2012高考数学核心考点90天突破 专题9 立体几何

1 20122012 考前考前 9090 天突破天突破 高考核心考点高考核心考点 专题九专题九 立体几何立体几何 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读立体几何初步 1 空间几何体 认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这 些特征描述现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 能识别上述的三视图所表示的立体模型 会用斜二 侧法画出它们的直观图 会用平行投影与中心投影两种方法 画出简单空间图形的三 视图与直观图 了解空间图形的不同表示形式 会画某些建筑物的视图与直观图 在 不影响图形特征的基础上 尺寸 线条等不作严格要求 了解球 棱柱 棱锥 台 的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 2 点 直线 平面之间的位置关系 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了 解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那 么这条直线上所有的点在此平面内 公理 2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平 面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共 直线 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 空间中如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 以立体几何的上述定义 公理 和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行 垂直的有关性质与判定定理 理解以下判 定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行 那么该直线与此平面平行 如果 一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行 那么这两个平面平行 如果一条直线与 一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 如果一个平面经过另一个 平面的垂线 那么这两个平面互相垂直 理解以下性质定理 并能够证明 如果一条直线与一个平面平行 经过该直线的任一 个平面与此平面的交线和该直线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们 的交线相互平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 如果两个平面垂直 那么一个平 面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 能运用公理 定理和已获得的结论证明 一些空间图形的位置关系的简单命题 近几年考点分布近几年考点分布立体几何在高考中占据重要的地位 通过近几年的高考情况分析 考 察的重点及难点稳定 高考始终把直线与直线 直线与平面 平面与平面平行的性质和判定 2 作为考察重点 在难度上也始终以中等偏难为主 在新课标教材中将立体几何要求进行了降 低 重点在对图形及几何体的认识上 实现平面到空间的转化 是知识深化和拓展的重点 因而在这部分知识点上命题 将是重中之重 高考对立体几何的考查侧重以下几个方面 1 从命题形式来看 涉及立体几何内容的命题形式最为多变 除保留传统的 四选一 的 选择题型外 还尝试开发了 多选填空 完型填空 构造填空 等题型 并且这种命题 形式正在不断完善和翻新 解答题则设计成几个小问题 此类考题往往以多面体为依托 第 一小问考查线线 线面 面面的位置关系 后面几问考查空间角 空间距离 面积 体积等 度量关系 其解题思路也都是 作 证 求 强调作图 证明和计算相结合 2 从内 容上来看 主要是 考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质 这类试题一般难度不 大 多为选择题和填空题 计算角的问题 试题中常见的是异面直线所成的角 直线与平 面所成的角 平面与平面所成的二面角 这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧 通 常要把它们转化为相交直线所成的角 求距离 试题中常见的是点与点之间的距离 点到 直线的距离 点到平面的距离 直线与直线的距离 直线到平面的距离 要特别注意解决此 类问题的转化方法 简单的几何体的侧面积和表面积问题 解此类问题除特殊几何体的现 成的公式外 还可将侧面展开 转化为求平面图形的面积问题 体积问题 要注意解题技 巧 如等积变换 割补思想的应用 三视图 辨认空间几何体的三视图 三视图与表面积 体积内容相结合 3 从能力上来看 着重考查空间想象能力 即空间形体的观察分析和抽 象的能力 要求是 四会 会画图 根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想 作的辅助线 面 作出的图形要直观 虚实分明 会识图 根据题目给出的图形 想象 出立体的形状和有关线面的位置关系 会析图 对图形进行必要的分解 组合 会用 图 对图形或其某部分进行平移 翻折 旋转 展开或实行割补术 考查逻辑思维能力 运算能力和探索能力 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 考点一 空间几何体的结构 三视图 直观图空间几何体的结构 三视图 直观图 例例 1 1 已知四棱锥的三视图如下图所示 其中主视PABCD 图 侧视图是直角三角形 俯视图是有一条对角线的正方形 是侧棱上的动点 求证 若EPCBDAE 为的中点 求直线与平面所成角的正弦值 EPCBEPBD 若五点在同一球面上 求该球的体积 A B C D P 1 证明 由已知 2 分 PCBC PCDCPCABCD 面 BDABCDBDPC 面 又因为 4 分BDAC BDPACAEPACBDAE 面又面 2 连 AC 交 BD 于点 O 连 PO 由 1 知BDPAC 面 BEDPAC 面面 则 为与平面所成的角 8EEHPOH 过点作于 EHPBD 面EBH BEPBD 分 则 10 分 1 3 EH 2 BE 1 2 3 sin 62 EBH A 3 3 解 以正方形为底面 为高补成长方体 此时对角线的长为球的直ABCDPCPA 径 21 146RPA 3 4 6 3 VR 球 名师点睛名师点睛 了解柱 锥 台 球体及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述 现实生活中的简单物体的结构 能画出简单空间几何体的三视图 能识别上述三视图所表 示的立体模型 会用斜二测画法画出它们的直观图 能用平行投影与中心投影两种方法画 出简单空间几何体的三视图与直观图 了解空间几何体的不同表示形式 会画某建筑物的 视图与直观图 空间几何体的结构与视图主要培养观察能力 归纳能力和空间想象能力 能通过观察 几何体的模型和实物 总结出柱 锥 台 球等几何体的结构特征 能识别三视图所表示 的空间几何体 会用材料制作模型 培养动手能力 考点考点二 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 例例2 2 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形 正视图 或称主 视图 是一个底边长为8 高为4的等腰三角形 侧视图 或称左视 图 是一个底边长为6 高为4的等腰三角形 1 求该几何体的体积V 2 求该几何体的侧面积S 解解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形 高为 4 顶点在底面的射影是矩形 中心的四棱锥 V ABCD 1 1 8 6464 3 V 2 该四棱锥有两个侧面 VAD VBC 是全等的等腰三角形 且 BC 边上的高为 另两个侧面 VAB VCD 也是全等的等腰三角形 2 2 1 8 44 2 2 h AB 边上的高为因此 2 2 2 6 45 2 h 11 2 6 4 28 5 4024 2 22 S 名师点睛名师点睛 理解柱 锥 台的侧面积 表面积 体积的计算方法 了解它们的侧面展开 图 及其对计算侧面积的作用 会根据条件计算表面积和体积 理解球的表面积和体积的 计算方法 把握平面图形与立体图形间的相互转化方法 并能综合运用立体几何中所学知识解决有关 问题 考点三 考点三 点 线 面的位置关系点 线 面的位置关系 例例 3 3 如图 1 在空间四边形 ABCD 中 点 E H 分别是边 AB AD 的中点 F G 分别是 边 BC CD 上的点 且 则 CF CB CG CD 2 3 A EF 与 GH 互相平行 B EF 与 GH 异面 C EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上 也可能不在直线 AC 上 D EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 解解 依题意 可得 EH BD FG BD 故 EH FG 由公理 2 可知 E F G H 共面 因为 EH BD 故 EH FG 所以 EFGH 1 2 FG BD 2 3 是梯形 EF 与 GH 必相交 设交点为 M 因为点 M 在 EF 上 故点 M 在平 图 1 4 面 ACB 上 同理 点 M 在平面 ACD 上 即点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点 而 AC 是这两 个平面的交线 由公理 3 可知 点 M 一定在 平面 ACB 与平面 ACD 的交线 AC 上 选 D 名师点睛名师点睛 理解空间中点 线 面的位置关系 了解四个公理及其推论 空间两直线的 三种位置关系及其判定 异面直线的定义及其所成角的求法 通过大量图形的观察 实验 实现平面图形到立体图形的飞跃 培养空间想象能力 会用平面的基本性质证明共点 共线 共面的问题 考点四 考点四 直线与平面 平面与平面平行的判定与性质直线与平面 平面与平面平行的判定与性质 例例 4 4 在棱长为的正方体中 a 1111 ABCDABC D 是线段的中点 求证 E 11 ACACBDF CEBD 求证 平面 求三棱锥的体积 CE 1 ABD 1 DABC 解解 证明 根据正方体的性质 2 分BDAC 因为 所以 1 AAABCD BDABCD 1 BDAA 又所以 1 ACAAA 11 BDACC A 11 CEACC A 所以 平面 10 分CE 1 ABD 12 分 11 3 1 1 36 D A BCABCDBCD a VVSA A 名师点睛名师点睛 掌握直线与平面平行 平面与平面平行的判定与性质定理 能用判定定 理证明线面平行 面面平行 会用性质定理解决线面平行 面面平行的问题 通过线面平行 面面平行的证明 培养学生空间观念及及观察 操作 实验 探索 合情推理的能力 考点五 考点五 直线与平面 平面与平面垂直的判定与性质直线与平面 平面与平面垂直的判定与性质 例例 5 5 如图 已知 平面 2 且是ABACDDEAB2ADACDEAB F 的中点 CD3AF 求证 平面 求证 平面BCE 平面 III 求此多AFBCECDE 面体的体积 5 解 取CE中点P 连结FP BP F为CD的中点 FP DE 且FP 2 1 DE 又AB DE 且AB AB FP 且AB FP 2 1 DE ABPF为平行四边形 AF BP 3 分 又 AF平面BCE BP平面BCE AF 平面BCE 5 分 所以 ACD为正三角形 32AFCD AF CD AB 平面ACD DE AB DE 平面ACD又AF平面ACD DE AF又 AF CD CD DE D AF 平面CDE 8 分又BP AF BP 平面CDE又 BP平面BCE 平面BCE 平面 CDE 10 分 III 此多面体是一个以 C 为定点 以四边形 ABED 为底边的四棱锥 12 2 3 2 ABED S 等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高ABDEADC 面面 1 333 3 C ABDE V 名师点睛名师点睛 掌握直线与平面垂直 平面与平面垂直的判定与性质定理 能用判定定 理证明线线垂直 线面垂直 面面垂直 会用性质定理解决线面垂直 面面垂直的问题 通过线面垂直 面面垂直的证明 培养学生空间观念及及观察 操作 实验 探索 合情推理的能力 考点六 考点六 空间中的夹角与距离空间中的夹角与距离 例例 6 6 如图 四面体ABCD中 O E分别BD BC的中点 CA CB CD BD 2 求证 AO 平面BCD 求异面直线AB与CD所成角的余弦值 求点E到平面的距离 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所 成的角以及点到平面的距离基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 方法一 方法一 I 证明 连结 OC BODO ABADAOBD BODO BCCDCOBD 在AOC 中 由已知可得1 3 AOCO 而2 AC 222 AOCOAC 90 o AOC 即 AOOC BDOCO AO 平面BCD A B CD E F 第 5 题图 6 II 解 取 AC 的中点 M 连结 OM ME OE 由 E 为 BC 的中点知ME AB O E D C 直 线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在OME 中 121 1 222 EMABOEDC OM 是直角AOC 斜边 AC 上的中线 1 1 2 OMAC 2 cos 4 OEM 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2 4 III 解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h 11 33 E ACDA CDE ACDCDE VV h SAO S 在ACD 中 2 2 CACDAD 22 127 22 222 ACD S 而 2 133 1 2 242 CDE AOS 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S 点 E 到平面 ACD 的距离为 21 7 方法二 方法二 I 同方法一 II 解 以 O 为原点 如图建立空间直角坐标系 则 1 0 0 1 0 0 BD 13 0 3 0 0 0 1 0 1 0 1 1 3 0 22 CAEBACD 2 cos 4 BACD BA CD BA CD 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 2 4 III 解 设平面 ACD 的法向量为 nx y z 则 1 0 1 0 0 3 1 0 n ADx y z n ACx y z 0 30 xz yz 令1 y 得 3 1 3 n 是平面 ACD 的一个法向量 又 x C A B O D y z E A B M D E O C 7 13 0 22 EC 点 E 到平面 ACD 的距离 321 77 EC n h n 名师点睛名师点睛 空间中的各种角包括异面直线所成的角 直线与平面所成的角和二面角 要理解各种角的概念定义和取值范围 其范围依次为 0 90 0 90 和 0 180 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这两条异面直线所成的角 1 然后通过解三角形去求得 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得 但是注意到异 2 面直线所成角得范围是 2 0 向量所成的角范围是 0 如果求出的是钝角 要注意 转化成相应的锐角 2 直线和平面所成的角 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 除特殊位置外 主要是指平面 的斜线与平面所成的角 根据定义采用 射影转化法 3 二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手 所以作二面角的平面角就成为 解题的关键 通常的作法有 定义法 利用三垂线定理或逆定理 自 空间一点作棱垂直的垂面 截二面角得两条射线所成的角 俗称垂面法 此外 当作二面 角的平面角有困难时 可用射影面积法解之 cos S S 其中S 为斜面面积 S 为 射影面积 为斜面与射影面所成的二面角 空间中的距离是立体几何的重要内容 其内容主要包括 点点距 点线距 点面距 线线距 线面距 面面距 其中重点是点点距 点线距 点面距以及两异面直线间的距 离 因此 掌握点 线 面之间距离的概念 理解距离的垂直性和最近性 理解距离都指 相应线段的长度 懂得几种距离之间的转化关系 所有这些都是十分重要的 求距离的重点 在点到平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离 一 个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 求法 一找二证三求 1 三步都必须要清楚地写出来 等体积法 2 金题热身金题热身 1111 年高考试题及解析年高考试题及解析 1 陕西文 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A B C D 2 8 3 8 3 82 2 3 解析 由三视图可知该几何体为立方体与圆锥 立方体 棱长为 2 圆锥底面半径为 1 高为 2 所以体积为 32 1 212 3 2 8 3 故选 A 8 2 四川文 6 1 l 2 l 3 l是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 1223 ll ll 1 l 2 l B 12 ll 1 l 3 l 13 ll C 1 l 2 l 3 l 1 l 2 l 3 l共面 D 1 l 2 l 3 l共点 1 l 2 l 3 l共面 解析 若则有三种位置关系 可能平行 相交或异面 故 A 不对 虽然 1223 ll ll 13 l l 123 lll 或共点 但是可能共面 也可能不共面 故 C D 也不正确 答案 B 123 l l l 123 l l l 3 浙江文 4 若直线 不平行于平面 且 则lala A 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线alal C 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交alal 解析 直线 不平行于平面 所以 与相交 故选 B lala la 4 全国文 15 已知正方体中 E 为的中点 则异面直线 AE 与 1111 ABCDABC D 11 C D BC 所成的角的余弦值为 解析 取的中点 为所求角 设棱长为 2 则 11 ABFAEF 3 5 2AEAFEF 222 2 cos 23 AEEFAF AEF AEEF 5 全国文 8 已知直二面角 点为垂足 l AACl C 为垂足 若则到平面的距离 BBDl D 2 1 ABACBD DABC 等于 A B C D 2 3 3 3 6 3 1 解析 如图 作于 由为直二面角 DEBC El ACl 得平面 进而 又 于是平面 AC ACDE BCDE BCACC DE ABC 故为到平面的距离 在中 利用等面积法得DEDABCRt BCD 126 33 BDDC DE BC l A B CD E 9 6 福建文 15 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点 E 为AD的中点 点 F 在CD上 若 EF 平面 AB1C 则线段EF的长度等于 解析 由于在正方体中 AB 2 所以 AC 又 E 为 AD 中点 EF 1111 ABCDABC D 2 2 平面 AB1C EF平面 ADC 平面 ADC平面 AB1C AC 所以 EF AC 所以 F 为 DC 中点 所以 EF 1 2 AC2 7 广东文 9 9 如图 如图 1 31 3 某几何体的正视图 主视图 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别为等边三角形 侧视图 左视图 和俯视图分别为等边三角形 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 A A B B C C D D 2 2 解析解析 C C 由题得该几何体是如图所示的四棱锥由题得该几何体是如图所示的四棱锥 P ABCDP ABCD 2 2 2132 331233AOhPO 棱锥的高 所以选择所以选择 C C 11 232 32 3 32 V 8 山东文 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 9 浙江文 7 几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 解析 A C 与正视图不符 D 与俯视图不符 故选 B 10 课标卷文 8 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图 则相应的侧视图 10 可以为 解析 D 由主视图和府视图可知 原几何体是由后面是半个圆锥 前面是三棱锥的组合 体 所以 左视图是 D 点评 本题考查三视图 直观图及他们之间的互化 同时也考查空间想象能力和推理能力 要求有扎实的基础知识和基本技能 11 湖南文 设图 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 942 3618 9 12 2 9 18 2 解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体 其体积 3 439 3 3 2 18 322 V 答案 D 评析 本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何 体的体积计算 12 辽宁文 8 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为 32 它的三视图中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 A 4 B C 2 D 323 答案 B 解析 设正三棱柱的侧棱长和底面边长为 a 则由 解得 a 2 正三棱柱 2 3 2 3 4 aa A B C D 第 8 题图 11 的左视图与底面一边垂直的截面大小相同 故该矩形的面积是 3 2 22 3 2 13 北京文 5 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B 16 C 48 D 16 21632 2 答案 B 解析 由三视图可知几何体为底面边长为 4 高为 2 的 正四棱锥 则四棱锥的斜高为 表面积2 2 故选 B 2 1 4 2 24416 16 2 2 14 天津文 1010 一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示 单位单位 m m 则该几何体的体积为则该几何体的体积为 3 m 解析 由三视图知 该几何体是由上 下两个长方体组合而成的 容易求得体积为 4 15 安徽文 8 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 命题意图 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底 为 4 高为 4 两底面积和为 四个侧面的面积为 1 224424 2 所以几何体的表面积为 故选 C 4 422 17248 17 488 17 解题指导 三视图还原很关键 每一个数据都要标注准确 16 江西文 9 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如右图所示 则该几何体的左视 12 图为 答案 D 解析 左视图即是从正左方看 找特殊位置的可视点 连起来就可以得到答案 17 四川文 理 15 如图 半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最大时 求球的表面积与圆柱的侧面积之差是 解析 设圆柱的底面半径是 母线为 则 rh 2 2 264hr 侧面积为 由 当且2Srh 22 222222 64 46432 2 hh Sr hhh 仅当 即 时等号成立 球的表面积为 圆柱的 2 32h 4 2h 2 2r 41664 侧面积为 故所求答案为 32 32 18 全国文 12 理 11 已知平面截一球面得圆 M 过圆心 M 且与成 二面角的 0 60 平面截该球面得圆 N 若该球的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A B c D 7 9 11 13 解 由圆的面积为得 M4 2MA 222 4212OM 在2 3OM 0 30Rt ONMOMN A中 故选 D 2 1 3 313 2 ONOM 2 r 413 N S 圆 19 课标卷文 16 已知两个圆锥有公共的底面 且两个顶点和底面都在同一个球面上 如果圆锥的底面积是球面面积的 则这两个圆锥中 体积小的和体积大的对应高的比值 16 3 是 解析 由已知得 又因为 球心到圆锥底面的距离 2222 4 3 4 16 3 RrRr 所以两圆锥的高的比为RhRh R hRhRrRh 2 3 2 2 1 0201 22 0 点评 此题考查旋转体的概念 性质及体积的计算 关键是要明确两圆锥的高于外 3 1 2 1 h h 60 B A O N M 13 接球半径的关系 20 辽宁文 10 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB 2 ASC BSC 45 则棱锥 S ABC 的体积为 A B C D 3 3 2 3 3 4 3 3 5 3 3 解析 取 SC 的中点 D 则 D 为球心 则 AD BD DS 2 因为 ASC BSC 45 所以 SDB SDA 900 即 AD SC BD SC ABD 是等边三角形 故棱锥 S ABC 的体积等于棱锥 S ABD 和棱锥 C ABD 的体积和 即 2 134 3 24 343 21 湖北文 7 设球的体积为 V1 它的内接正方体的体积为 V2 下列说法中最合适的是 A V1比 V2大约多一半B V1比 V2大约多两倍半 C V1比 V2大约多一倍D V1比 V2大约多一倍半 答案 D 解析 设球半径为 R 其内接正方体棱长为 a 则 即由 222 2aaaR 2 3 3 aR 比较可得应选 D 333 12 48 3 39 vR vaR 解答题 1 陕西文 16 本小题满分 12 分 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 沿 AD 把是 BC 上的 ABD 折起 使BC是上的高 BDC 90 证明 平面 设 BD 1 求三棱锥 D AD BBDC 平面 的表面积 ABC 解 折起前是边上的高 当折起后 ADBCAAD B AD AD 又 DCD BD B DCD AD AD平面 平面 BDC 平面AD BAD BBDC 平面 由 知 ADDB DBDC DCDA DB DA DC 1 AB BC CA 2 11 1 1 22 DAMDBCDCA SSS AAA 13 22sin60 22 ABC S A S D C B A 14 三棱锥表面积 1333 3 222 S 2 江苏 1616 本小题满分 本小题满分 1414 分 如图 在四棱锥分 如图 在四棱锥中 平面中 平面 PAD PAD 平面平面ABCDP ABCDABCD AB ADAB AD BAD 60 BAD 60 E E F F 分别是分别是 APAP ADAD 的中点的中点 求证 求证 1 1 直线 直线 EF EF 平面平面 PCDPCD 2 2 平面 平面 BEF BEF 平面平面 PADPAD 解析 简单考察空间想象能力和推理论证能力 线面平行和垂直的判定与性质 容易题 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 又直线 EF 平面 PCD EFPD A P DPCD EPCD 面面 2 F 是 AD 的中点 AB AD BAD 60 BFAD 又平面 PAD 平面 ABCD PADABCDAD 面面 BFPAD 面 所以 平面 BEF 平面 PAD 3 四川文 19 本小题共 12 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC A A1 1 延长 A1C1至点P 使 C1P A1C1 连结 AP 交棱 C C1于点 D 求证 P B1 BDA1 求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 解析 连接 AB1交 A1B 于 E 点 则 AE EB1 因为 A1C1 C1P AC 所以 故 1 ACDPC D ADDP 1 EDB P 1 ED 平面BD A 11 PB 平面BD A P B1 BDA1 由题意 过 B 作 连接 则 11 ABAC ABAAABC C 1 面AAAHAD BH 为二面角的平面角 在中 BHAD AHB 1 AADB 1 AAD 11 55 1 22 AAADAD 则 2 5 2 53 52 5 cos 5533 5 5 AH AHBHAHB BH 16 第题图 15 4 广东文 1818 如图如图 5 5 在椎体 在椎体中中 PABCD 是边长为是边长为 1 1 的棱形 且的棱形 且 ABCD 0 60DAB 2PAPD 分别是分别是的中点 的中点 1 1 证明 证明 2 PB E F BC PCADDEF 平面 2 2 求二面角 求二面角的余弦值 的余弦值 PADB 解析解析 1 ADOPO OBODBEODBEABCD 取的中点连接四边形是平行四边形 0 60 PFCFBEECOBDEEFPBDEEFEOBPBB DEFPBOPAADAOODPOADABADDAB BDABAOODADOBADPOBADDEF 平面平面 平面平面 173 2 122 422 73 4 2121 44 cos 7773 2 22 POBPADBPOOBPB POBPADB 由 得就是二面角的平面角 由余弦定理得二面角的平面角的余弦值为 5 5 山东文 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱台中 1111 ABCDABC D 平面 底面是平行四边形 1 D D ABCDABCDAB 2AD 60 证明 11 AD A BBAD 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 解析 证明 因为 所以设AB 2AD AD a 则 AB 2a 又因为60 所以在中 BAD ABD 由余弦定理得 2222 2 22cos603BDaaaaa 所以 BD 所以 故 BD AD 又因为3a 222 ADBDAB 平面 所以BD 又因为 所以平面 1 D D ABCD 1 D D 1 ADD DD BD 11 ADD A 故 1 AABD 2 连结 AC 设 ACBD 0 连结 由底面是平行四边形得 O 是 AC 的中点 由四 1 AOABCD 16 棱台知 平面 ABCD 平面 因为这两个平面同时都和平面 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 相交 交线分别为 AC 故 又因为 AB 2a BC a 11 ACAC 11 AC 11 ACACA 所以可由余弦定理计算得 AC 又因为 A1B1 2a B1C1 ABC 120 7a 3 2 a 所以可由余弦定理计算得 A1C1 所以 A1C1 OC 且 A1C1 OC 故四 111 A B C 120 7 2 a 边形 OCC1A1是平行四边形 所以 CC1 A1O 又 CC1平面 A1BD A1O平面 A1BD 所以 11 CCA BD 平面 6 全国文 20 本小题满分 12 分 如图 四棱锥中 SABCD 侧面为等边三角形 ABCDBCCD SAB2 1ABBCCDSD 同理可证 SDSBSASBS 即又 SDSAB 平面 SDSBSASBS 即又SDSAB 平面 过做平面 如图建立空间直角坐标系 DDz ABCDDxyz 2 1 0 2 1 0 AB 13 0 1 0 0 22 CS 可计算平面的一个法向量是 SBC 0 3 2 n AB 0 2 0 所以与平面所成角为 2 321 cos 7 2 7 AB n AB n AB n A ABSBC 21 arccos 7 7 浙江文 20 本题满分 14 分 如图 在三棱锥中 为的PABC ABAC DBC 中点 平面 垂足落在线段上 POABCOAD z y x 17 证明 已知 APBC8BC 求二面角的大小 4PO 3AO 2OD BAPC 解析 ABAC DBCADBC 为中点 POABC 平面BCPA 在平面内作得平面 所以PAB BMAPM 于连结C M P BCA P ABMC P AC M BMCBAPC 则为二面角的平面角 在中 得Rt ADBA 222 41ABADBD 41AB 在中 Rt PODA 222 PDPOOD 在中 Rt PDBA 222 PBPDBD 所以得 在中 2222 36PBPOODBD 6PB Rt POAA 得 222 25PAAOOP 5PA 又从而故 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 2 2 sin 3 BPA sin4 2BMPBBPA 同理 因为所以即二面角的大4 2CM 222 BMCMBC 90BMC BAPC 小为90 8 课标卷文 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 1 60DABABCDPDADAB底面 2 证明 BDPA 2 设求棱 D PBC 锥的高 1 ADPD 分析 利用垂直的判定与性质证明并计算 解 1 证明 在三角形 ABD 中 因为 ADABBAD2 60 该三角形为直角三角形 所以 DADPDBDPDPADPDADBD 且平面 E a 2a B DC A p 18 PABDPADPDPADBD 平面平面 2 如图 作 EPBDE垂足为 ADBDBCPDABCDPD 又平面 又 PBCDEDEBCPBCBCBDBCADBC平面平面 由题设知而 即所求高为231 PBBDPD 2 3 DEBDPDPBDE 2 3 DE 点评 该题考查空间的垂直与平行关系的证明 要有一定的空间想象能力 推理论证能力 9 湖南文 19 本题满分 12 分 如图 3 在圆锥PO中 已知2 POO A的直径 A 2 ABCABDAC 点在上 且C AB 30为的中点 I 证明 ACPOD 平面 II 求直线和平面PAC所成角的正弦值 解析 I 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又 POO ACOACOD AA底面底面所以PO是平面POD内的两条相交直 线 所以 ACPOD 平面 II 由 I 知 ACPOD 平面又 ACPAC 平面所以 平面 PODPAC 平面在平面POD中 过O作 OHPD 于H 则 OHPAC 平面连结CH 则CH是 OCPAC在平面上的射影 所以OCH 是直线OC和平面 PAC所成的角 在 22 1 2 2 2 31 2 4 PO OD Rt PODOH POOD A A中 在 2 sin 3 OH Rt OHCOCH OC A中 19 10 湖北文 18 如图 已知正三棱柱的底面边长为 2 侧 111 ABCABC 棱长为 点 E 在侧棱上 点 F 在侧棱上 且 3 2 1 AA 1 BB2 2 2AEBE 求证 求二面角的大小 1 CFC 1 EECFC 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法 同时考查空 间想象能力和推理论证能力 解析 1 由已知可得 22 11 3 2 2 2 2 2 3 CCCEC F 于是有 32222 1 2 2 6 EFABAEBFEFC E 所以又所以 222222 1111 EFC EC FCEC ECC 11 C EFE C ECE EFCEE 平面 CEF 由CEF 故 CF 1 C E CF 1 C E 2 在 CEF 中 由 1 可得于是有所以6 2 3EFCFCE 222 EFCFCE CF EF 又由 1 知 且 所以 CF 平面 C1EF 又平面 C1EF 故 1 CFC E 1 EFC EE 1 C F CF C1F 于是 EFC1即为二面角 E CF C1的平面角 由 1 知 CEF 是等腰直角三角形 所 以 EFC1 450 即所求二面角 E CF C1的大小为 450 11 福建文 20 本小题满分 12 分 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点 E 在线段AD上 且CE AB 求证 CE 平面PAD 11 若 PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四棱锥P ABCD的体积2 解析 1 证明 因为 PA 平面 ABCD CE平面 ABCD 所以 PA CE 因为 AB AD CE AB 所以 CE AD 又 PAAD A 所以 CE 平面PAD 2 解 由 1 可知 CE AD 在直角三角形 ECD 中 DE CD CE CD cos451 sin451 又因为 AB CE 1 AB CE 所以四边形 ABCE 为矩形 所以 又 PA 平面 ABCD PA 1 ABCDABCEBCD SSS 1 2 AB AECE DE 15 1 21 1 22 所以四棱锥P ABCD的体积等于 1155 1 3326 ABCD SPA 命题立意 本题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 几何体的体积等基础知 识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化 20 思想 12 辽宁文 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为正方形 QA 平面 ABCD PD QA QA AB PD 1 2 I 证明 PQ 平面 DCQ II 求棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值 解析 I 由条件知 PDAQ 是直角梯形 因为 AQ 平面 ABCD 所以平面 PDAQ 平面 ABCD 交线是 AD 又四边形 ABCD 是正方形 DC AD 所以 DC 平面 PDAQ 可得 PQ DC 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ PD 则 PQ QD 所以 PQ 平面 PCQ 2 2 II 设 AB a 由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高 所以棱锥 Q ABCD 的体积 3 1 1 3 Va 由 I 知 PQ 为棱锥 P QCD 的高 而 PQ a DCQ 的面积为a2 2 2 2 所以棱锥 P DCQ 的体积 故棱锥 Q ABCD 的体积和棱锥 P DCQ 的体积的比值为 1 3 1 1 3 Va 13 北京文 17 本小题共 14 分 如图 在四面体中 PABC 点分别是棱的中点 PCAB PABC D E F G AP AC BC PB 求证 平面 求证 四边形为矩形 DE BCPDEFG 是否存在点 到四面体六条棱的中点的距离相等 QPABC 说明理由 解析 证明 因为 D E 分别为 AP AC 的中点 所以 DE PC 又因为 DE平面 BCP 所以 DE 平面 BCP 因为 D E F G 分别为 AP AC BC PB 的中点 所以 DE PC FG DG AB EF 所以四边形 DEFG 为平行四边形 21 又因为 PC AB 所以 DE DG 所以四边形 DEFG 为矩形 存在点 Q 满足条件 理由如下 连接 DF EG 设 Q 为 EG 的中点 由 知 DF EG Q 且 QD QE QF QG EG 分别取 PC AB 的中点 M N 连接 2 1 ME EN NG MG MN 与 同理 可证四边形 MENG 为矩形 其对角线点为 EG 的中点 Q 且 QM QN EG 所 2 1 以 Q 为满足条件的点 14 天津文 1717 本小题满分 本小题满分 1313 分 如图分 如图 在四棱锥在四棱锥 P ABCDP ABCD 中中 底面底面 ABCDABCD 为平行四边为平行四边 形形 AD AC 1 O AD AC 1 O 为为 ACAC 的中点的中点 PO PO 平面平面 ABCD PO 2 ABCD PO 2 为为 PDPD 的中点的中点 证证45ADC M 明明 PB PB 平面平面 证明证明 AD AD 平面平面 PAC PAC 求直线求直线与平面与平面 ABCDABCD 所成角的正切值所成角的正切值 ACMAM 解析 证明 连接 BD MO 在平行四边形 ABCD 中 因为 O 为 AC 的中点 所以 O 为 BD 的 中点 又 M 为 PD 的中点 所以 PB MO 因为 PB平面 平 ACMMO 面 所以 PB 平面 ACMACM 证明 因为 AD AC 1 所以 AD AC 又 PO 平面45ADC ABCD AD平面 ABCD 所以 PO AD 而 ACPOO 所以 AD 平面 PAC 取 DO 点 N 连接 MN AN 因为 M 为 PD 的中点 所以 MN PO 且 MN PO 1 由 PO 平面 ABCD 得 1 2 MN 平面 ABCD 所以是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角 在中 AD 1 AO 所MAN Rt DAO 1 2 以 从而 在中 5 4 DO 15 24 ANDO Rt ANM 1 tan 5 4 MN MAN AN 即直线与平面 ABCD 所成角的正切值为 4 5 5 AM 4 5 5 命题意图命题意图 本小题主要考查直线与平面平行 直线与平面垂直 直线与平面所成的角等 基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 15 安徽文 19 本小题满分 13 分 如图 为多面体 平面ABCDEFG 与平面垂直 点在线段上 ABEDAGFDOAD 都是正三角形 1 2 OAOD OABVOACODEODF 22 证明直线 II 求棱锥 F OBED 的体积 BCEF 命题意图 本题考察空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 空间 直线平行的证明 多面体体积的计算 考察空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证法一 同理可证AOBODE Q OBDE OCDF OBCDEF 面面 BCDEF 面EFDEFBEFC 面面QI BCEF 证法二 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 AOBODE Q 同理设是线段 DA 与 FC 延长线的交点 有OB DE OGOD G 又 G 与都在线段 DA 的延长线上 所以 G 与重合 又 OGOD G GOB 和 可知 B 和 C 分别是线段 GE 和 GF 的中点 DE OCDF BCEF 证法三 向量法 略 2 解析 由 OB 1 OE 2 得 而EOB sin EOB S V 是边长为 2 的正三角形 故 所以过点 F 作OEDV OBEDOBEOED SSS VV FQ DG 交 DG 于 Q 点 由于平面 ABED 平面 ACFD 所以 FQ 平面 ABED 所以 FQ 就是棱锥 F OBED 的高 且 FQ 所以 F OBEDOBED VSFQ 解题指导 空间线线 线面 面面位置关系的证明方法 一是要从其上位或下位证明 本题的第一问方法一 是从其上位先证明面面平行 再借助面面平行的性质得到线面平行 再借助线面平行的性质得到线线平行 二是借助中位线定理等直接得到 三是借助空间向 量直接证明 求不规则的几何体体积或表面积 通常采用分割或补齐成规则几何体即可 求解过程要坚持 一找二证三求 的顺序和原则防止出错 16 江西文 18 如图 在 2 2 ABCBABBCPAB 中 为边上一动点 PD BC 交 AC 于 点 D 现将 PDAPDPDA 沿翻折至 23 PDAPBCD 使平面平面 1 当棱锥的体积最大时 求 PA 的长 APBCD 2 若点 P 为 AB 的中点 E 为 ACBDE 的中点 求证 A 解析 1 设 则xPA 2 3 1 3 1 2 x x xSPAV PDCBPBCDA 令 则 0 63 2 2 2 3 1 32 x xxx xxf 23 2 2 x xf x 3 32 0 3 32 3 32 x f 0 xf 单调递增极大值单调递减 由上表易知 当时 有取最大值 3 32 xPA PBCDA V 2 证明 作得中点 F 连接 EF FP 由已知得 B A FPEDPDBCEF 2 1 为等腰直角三角形 所以 PB A PFBA DEBA 17 重庆文 20 本小题满分 12 分 小问 6 分 小 问 6 分 如题 20 图 在四面体ABCD中 平面 ABC 平面 ACD 求四面体 ABCD 2 1ABBC ACADBCCD 的体积 求二面角 C AB D 的平面角的正切值 解法一 I 如答 20 图 1 过 D 作 DF AC 垂足为 F 故由平面 ABC 平面 ACD 知 DF 平面 ABC 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高 设 G 为边 CD 的中点 则由 AC AD 知 AG CD 从而 2222 115 2 22 1115 224 AGACCG AG CD AC DFCD AGDF AC 由得 24 由 22 13 3 22 ABC Rt ABCABACBCSAB BC 中 故四面体