安徽省2013年高考数学第二轮复习 第3讲 解答题题型特点与技法指导 文

1 第第 3 3 讲讲 解答题题型特点与技法指导解答题题型特点与技法指导 高考解答题一般有六大方向 三角函数与平面向量 概率与统计 立体几何 数列与不 等式 解析几何 不等式与函数及导数 一般来说 前三题属于中 低档题 第四题属中档 偏难题 后两题属难题 三角函数与平面向量 概率与统计 立体几何在前三题中出现的概 率较高 掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键 目前的高考解答题已经由单纯的 知识综合型转化为知识 方法和能力的综合型解答题 能否做好解答题 是高考成败的关 键 1 三角函数 有关三角函数的大题即解答题 主要是考查基础知识 基本技能和基本方法 且难度不 大 凸显恒等变换与三角函数图象 性质在三角形内考查 主要考查以下 4 个方面 三角 函数的图象 性质 图象变换 主要是y Asin x b的图象 性质及图象变换 考 查三角函数的概念 奇偶性 周期性 单调性 最值及图象的平移和对称等 三角恒等变 换 主要考查公式的灵活运用 变换能力 一般需要运用和差角公式 倍角公式 尤其是对 公式的应用与三角函数性质的综合考查 三角函数性质的应用 通过解三角形来考查三角 恒等变形及应用三角函数性质的综合能力 三角函数与平面向量 数列 不等式等知识的 综合问题 例 1 已知向量a a cos x sin x sin x b b cos x sin x 2cos x 设函数f x a a b b x R R 的图象关于直线x 对称 其中 3 为常数 且 1 2 1 1 求函数f x 的最小正周期 2 若y f x 的图象经过点 求函数f x 在区间上的取值范围 4 0 0 3 5 点评点评 利用向量的工具作用 与向量结合在一起命制综合题 体现了在知识交汇点处命 题的指导思想 这类问题求解时 首先利用向量的运算 将向量式转化为代数式 再进行有 关的三角恒等变换 再研究三角函数的图象与性质 变式训练变式训练 1 1 2012 安徽高考 理 16 设函数f x cos sin2x 2 2 2x 4 1 求f x 的最小正周期 2 设函数g x 对任意x R R 有g g x 且当x 时 g x x 2 0 2 f x 求g x 在区间 0 上的解析式 1 2 2 立体几何 立体几何是高中数学的主干知识之一 命题形式比较稳定 主要考查 1 三视图 解 答题中一般是根据三视图还原几何体模型 然后展开推理 2 空间线面关系的判定和推理证明 证明 主要是证明平行和垂直 求解这类问题要依据线 面关系的判定定理和性质定理进行推理论证 3 空间几何量 空间角 空间距离 几何体体积与面积 的计算 求解这类问题 常用 方法是依据公理 定理以及性质等经过推理论证 作出所求几何量并求之 一般解题步骤是 作 证 求 例 2 2012 安徽八校一联考 18 如图 在多面体ABDEC中 AE 平面 ABC BD AE 且AC AB BC AE 1 BD 2 F为CD的中点 2 1 求证 EF 平面ABC 2 求证 EF 平面BCD 3 求多面体ABDEC的体积 点评点评 本题第 1 问是证明线面平行问题 证明直线与平面平行 往往通过证直线与直线 平行来实现 第 2 问是证线面垂直问题 往往转化为证线线垂直来实现 第 1 2 问充分 体现了问题的转化思想 第 3 问是几何体的体积计算问题 需要把握锥体的体积计算公 式 变式训练变式训练 2 2 2012 广东高考 文 18 如图所示 在四棱锥P ABCD中 AB 平面 PAD AB CD PD AD E是PB的中点 F是DC上的点且DF AB PH为 PAD中AD边上的 1 2 高 1 证明 证明 PH 平面ABCD 2 若PH 1 AD FC 1 求三棱锥E BCF的体积 2 3 证明 证明 EF 平面PAB 3 概率与统计 概率解答题为每年高考的必考内容 主要考查互斥事件和对立事件的关系 古典概型和 几何概型 要求学生能准确理解题意 迅速确定是古典概型还是几何概型 然后用概率公式 求解 对于古典概型 要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数 对 于几何概型 一定要明确其与面积 体积 长度等 的关系 对于较复杂的问题 可以借助于 图形和表格帮助分析 例 3 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学从理工类专业的 A 班和文史类专业 的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试 两个班同学的成绩 百分制 的茎叶图如图所示 按照大于或等于 80 分为优秀 80 分以下为非优秀统计成绩 1 根据以上数据完成下面的 2 2 列联表 成绩与专业列联表 优秀非优秀总计 A 班 20 B 班 20 3 总计 40 2 能否有 95 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 附 K2 n ad bc 2 a b c d a c b d P K2 k0 0 050 0 010 0 001 k03 841 6 635 10 828 点评点评 本题主要考查统计中的茎叶图独立性检验 考查分析解决问题的能力 运算求解 能力 难度适中 准确读取茎叶图中的数据是解题的关键 变式训练变式训练 3 3 2012 陕西高考 文 19 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销 售量相等 为了解它们的使用寿命 现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试 结果统计如下 甲品牌 乙品牌 1 估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率 2 这两种品牌产品中 某个产品已使用了 200 小时 试估计该产品是甲品牌的概率 4 数列与不等式 高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点 1 与等差 等比数列基本量有关的计算 可根据题意列方程 方程组 或利用等差 等 比数列的性质求解 2 与求和有关的题目 首先要求通项公式 并根据通项公式选择恰当的求和方法 如错 位相减法 裂项相消法 分组求和法等 3 含Sn的式子 要根据题目特征利用an Error 进行转化 4 与递推数列有关的问题 要能合理转化 使之构造出新的等差 等比数列 5 与数列有关的不等式问题 可根据数列的特征选择方法 如比较法 放缩法等 6 与函数有关的问题 应根据函数的性质求解 例 4 2012 四川成都二诊 20 已知数列 an 和 bn b1 1 且 bn 1 3bn 2n 2 记an bn 1 bn 1 n N N 1 证明 证明 数列 an 为等比数列 2 求数列 an 和 bn 的通项公式 3 记cn logan3 logan 23 数列 cn 的前n项和为Tn 若 45Tk 29 k N N 恒成 立 求k的最大值 点评点评 第 1 问考查了等比数列的证明 它是为第 2 3 问服务的 第 2 问考查了求 数列通项公式的常规方法 第 3 问考查了数列的求和方法 是数列与不等式知识的综合问 题 变式训练变式训练 4 4 2012 湖北八校二联 19 各项为正数的数列 an 的前n项和为Sn 且满 4 足 Sn a an n N N 1 4 2n 1 2 1 4 1 求an 2 设函数f n Error cn f 2n 4 n N N 求数列 cn 的前n项和Tn 5 解析几何 解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念 标准方程及几何性质等基础知识和处理 有关问题的基本技能 基本方法 往往以中档偏难题或以压轴题形式出现 主要考查学生的 逻辑推理能力 运算能力 考查学生综合运用数学知识解决问题的能力 突破解答题 应重 点研究直线与曲线的位置关系 要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理 注意运用 设而不求 的思想方法 灵活运用 点差法 解题 要善于运用数形结合思想分析问题 使数与形相互转化 根据具体特征选择相应方法 例 5 已知椭圆 1 点P是椭圆上异于顶点的任意一点 过点P作椭圆的切线 x2 4 y2 3 l 交y轴于点A 直线l 过点P且垂直于l 交y轴于点B 试判断以AB为直径的圆能否 经过定点 若能 求出定点坐标 若不能 请说明理由 点评点评 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点 基本方法是联立方程 利用判别 式 根与系数关系求解 运算量一般较大 这类综合题中常涉及的问题有弦长问题 面积问 题 对称问题 定点定值问题等 是历年高考的热点问题 复习时要注重通性通法的训练 变式训练变式训练 5 5 2012 山东高考 文 21 如图 椭圆M 1 a b 0 的离心率为 x2 a2 y2 b2 直线x a和y b所围成的矩形ABCD的面积为 8 3 2 1 求椭圆M的标准方程 2 设直线l y x m m R R 与椭圆M有两个不同的交点P Q l与矩形ABCD有两个不 同的交点S T 求的最大值及取得最大值时m的值 PQ ST 6 函数与导数 以函数为载体 以导数为工具 以考查函数性质及导数的应用为目标 以导数为工具围 绕函数 不等式 方程等综合考查 在知识的交汇处命题 涉及到具体内容较多 如给定解 析式求参数值 给定条件求参数范围 以及对参数讨论与证明不等式问题 极值 最值 值 域及分析图象交点等问题 都以导数为工具 既考查函数部分的相关知识 又渗透函数与方 程 数形结合 化归与转化 分类与整合等数学思想 例 6 2012 山东青岛一模 21 已知函数f x x3 x 1 3 1 若不等式f x k 2 005 对于x 2 3 恒成立 求最小的正整数k 2 令函数g x f x ax2 x a 2 求曲线y g x 在 1 g 1 处的切线与两坐标 1 2 轴围成的三角形面积的最小值 点评点评 第 1 问是恒成立求参数范围问题 常用分离参数求最值 第 2 问考查了利用导 数的几何意义求切线方程 利用导数求最值问题 变式训练变式训练 6 6 2012 广西南宁一模 21 已知函数f x ax3 bx2 cx d是定义在 R R 上 的奇函数 其图象过点和 2 2 1 1 2 1 求出函数 f x 的解析式 并求 f x 的单调区间 2 设g x f x 5t 当实数t取何值时 关于x的方程g x 0 有且只有一个实数 根 参考答案参考答案 5 方法例析方法例析 例 1 解 解 1 因为f x sin2 x cos2 x 2sin x cos x 3 cos 2 x sin 2 x 2sin 3 2 x 6 由直线x 是y f x 图象的一条对称轴 可得 sin 1 2 6 所以 2 k k Z Z 6 2 即 k Z Z k 2 1 3 又 k Z Z 1 2 1 所以k 1 故 5 6 所以f x 的最小正周期是 6 5 2 由y f x 的图象过点 得f 0 4 0 4 即 2sin 2sin 2 5 6 4 6 42 即 2 故f x 2sin 5 3x 6 2 由 0 x 有 x 3 5 6 5 3 6 5 6 所以 sin 1 1 2 5 3x 6 得 1 2sin 2 2 5 3x 6 22 故函数f x 在上的取值范围为 1 2 0 3 5 22 变式训练 1 解 解 1 f x cos sin2x 2 2 2x 4 2 2 cos 2xcos 4 sin 2xsin 4 1 cos 2x 2 sin 2x 1 2 1 2 故f x 的最小正周期为 2 当x 时 g x f x sin 2x 故 0 2 1 2 1 2 当x 时 x 2 0 2 0 2 由于对任意x R R g g x 从而g x x 2 g sin sin 2x sin 2x x 2 1 2 2 x 2 1 2 1 2 当x 时 x 2 0 2 6 从而g x g x sin 2 x sin 2x 1 2 1 2 综合 得g x 在 0 上的解析式为 g x Error 例 2 1 证明 证明 取BC的中点G 连接AG FG F G分别为DC BC的中点 FGDBEA 1 2 四边形EFGA为平行四边形 EF AG 又因为EF 平面ABC AG平面ABC EF 平面ABC 2 证明 证明 因为AE 面ABC BD AE DB 平面ABC 又 DB平面BCD 平面ABC 平面BCD 又 G为BC的中点且AC AB BC AG BC AG 平面BCD 又 EF AG EF 平面BCD 3 解 解 过C作CH AB 则CH 平面ABDE且CH 3 2 VC ABDE S四边形ABDE CH 1 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 4 变式训练 2 1 证明 证明 AB 平面PAD PH面PADPH AB 又PH AD AD AB平面ABCD AD AB APH 平面ABCD 2 解 解 E是PB中点点E到面BCF的距离h PH 1 2 1 2 三棱锥E BCF的体积V S BCF h FC AD h 1 1 3 1 3 1 2 1 62 1 2 2 12 3 证明 证明 取PA的中点为G 连接DG EG PD ADDG PA 又AB 平面PAD AB平面PAB平面PAD 平面PAB 又平面PAD 平面PAB PA DG平面PADDG 面PAB 点E G是棱PB PA的中点EGAB 1 2 7 又DFABEGDFDG EF 得EF 平面PAB 1 2 例 3 解 解 1 成绩与专业列联表 优秀非优秀总计 A 班 14620 B 班 71320 总计 211940 2 根据列联表中的数据 得到 k 4 912 3 841 40 14 13 6 7 2 21 19 20 20 所以有 95 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 变式训练 3 解 解 1 甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为 用频率估计 5 20 100 1 4 概率 所以 甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率为 1 4 2 根据抽样结果 寿命大于 200 小时的产品有 75 70 145 个 其中甲品牌产品是 75 个 所以在样本中 寿命大于 200 小时的产品是甲品牌的频率是 用频率估计概率 所以已使用了 200 小时的该产品是甲品牌的概率为 75 145 15 29 15 29 例 4 1 证明 证明 bn 1 3bn 2n 2 bn 3bn 1 2 n 1 2 n 2 n N N 两式相减 得bn 1 bn 3bn 3bn 1 2 n 2 n N N 整理 得bn 1 bn 1 3 bn bn 1 1 n 2 n N N 即an 3an 1 n 2 n N N 数列 an 是公比为 3 的等比数列 2 解 解 b2 3 a1 3 1 1 3 an 3n n N N an bn 1 bn 1 3n bn bn 1 1 3n 1 bn 1 bn 2 1 3n 2 b2 b1 1 31 累加 得bn b1 n 1 1 1 3n 1 3 bn n n N N 3n 2 1 2 3 解 解 cn log3n3 log3n 23 1 n n 2 1 2 1 n 1 n 2 Tn 1 2 1 1 2 1 n 1 1 n 2 3 4 1 2 1 n 1 1 n 2 由 45Tk 29 得 135 90 116 1 k 1 1 k 2 1 k 1 1 k 2 19 90 1 9 1 10 k 8 又k N N k的最大值为 7 变式训练 4 解 解 1 由Sn a an 1 4 2n 1 2 1 4 得 当n 2 时 Sn 1 a an 1 1 42n 1 1 2 1 4 化简得 an an 1 an an 1 2 0 又 数列 an 的各项为正数 当n 2 时 an an 1 2 8 故数列 an 为等差数列 且公差为 2 又a1 S1 a a1 解得a1 1 1 4 2 1 1 2 1 4 an 2n 1 2 由分段函数f n Error 可以得到 c1 f 6 f 3 a3 5 c2 f 8 f 4 f 2 f 1 a1 1 当n 3 n N N 时 cn f 2n 4 f 2n 1 2 f 2n 2 1 2 2n 2 1 1 2n 1 1 故当n 3 时 Tn 5 1 22 1 23 1 2n 1 1 6 n 2 2n n 4 1 2n 2 1 2 n 1 时 T1 5 不满足Tn 2n n n 2 时 T2 c1 c2 6 满足Tn 2n n 故Tn Error 例 5 解 解 设点P x0 y0 x0 0 y0 0 直线l的方程为y y0 k x x0 代入 1 x2 4 y2 3 整理得 3 4k2 x2 8k y0 kx0 x 4 y0 kx0 2 12 0 x x0是方程的两个相等实根 2x0 8k y0 kx0 3 4k2 解得k 3x0 4y0 直线l的方程为y y0 x x0 令x 0 得点A的坐标为 3x0 4y0 0 4y2 0 3x2 0 4y0 又 1 4y 3x 12 x2 0 4 y2 0 32 02 0 点A的坐标为 0 3 y0 又直线l 的方程为y y0 x x0 令x 0 得点B的坐标为 4y0 3x0 0 y0 3 以AB为直径的圆方程为x x 0 y 3 y0 y y0 3 整理得x2 y2 y 1 0 由Error 得Error y0 3 3 y0 以AB为直径的圆恒过定点 1 0 和 1 0 变式训练 5 解 解 1 设椭圆M的半焦距为c 由题意知Error 所以a 2 b 1 因此椭圆M的方程为 y2 1 x2 4 2 由Error 整理得 5x2 8mx 4m2 4 0 由 64m2 80 m2 1 80 16m2 0 9 得 m 55 设P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 x1x2 8m 5 4 m2 1 5 所以 PQ x1 x2 2 y1 y2 22 x1 x2 2 4x1x2 m 4 5 2 5 m2 55 线段CD的方程为y 1 2 x 2 线段AD的方程为x 2 1 y 1 不妨设点S在AD边上 T在CD边上 可知 1 m S 2 m 2 D 2 1 5 所以 ST SD 1 m 2 3 m 222 因此 PQ ST 4 5 5 m2 3 m 2 令t 3 m 1 m 5 则m 3 t t 3 2 5 所以 PQ ST 4 5 5 3 t 2 t2 4 5 4 t2 6 t 1 4 5 4 1 t 3 4 2 5 4 由于t 3 2 5 所以 1 t 1 2 3 5 4 因此当 即t 时 取得最大值 此时m 1 t 3 4 4 3 PQ ST 2 5 5 5 3 不妨设点S在AB边上 T在CD边上 此时 1 m 1 因此 ST AD 2 此时 22 PQ ST 2 5 5 m2 所以当m 0 时 取得最大值 PQ ST 2 5 5 不妨设点S在AB边上 T在BC边上 m 1 5 由椭圆和矩形的对称性知的最大值为 此时m PQ ST 2 5 5 5 3 综上所述 m 或m 0 时 取得最大值 5 3 PQ ST 2 5 5 例 6 解 解 1 f x x3 x 1 3 令f x x2 1 0 解得x 1 当