 1 2 22 pppp x 或 0 2 p p 0 0p p 00 22 pp pp 又 0 0 pp 000 222 ppp p 得 000 222 ppp pp 0 2 p p q 由 2 40ab 知点 M a b在抛物线L的下方 当0 0ab 时 作图可知 若 M a bX 则 12 0pp 得 12 pp 若 12 pp 显然有点 M a bX M a bX 12 pp 当0 0ab 时 点 M a b在第二象限 作图可知 若 M a bX 则 12 0pp 且 12 pp 若 12 pp 显然有点 M a bX M a bX 12 pp 根据曲线的对称性可知 当0a 时 M a bX 12 pp 综上所述 M a bX 12 pp 由 知点M在直线EF上 方程 2 0 xaxb 的两根 1 1 2 2 p x 或 1 2 p a 同理点M在直线 E F上 方程 2 0 xaxb 的两根 2 1 2 2 p x 或 2 2 p a 若 1 2 p a b 则 1 2 p 不比 1 2 p a 2 2 p 2 2 p a 小 12 pp 又 12 pp M a bX 1 2 p a b M a bX 又由 知 M a bX 1 2 p a b 1 2 p a b M a bX 综