2011年高考一轮数学复习 X2-1数学归纳法及其应用 理 同步练习（名师解析）

用心 爱心 专心 选修选修 第第 2 2 章章 第第 1 1 节节 知能训练知能训练 提升提升 考点一 用数学归纳法证明等式 1 用数学归纳法证明 1 2 22 2n 1 2n 1 n N N 的过程中 第二步假 设n k时等式成立 则当n k 1 时应得到 A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1 B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1 C 1 2 22 2k 1 2k 1 1 2k 1 1 D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 解析 当n k时 等式为 1 2 22 2k 1 2k 1 那么当n k 1 时 左边 1 2 22 2k 1 2k 因此只需在归纳假设两端同时添加 2k 即 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 答案 D 2 设f x 1 x N N 求证 n f 1 f 2 f n 1 nf n 1 2 1 3 1 x n N N 且n 2 证明 1 n 2 时 左边 2 f 1 2 1 3 右边 2 f 2 2 1 3 1 2 等式成立 2 假设n k时等式成立 即k f 1 f 2 f k 1 kf k 那么当n k 1 时 左边 k 1 f 1 f 2 f k 1 f k kf k 1 f k k 1 f k 1 k 1 f k 1 1 k 1 1 k 1 k 1 f k 1 1 1 k 1 f k 1 即n k 1 时 等式亦成立 由 1 2 知对于n N N 且n 2 等式成立 考点二 用数学归纳法证明不等式 3 2010 云南模拟 用数学归纳法证明不等式 n 1 且n N N 时 1 n 1 1 n 2 1 2n 13 24 在证明n k 1 这一步时 需要证明的不等式是 A 1 k 1 1 k 2 1 2k 13 24 B 1 k 1 1 k 3 1 2k 1 2k 1 13 24 C 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 13 24 D 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 13 24 解析 n 1 且n N N 的左边有n项 在证明n k 1 这一步 1 n 1 1 n 2 1 2n 13 24 时 需要证明的不等式是 故选 D 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 13 24 答案 D 用心 爱心 专心 4 当n 1 且n N N 时 求证 1 n 1 1 n 2 1 n 3 1 3n 9 10 证明 1 当n 2 时 左边 不等式成立 1 3 1 4 1 5 1 6 19 20 9 10 2 假设n k k 2 时 不等式成立 即 1 k 1 1 k 2 1 k 3 1 3k 9 10 当n k 1 时 1 k 1 1 1 k 3 1 k 4 1 3k 1 3k 1 1 3k 2 1 3k 3 1 k 1 1 k 2 1 k 3 1 3k 1 3k 1 1 3k 2 1 3k 3 1 k 1 9 10 1 3k 3 1 3k 3 1 3k 3 1 k 1 9 10 即n k 1 时 不等式成立 由 1 2 可知 原不等式对任意n 1 且n N N 都成立 考点三 用数学归纳法证明整除问题 5 用数学归纳法证明命题 当n是正奇数时 xn yn能被x y整除 在第二步时 正确的证法是 A 假设n k k N N 证明n k 1 命题成立 B 假设n k k是正奇数 证明n k 1 命题成立 C 假设n 2k 1 k N N 证明n k 1 命题成立 D 假设n k k是正奇数 证明n k 2 命题成立 解析 A B C中 k 1 不一定表示奇数 只有D中k为奇数 k 2 为奇数 答案 D 6 用数学归纳法证明 3n 1 7n 1 n N N 能被 9 整除 证明 令f n 3n 1 7n 1 1 f 1 3 1 1 71 1 27 能被 9 整除 2 假设f k k N N 能被 9 整除 则 f k 1 f k 3k 4 7k 1 1 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k能被 9 整 除 f k 1 能被 9 整除 由 1 2 知 对一切n N N 命题成立 考点四 用数学归纳法解决探索性问题 7 观察下式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 则得出的结论 解析 各等式的左边是第n个自然数到第 3n 2 个连续自然数的和 右边是奇数的平 方 故得出结论 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 8 已知数列 an 满足条件 n 1 an 1 n 1 an 1 且a2 6 设 bn an n n N N 求 bn 的通项公式 解 当n 1 时 由 n 1 an 1 n 1 an 1 得a1 1 当n 2 时 a2 6 代入 n 1 an 1 n 1 an 1 得a3 15 同理可得a4 28 再代入bn an n 有b1 2 b2 8 b3 18 b4 32 用心 爱心 专心 由此猜想bn 2n2 也可由an 1 a2 6 2 3 a3 15 3 5 a4 28 4 7 猜想 an n 2n 1 要证bn 2n2 可证an bn n 2n2 n 当n 1 时 a1 2 12 1 1 前面已求得a1 1 猜想正确 假设n k时 ak 2k2 k k 1 k N N 则当n k 1 时 由已知 n 1 an 1 n 1 an 1 得 k 1 ak 1 k 1 ak 1 ak 1 ak 1 2k2 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 2k 1 k 1 k 1 2k 1 k 1 k 1 2 k 1 2 k 1 n k 1 时 an 2n2 n成立 综合 可知 对一切n N N an 2n2 n都成立 bn 的通项公式为bn 2n2 1 2009 湖南 将正 ABC分割成n2 n 2 n N N 个全等的小正三角形 图 1 图 2 分 别给出了n 2 3 的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于 ABC的三边及平 行于某边的任一直线上的数 当数的个数不少于 3 时 都分别依次成等差数列 若顶点 A B C处的三个数互不相同且和为 1 记所有顶点上的数之和为f n 则有f 2 2 f 3 f n 解析 n 3 时 如图 设A B C三点对应的数分别为xA xB xC 三边上其他点对应的数分别为x1 x2 y1 y2 z1 z2 中间交叉点对应的数为 则 f 3 xA xB xC x1 x2 y1 y2 z1 z2 因为xA xB xC 1 由题意共线上的数成 等差数列 x1 x2 xA xC y1 y2 xB xC z1 z2 xA xB 又 x1 y1 1 2 xA xB 1 2 xC xA 3 xC xB 3 xA xB xC 1 3 1 3 f 3 3 xA xB xC xA xB xC 1 3 10 3 解法一 当n 4 时 同上依次设三边上顶点以外对应的数依次为 x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 中间三点对应的数为 1 2 3 则 用心 爱心 专心 f 4 xA xB xC x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 1 2 3 由题意得x1 x2 x3 xA xB xA xB 同理y1 y2 y3 xB xC xA xB 2 3 2 3 2 z1 z2 z3 xC xA 3 2 同 分析 1 xA z1 x3 1 3 2 x1 y1 xB 1 3 3 xC z3 y3 1 3 1 2 3 xA xB xC x1 x3 y1 y3 z1 z3 1 3 而x1 x3 xA xB y1 y3 yC yB z1 z3 xA xC 代入得 1 2 3 xA xB xC f 4 5 xA xB xC 5 由f 1 1 f 2 2 f 3 f 4 5 10 3 即f 1 2 3 f 2 3 4 1 6 1 6 f 3 4 5 f 5 5 6 由此猜想an n 1 n 2 1 6 1 6 1 6 解法二 逐步调整 不妨假设xA xB xC 共 n 1 n 2 个顶点 1 3 1 2 f n n 1 n 2 1 6 答案 n 1 n 2 10 3 1 6 2 2009 安徽 首项为正数的数列 an 满足an 1 a 3 n N N 1 42n 1 证明 若a1为奇数 则对一切n 2 an都是奇数 2 若对一切n N N 都有an 1 an 求a1的取值范围 解析 1 已知a1是奇数 假设ak 2m 1 是奇数 其中m为正整数 则由递推关系 得ak 1 m m 1 1 是奇数 a2k 3 4 根据数学归纳法 对任何n N N an都是奇数 2 解法一 由an 1 an an 1 an 3 知 an 1 an当且仅当an 1 或an 3 另一 1 4 方面 若 0 ak 1 则 0 ak 1 1 1 3 4 若ak 3 则ak 1 3 32 3 4 根据数学归纳法 0 a1 1 0 an 1 n N N a1 3 an 3 n N N 综合所述 对一切n N N 都有an 1 an的充要条件是 0 a1 1 或a1 3 用心 爱心 专心 解法二 由a2 a1 得a 4a1 3 0 于是 0 a1 1 或a1 3 a2 1 3 42 1 an 1 an a2n 3 4 a2n 1 3 4 an an 1 an an 1 4 因为a1 0 an 1 所以所有的an均大于 0 因此an 1 an与an an 1同 a2n 3 4 号 根据数学归纳法 n N N an 1 an与a2 a1同号 因此 对一切n N N 都有an 1 an的充要条件是 0 a1 1 或a1 3 3 2009 陕西 已知数列 xn 满足x1 xn 1 n N N 1 2 1 1 xn 1 猜想数列 x2n 的单调性 并证明你的结论 2 证明 xn 1 xn n 1 1 6 2 5 解析 1 由x1 及xn 1 得x2 x4 x6 1 2 1 1 xn 3 2 5 8 13 21 由x2 x4 x6猜想 数列 x2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明 1 当n 1 时 已证命题成立 2 假设当n k时命题成立 即x2k x2k 2 易知xn 0 那么x2k 2 x2k 4 1 1 x2k 1 1 1 x2k 3 x2k 3 x2k 1 1 x2k 1 1 x2k 3 0 即x2 n 1 x2 n 1 2 x2k x2k 2 1 x2k 1 x2k 1 1 x2k 2 1 x2k 3 也就是说 当n k 1 时命题也成立 结合 1 和 2 知 命题成立 2 证明 当n 1 时 xn 1 xn x2 x1 结论成立 1 6 当n 2 时 易知 0 xn 1 1 1 xn 1 2 xn 1 xn 1 xn 1 1 1 xn 1 1 2 1 1 xn 1 2 xn 1 1 1 xn 1 5 2 xn 1 xn 1 1 xn 1 1 xn 1 xn xn 1 1 xn 1 xn 1 xn xn 1 2 xn 1 xn 2 n 1 x2 x1 n 1 2 5 2 5 2 5 1 6 2 5 1 已知函数f x x2 x 2 数列 an 满足递推关系式 an 1 f an n N N 且 1 2 a1 1 1 求a2 a3 a4的值 2 用数学归纳法证明当n 5 时 an 2 1 n 1 3 证明当n 5 时 有 n 1 n k 1 1 ak 解 由a1 1 及an 1 a an 2 计算 得a2 a3 a4 1 2 2n 3 2 13 8 217 128 用心 爱心 专心 2 证明 a5 2 2 2 1 2 2 1 2 217 128 217 128 217 128 1 2 217 128 217 128 39 256 1 4 即当n 5 时 结论成立 假设结论对n k k 5 成立 即ak 2 1 k 1 an 1 an 1 2 函数f x x 1 2 在 1 上递增 1 2 3 2 3 2 1 2 3 2 ak 1 2 1 2 2 2 即当n k 1 时结论也成 1 2 1 k 1 3 2 1 k 1 1 2 k 1 2 1 k 立 由 知 不等式an 2 对一切n 5 都成立 1 n 1 3 证明 当n 5 时 an 2 1 n 1 n 1 2 an 1 又由an 1 a an 2 得 且a1 1 1 2 2n 1 an 1 an 2 1 an 1 2 1 n 1 n k 1 1 ak n k 1 1 ak 2 1 ak 1 2 1 a1 2 1 an 1 2 1 2 an 1 2 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 an n N N 1 2 n 2n 1 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 an 1 1 2n 1 3 设Tn an 且kn ln 1 Tn T 证明 2n n2 n 4 1 2 2n 2 Tn 2 Tn kn 解 1 由an 1 an 得 2n 1an 1 2nan n 1 2 n 2n 1 令bn 2nan 有bn 1 bn n bn b1 b2 b1 bn 1 bn 2 bn bn 1 b1 1 2 3 n 1 b1 n n 1 1 2 又b1 2a1 2 bn 2 n n 1 1 2 2nan n n 1 2 1 2 an n2 n 4 n 1 n N N 1 2 2 证法一 数学归纳法 当n 1 时 a1 1 满足不等式 a1 1 1 1 21 1 假设n k k 1 k N N 时结论成立 即 ak 1 那么ak 1 ak 即ak 1 1 2k 1 1 2 k 2k 1 1 2 1 2k 1 k 2k 1 2 k 2k 1 1 2k 1 2 k 1 1 又ak 1 ak 1 1 2 k 2k 1 1 2 k 2k 1 2 2k 2k 1 用心 爱心 专心 由 可知 n N N 都有