2011年江苏省高中数学学案：7《集合》(苏教版必修1)

第 1 页 第第 7 7 课时课时 集合复习集合复习 学习目标 1 掌握集合的有关基本义概念 运用集合的概念解决问题 2 掌握集合的包含关系 子集 真子集 3 掌握集合的运算 交 并 补 4 解决有关集合问题时 要注意各种思想方法 数形集结合 补集思想 分类讨论 的运用 课前导学 复习回顾复习回顾 1 判断下列命题的正误 全集只有一个 正整数集 的补集是 负整数集 空集没有子集 任一集合至少有两个子集 若 则 BBA AB 若 则 A B 之中至少有一个为空集 BA 解 只有 其余均 X 2 设集合 且 则实数的取值范围是 32 Axx 2121 Bxkxk AB k 1 1 2 kk 3 设 集合 若 求的UR 2 320Ax xx 2 1 0Bx xmxm BACU m 值 解 由 2 1A U C ABBA 得 当时 符合 1m 1B BA 当时 而 即1m 1 Bm BA 2m 2m 或 1m 2 课堂活动 一 建构数学 一 建构数学 本单元主要介绍了以下三个问题 1 集合的含义与特征 2 集合的表示与转化 3 集合的基本运算 一 集合的含义与表示 含分类 1 具有共同特征的对象的全体 称一个集合 第 2 页 2 集合按元素的个数分为 有限集和无穷集两类 3 集合的表示 号简记与区间 符号表示法 含数集符 图表示 示 直角坐标表示 图示法 目前含数轴表 属性描述两类 描述法 含文字描述与 列举 中间省略列举 端省略列举法 含全部列举 Venn 二 集合表示法间的转化 图示法 直观化 符号表示法属性描述法文字描述法 具体化 列举法 简单化熟悉化 说明 高中数学解题的关键也是着 四化 三 集合的基本运算 1 子集 A B 定义为 对任意 x A 有 x B 表现图为 A 在 B 中包含着 2 集合运算比较 运算 类型 交 集并 集补 集 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合 叫做 A B 的 交集 记作 AB 读作 A 交 B 即 AB x xA 且 xB 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合 叫做 A B 的并集 记作 A B 读作 A 并 B 即 AB x xA 或 xB 设 S 是一个集合 A 是 S 的一个子集 由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合 叫做 S 中子集 A 的补集 或 余集 记作 即ACS CSA AxSxx 且 韦 恩 图 示 AB 图 1 A B 图 2 S A S A 第 3 页 AA A A AB BA ABA ABB AA A A A AB BA AB ABB CuA CuB Cu AB CuA CuB Cu AB A CuA U A CuA 性性 质质 容斥原理容斥原理 有限集 A 的元素个数记作 card A 对于两个有限集 A B 有 card A B card A card B card A B 二 应用数学二 应用数学 1 注意集合中代表元素 注意集合中代表元素 代表元素 实质是认识和区别集合的核心 代表元素不同 即使同一个表达式 所表示的集合也 不同 例如 A x y x2 B y y x2 C x y y x2 D y x2 例例 1 P y x2 1 Q y y x2 1 S x y x2 1 M x y y x2 1 N x x 1 则相等的集合有 答案 Q N 变式 Q S 2 注意集合中元素的互异性 注意集合中元素的互异性 注意集合中元素的互异性 计算出的结果都必须代入到原集合当中 检验是否违反互异性的原 则 例如对于数集 2a a2 a 实数 a 的取值范围是 且0a 3a 例例 2 1 已知集合 A 1 4 a B 1 a2 且 BA 求集合 A 和集合 B 2 已知 x R A 3 x2 x 1 B x 3 2x 1 x2 1 如果 3 求 BA BA 解 1 当 a 4 时 有 a 2 或 2 经检验符合题意 2 此时 A 1 2 4 或 A 1 2 4 B 1 4 当 a a 时 有 a 1 或 0 经检验 a 0 符合题意 此时 A 0 1 4 B 0 1 2 2 由 3 有 x 3 3 或 2x 1 3 或 x2 1 3 故有 x 0 或 1BA 当 x 0 时 A 3 0 1 B 3 1 1 不合题意 3 BA 当 x 1 时 A 3 1 0 B 4 3 2 符合题意 综上所述 x 1 解后反思 1 注意分类讨论 2 注意检验题意和集合中元素的互异性 3 准确掌握元素和集合 集合和集合的关系 准确掌握元素和集合 集合和集合的关系 例例 3 1 下列关系式 N R 高一 1 班学生的笔 x x 是高一 1 班学生 0 m Q m nN n n 3 14 x R x 0 其中正确命题的序号是 2 1 1 0 0 上述五个关系式中错误的个 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 数是 2 个 4 注意空集特殊性和两重性 注意空集特殊性和两重性 空集是任意集合的子集 即 是任一非空集合的真子集 即A A 有三种情况 A BA 第 4 页 AB 另外还要分清楚 的关系 BAA 与 0 与 例例 4 下列五个命题 空集没有子集 空集是任何一个集合真子集 任何一个集合必有两个或 0 两个以上的子集 若 则 A B 之中至少有一个为空集 其中真命题的个数 0 个 BA 例例 5 已知集合 A x x2 ax a2 19 0 B x x2 5x 6 0 C x x2 2x 8 0 若 BA 且 A C 求 a 的值 解 B 2 3 C 2 4 由题意有 3A 2A 把 3 代入 A 对应方程有 a 3a 10 0 解方程有 a 5 或 2 2 经检验 a 2 a 5 舍去 例例 6 已知 A x ax 1 0 B x x2 5x 6 0 若 A 求 a 的值 并确定集合 A BA 解 A AB 而 B 2 3 BA 当 a 0 时 A 符合题意 B 当 a 时 A 2 符合题意 当 a 时 A 3 符合题意 1 2 B 1 3 B 解后反思 注意空集的特殊性 空集的特殊性 空集是任意集合的子集 即 B 例例 7 已知 A x x2 m 2 x 1 0 且 AR 试求实数 m 的取值范围 解 因为 AR 若 则方程无实数解 A 2 2 10 xmx 所以 4 m 4 解后反思 注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用 5 综合运用综合运用 例例 8 8 已知集合 A x x2 4ax 4a 3 0 B x x2 a 1 x a2 0 C x x2 2ax 2a 0 其中至少有一个集合不 是空集 求实数 a 的取值范围 分析 分析 此题若从正面入手 要对七种可能情况逐一进行讨论 相当繁琐 若考虑其反面 则 只有一种情况 即三个集合全是空集 解 当三个集合全是空集时 所以对应的三个方程都没有实数解 第 5 页 即 2 1 22 2 2 3 164 43 0 1 40 480 aa aa aa 解此不等式组 得 3 1 2 a 所求实数 a 的取值范围为 a 或 a 1 3 2 点评点评 采用 正难则反 的解题策略 具体地说 就是将所研究的对象的全体视为全集 求 出使问题反面成立的集合 那么这个集合的补集便为所求 三 理解数学三 理解数学 1 已知全集 U R 集合 A x x2 x 60 C x x2 4ax 3a2 0 1 试求 a 的取值范围 使 A BC 2 试求 a 的取值范围 使 UU C AC BC 分析 分析 U R A 2 3 B 4 2 故 A B 2 3 2 3 4 2 U C A U C B 4 2 UU C AC B 又 x2 4ax 3a2 0 即 x 3a x a 0 当 a0 时 C a 3a 1 要使 A BC 集合数轴知 解得 1 a 2 0 2 33 a a a 2 类似地 要使必有 UU C AC BC 解得 0 34 2 a a a 4 2 3 a 解 解答过程只需要将上面的分析整理一下即可 点评点评 研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时 充分利用数轴的直观性 便 于分析与转化 注意分类讨论的思想在解题中的运用 在分类时要满足不重复 不遗漏的原则 2 1 已知集合 A x x2 3x 2 0 B x ax 2 0 若 求实数 a 的取值范围 AB 2 已知集合 A x ax2 3x 2 0 若 求的取值范围 A a 若中只有一个元素 求的值并写出这个集合的元素 Aa 若中至多有一个元素 求的取值范围 Aa 若中有两个元素 求的取值范围 Aa 3 已知集合 A x x2 3x 2 0 B x x2 ax 2 0 若 求实数 a 的取值范围 AB 第 6 页 解 1 而 B 1 2 AB 当 a 0 时 B 符合题意 A 当 a 时 A 1 符合题意 当 a 1 时 A 2 符合题意 2B B 2 3 略 解后反思解后反思 注意对方程最高次项系数是否为零的讨论 课后提升 1 下列命题正确的有 个 1 很小的实数可以构成集合 2 集合 1 2 xyy与集合 1 2 xyyx是同一个集合 3 3 61 1 0 5 2 42 这些数组成的集合有5个元素 4 集合 Ryxxyyx 0 是指第二和第四象限内的 点集 答案 0 2 若 2 1 4 1 AxBx 且ABB 则x 答案 2 2 0 或 3 已知集合 023 2 xaxxA至多有一个元素 则a的取值范围 答案 9 0 8 a aa 或 4 下列表述中正确的是 只填序号 若ABABA 则 若 BABBA 则 BA A BA BCACBAC UUU 答案 5 已知xR 则集合 2 3 2 x xx 中元素 x 所应满足的条件为 答案 0 1 3x 6 满足Ma dcba的集合M的个数为 答案 7 7 某中学高一 1 班有 45 人 其中参加数学兴趣小组有 28 人 参加化学兴趣小组有 21 人 若数学化 学都参加的有 x 人 则 x 的取值范围是 答案 Zxx 214 8 设全集UR 2 10Mmmxx 方程有实数根 2 0 Nnxxn 方程有实数根则 U C MN 第 7 页 答案 1 4 x x 9 集合 22 190Ax xaxa 2 560Bx xx 2 280Cx xx 满足 AB AC 实数a值为 答案 2a 10 设 2 yxaxb Ax yxaMa bM 答案 9 1 3 1 M 11 设UR 集合 2 320Ax xx 2 1 0Bx xmxm 若 BACU m 答案 1m 或2 12 已知 25 Axx 121 Bx mxm BA 则m的取值范围为 答案 3 m 13 设 是集合 A 中元素的一种运算 如果对于任意的 xy x yA 都有xyA 则称运算 对集合 A 是封闭的 若 2 Mx xab a bz 则对集合 M 不封闭的运算是 选填 加法 减法 乘法 除法 答案 除法 14 设全集 集合 Ux y x yR 2 1 2 y Mx y x 4Nx y yx 那么等于 UU C MC N 答案 2 2 二 解答题 15 已知集合 2Axxa 23 By yxxA 2 Cz zxxA 且 求的取值范围 CB a 解 解 当时 123Bxxa 20a 2 4Cx ax 而 则 这是矛盾的 CB 1 234 20 2 aaa 即而 第 8 页 当时 而 02a 04Cxx CB 则 1 234 2 2 aaa 1 即即 2 当时 而 2a 2 0Cxxa CB 则 2 23 3aaa 即 2 1 3 2 a 16 已知 A x x2 3x 2 0 B x mx2 4x m 1 0 m R 若 A B 且 A B A 求 m 的取值范围 解 由已知 A x x2 3x 20 得 BAxxxA由或 12 得 1 A 非空 B 2 A x x12 x或 12 xxB另一方面 ABABA 于是上面 2 不成立 否则RBA 与题设ABA 矛盾 由上面分析知 B 由已知 B Rmmxmxx 014 2 结合 B 得对一切 x014 2 mxmxR恒成立 于是 有 mm mm m 2 171 0 1 416 0 解得的取值范围是 2 171 mm 17 023 032 082 2222 aaxxxCxxxBxxxA 试求实数a的取值范 围 使BAC 解 依题意得 或31 42 xxxBxxA 41 xxBA 1 当 Ca时 0 BAC 符合 2 当 axaxCa20 时 要使BAC 则 42 1 a a 解得 21 a 3