第21练-关于平面向量数量积运算的三类经典题型

1 第第 21 练练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型关于平面向量数量积运算的三类经典题型 题型分析 高考展望 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算 应用十分广泛 对向量本身 通过数量积运算可以解决位置关系的判定 夹角 模等问题 另外还可以解 决平面几何 立体几何中许多有关问题 因此是高考必考内容 题型有选择题 填空题 也在解答题中出现 常与其他知识结合 进行综合考查 体验高考体验高考 1 2015 山东 已知菱形 ABCD 的边长为 a ABC 60 则 等于 BD CD A a2 B a2 C a2 D a2 3 2 3 4 3 4 3 2 答案 D 解析 如图所示 由题意 得 BC a CD a BCD 120 BD2 BC2 CD2 2BC CD cos 120 a2 a2 2a a 3a2 1 2 BD a 3 cos 30 a2 a2 BD CD BD CD 3 3 2 3 2 2 2015 重庆 若非零向量 a b 满足 a b 且 a b 3a 2b 则 a 与 b 的夹角为 2 2 3 A B C D 4 2 3 4 答案 A 解析 由 a b 3a 2b 得 a b 3a 2b 0 即 3a2 a b 2b2 0 又 a b 设 2 2 3 a b 即 3 a 2 a b cos 2 b 2 0 2 b 2 b 2 cos 2 b 2 0 8 3 2 2 3 cos 又 0 2 2 4 3 2015 陕西 对任意向量 a b 下列关系式中不恒成立的是 A a b a b B a b a b C a b 2 a b 2 D a b a b a2 b2 答案 B 解析 对于 A 由 a b a b cos a b a b 恒成立 对于 B 当 a b 均为非零向量且 方向相反时不成立 对于 C D 容易判断恒成立 故选 B 4 2016 课标全国乙 设向量 a m 1 b 1 2 且 a b 2 a 2 b 2 则 m 答案 2 解析 由 a b 2 a 2 b 2 得 a b 所以 m 1 1 2 0 得 m 2 5 2016 上海 在平面直角坐标系中 已知 A 1 0 B 0 1 P 是曲线 y 上一个 1 x2 动点 则 的取值范围是 BP BA 答案 0 1 2 解析 由题意知 y 表示以原点为圆心 半径为 1 的上半圆 设 P cos sin 1 x2 0 1 1 cos sin 1 BA BP 所以 cos sin 1 BP BA sin 1 0 1 2 42 的范围为 0 1 BP BA 2 高考必会题型高考必会题型 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1 1 2015 四川 设四边形 ABCD 为平行四边形 6 4 若点 M N 满足 AB AD 3 2 则 等于 BM MC DN NC AM NM A 20 B 15 C 9 D 6 2 2015 福建 已知 t 若点 P 是 ABC 所在平面内的一点 且 AB AC AB 1 t AC 3 则 的最大值等于 AP AB AB 4AC AC PB PC A 13 B 15 C 19 D 21 答案 1 C 2 A 解析 1 4 3 4 AM AB 3 4AD NM CM CN 1 4AD 1 3AB AM NM 1 4 AB AD 1 12 3 16 2 92 16 62 9 42 9 故选 C AB AD 1 48 AB AD 1 48 2 建立如图所示坐标系 则 B C 0 t 0 t 1 t 0 AB 1 t 0 AC t 0 t 1 4 P 1 4 1 t 4 AP AB AB 4AC AC 1 t 0 4 t PB PC 1 t 1 4 17 17 2 13 故选 A 1 t 4t 1 t 4t 点评 1 平面向量数量积的运算有两种形式 一是依据长度和夹角 二是利用坐标运算 具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 注意两向量 a b 的数量积 a b 与代数中 a b 的乘积写法不同 不应该漏掉其中的 2 向量的数量积运算需要注意的问题 a b 0 时得不到 a 0 或 b 0 根据平面向量数量 积的性质有 a 2 a2 但 a b a b 变式训练 1 在 ABC 中 AD AB 2 1 则 等于 BC 3 BD AD AC AD A 2 B C D 33 3 2 3 3 答案 A 解析 在 ABC 中 2 BC 3 BD 所以 2 AC AD AB BC AD AB 3 BD AD 又因为 BD AD AB 4 所以 1 2 2 AC AD 3 AB 3 AD AD 1 2 2 3 AB AD 3 AD AD 1 2 2 2 3 AB AD 3 AD 因为 AD AB 所以 所以 0 AD AB AD AB 所以 1 2 0 2 1 2 故选 A AC AD 333 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 1 设 a b 为非零向量 b 2 a 两组向量 x1 x2 x3 x4和 y1 y2 y3 y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成 若 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4的所有可能取值中的最小值为 4 a 2 则 a 与 b 的夹角为 A B C D 0 2 3 3 6 2 已知向量 a b 满足 a 2 b 0 且关于 x 的函数 f x 2x3 3 a x2 6a bx 5 在 R 上 单调递减 则向量 a b 的夹角的取值范围是 A B C D 0 6 0 3 0 6 2 3 答案 1 B 2 D 解析 1 设 a 与 b 的夹角为 由于 xi yi i 1 2 3 4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成 记 S xi yi 则 S 有以下三种情况 4 i 1 S 2a2 2b2 S 4a b S a 2 2a b b 2 b 2 a 中 S 10 a 2 中 S 8 a 2cos 中 S 5 a 2 4 a 2cos 易知 最小 即 8 a 2cos 4 a 2 cos 1 2 又 0 故选 B 3 2 设向量 a b 的夹角为 因为 f x 2x3 3 a x2 6a bx 5 所以 f x 6x2 6 a x 6a b 又函数 f x 在 R 上单调递减 所以 f x 0 在 R 上恒成立 所以 36 a 2 4 6 6a b 0 解得 a b a 2 因为 a b a b cos 且 a 2 b 0 1 4 所以 a b cos a 2cos a 2 解得 cos 因为 0 所以向量 a b 的 1 2 1 4 1 2 5 夹角 的取值范围是 故选 D 2 3 点评 求向量的夹角时要注意 1 向量的数量积不满足结合律 2 数量积大于 0 说明不共 线的两向量的夹角为锐角 数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角 数量积小于 0 且两向 量不能共线时 两向量的夹角为钝角 变式训练 2 若非零向量 a b 满足 a b 2a b b 0 则 a 与 b 的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 答案 C 解析 设 a 与 b 的夹角为 由题意得 a b 2a b b 0 可得 2a b b2 2 a b cos b2 2 a a cos a 2 0 解 得 cos 因为 0 180 所以 120 故选 C 1 2 题型三 利用数量积求向量的模 例 3 1 已知向量 a b 的夹角为 45 且 a 1 2a b 则 b 10 2 已知直角梯形 ABCD 中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 点 P 是腰 DC 上的 动点 则 3 的最小值为 PA PB 答案 1 3 2 5 2 解析 1 由 2a b 则 2a b 2 10 及 4a2 4a b b2 10 又向量 a b 的夹角为 10 45 且 a 1 所以 4 1 4 1 b cos b 2 10 即 b 2 2 b 6 0 解得 b 3 422 2 方法一 以点 D 为原点 分别以 DA DC 所在直线为 x y 轴 建立如图所示的平面直 角坐标系 设 DC a DP x D 0 0 A 2 0 C 0 a B 1 a P 0 x 2 x 1 a x PA PB 3 5 3a 4x PA PB 3 2 25 3a 4x 2 25 PA PB 3 的最小值为 5 PA PB 方法二 设 x 0 x 1 DP DC 1 x x PC DC PA DA DP DA DC 6 1 x PB PC CB DC 1 2DA 3 3 4x PA PB 5 2DA DC 3 2 2 2 3 4x 3 4x 2 25 3 4x 2 2 25 PA PB 25 4 DA 5 2 DA DC DC2 DC 3 的最小值为 5 PA PB 点评 1 把几何图形放在适当的坐标系中 给有关向量赋以具体的坐标求向量的模 如向 量 a x y 求向量 a 的模只需利用公式 a 即可求解 x2 y2 2 向量不放在坐标系中研究 求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或 应用向量的数量积公式 关键是会把向量 a 的模进行如下转化 a a2 变式训练 3 已知向量 a b c 满足 a 4 b 2 a 与 b 的夹角为 c a c a 2 4 1 则 c a 的最大值为 A B 1 C D 1 2 1 2 2 2 2 1 22 答案 D 解析 在平面直角坐标系中 取 B 2 0 A 2 2 则 a b 设 222 OA OB c x y OC 则 c a c b x 2 y 2 x 2 y x 2 2 y y 2 1 即 x 2 222222 2 y 2 1 所以点 C x y 在以 D 2 为圆心 1 为半径的圆上 c a 222 x 2 2 2 y 2 2 2 最大值为 AD 1 1 故选 D 2 高考题型精练高考题型精练 1 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都为 1 点 E F 分别是 AB AD 的中点 则 等于 EF DC A B C D 1 4 3 4 3 4 1 4 答案 D 解析 由题四边形 ABCD 的边和对角线的长都为 1 点 E F 分别是 AB AD 的中点 则 EF 平行于 BD 则 1 1 cos 120 EF DC 1 2BD DC 1 2 1 4 7 2 2016 课标全国丙 已知向量 则 ABC 等于 BA 1 2 3 2 BC 3 2 1 2 A 30 B 45 C 60 D 120 答案 A 解析 1 1 BA BC cos ABC BA BC BA BC 3 2 又 0 ABC 180 ABC 30 3 2015 湖南 已知点 A B C 在圆 x2 y2 1 上运动 且 AB BC 若点 P 的坐标为 2 0 则 的最大值为 PA PB PC A 6 B 7 C 8 D 9 答案 B 解析 由 A B C 在圆 x2 y2 1 上 且 AB BC AC 为圆的直径 故 2 4 0 PA PC PO 设 B x y 则 x2 y2 1 且 x 1 1 x 2 y PB 所以 x 6 y PA PB PC 故 1 x 1 PA PB PC 12x 37 当 x 1 时有最大值 7 故选 B 49 4 已知三点 A 1 1 B 3 1 C 1 4 则向量在向量方向上的投影为 BC BA A B C D 5 5 5 5 2 13 13 2 13 13 答案 A 解析 2 3 4 2 向量在向量方向上的投影为 BC BA BC BA BC BA BA 故选 A 2 4 3 2 4 2 2 2 5 5 8 5 2015 安徽 ABC 是边长为 2 的等边三角形 已知向量 a b 满足 2a 2a b AB AC 则下列结论正确的是 A b 1 B a b C a b 1 D 4a b BC 答案 D 解析 在 ABC 中 由 2a b 2a b 得 b 2 BC AC AB 又 a 1 所以 a b a b cos 120 1 所以 4a b 4a b b 4a b b 2 4 1 4 0 BC 所以 4a b 故选 D BC 6 已知 i j 为互相垂直的单位向量 a i 2j b i j 且 a b 的夹角为锐角 则实数 的取值范围是 A B 1 2 1 2 C 2 D 2 2 2 3 2 3 1 2 答案 D 解析 a b 的夹角为锐角 a b 1 1 2 0 且 1 2 1 0 2 2 故选 D 1 2 7 已知向量 a b 其中 a b 2 且 a b a 则向量 a 和 b 的夹角是 3 答案 5 6 解析 a b a a b a a2 a b 3 2cos a b 0 3 cos a b 又 0 a b 3 2 a 和 b 的夹角为 5 6 8 2016 浙江 已知向量 a b a 1 b 2 若对任意单位向量 e 均有 a e b e 则 6 a b 的最大值是 答案 1 2 解析 由已知可得 9 a e b e a e b e a b e 6 由于上式对任意单位向量 e 都成立 a b 成立 6 6 a b 2 a2 b2 2a b 12 22 2a b 即 6 5 2a b a b 1 2 9 如图 在 ABC 中 点 O 为 BC 的中点 若 AB 1 AC 3 60 则 AB AC OA 答案 13 2 解析 因为 60 AB AC 所以 cos 60 1 3 AB AC AB AC 1 2 3 2 又 AO 1 2 AB AC 所以 2 2 AO 1 4 AB AC 2 2 2 1 4 AB AB AC AC 即 2 1 3 9 所以 AO 1 4 13 4 OA 13 2 10 已知点 O 是锐角 ABC 的外心 AB 8 AC 12 A 若 x y 则 3 AO AB AC 6x 9y 答案 5 解析 如图 设点 O 在 AB AC 上的射影分别是点 D E 它们分别为 AB AC 的中点 连接 OD OE 由数量积的几何意义 可得 32 72 AB AO AB AD AC AO AC AE 依题意有 x 2 y 64x 48y 32 即 AB AO AB AC AB 4x 3y 2 x y 2 48x 144y 72 即 2x 6y 3 将两式相加可得 AC AO AB AC AC 6x 9y 5 10 11 设 a 1 1 b x 3 c 5 y d 8 6 且 b d 4a d c 1 求 b 和 c 2 求 c 在 a 方向上的投