安徽省2013届高三数学联考 理（无答案）

1 20132013 年安徽省年安徽省 江南十校江南十校 高三联考高三联考 数学 理科 参考答案数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 分 1 A 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 C 8 A 9 B 10 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 相交 12 13 14 15 4 342500 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 分 16 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解 由题可得 2 分 3 sin 4 xxf 3 分3cos 3 sin 4 xxxg 3 cos3cos sin2 3cos cos 2 3 sin 2 1 4 2 xxx xxx 6 分 3 2sin 2 x 方法 1 8 分 0 12 x 3 2 23 2 0 x 要使函数在上的最大值为 2 当且仅当 xg 0 12 23 2 0 解得 11 分 12 5 0 故的最小值为 12 分 0 12 5 方法 2 设 解得 2 2 3 2 2 2 kxk 12 5 12 Zkkxk 得函数的增区间为 8 分 xg 12 5 12 Zkkk 取得的一个增区间 此时的从增加到 10 分0 k xf 12 5 12 xf2 2 由题可得的最小值为 12 分 0 12 5 17 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解 由题可知 所选两人为 最佳组合 的概率 3 分 1 6 12 2 1 6 1 6 nn n C CC n n 则 4 分 2 1 1 6 12 nn n 2 化简得 解得 故的最大值为 16 6 分014425 2 nn169 nn 由题意得 的可能取值为 7 分 012 则 22 5 0 2 12 2 6 C C P 11 6 1 2 12 1 6 1 6 C CC P 22 5 2 2 12 2 6 C C P 012 P 22 5 11 6 22 5 10 分 12 分 1 22 5 2 11 6 1 22 5 0 E 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 证明 分别是上的两点 F E BCAD 1 BFAE 四边形为矩形 ABFE 折叠后 即平面 BFEFFCEF EFBFC 连接GF 902 1 1EGFABBFAE 由已知得GCEG 平面 6 分 EGCFG 由 知EGFC EFFC 平面 FCABFE 7 分BFFC 方法一 如图建系则 A 1 0 2 C 0 2 0 D 0 1 2 xyzF 设 为平面 ACD 的法向量 1n zyx 2 1 0 0 1 1 CDAD 得 则令得 9 分 02 0 zy yx zy xy 2 1 z 1 2 2 1 n 又为平面 CDEF 的法向量 0 0 1 2 n 设二面角为 则 即 12 分ECDA 3 2 144 2 cos 21 nn 3 2 cos 方法二 延长与的延长线交于点 过作垂足为点 CDFEPEDPEH H 连结 则为二面角的平面角 EHAHEHA ECDA 设二面角为 ECDA 由 1 得 2 则 DEEPEH 5 2 5 3 1 AHAE 即 12 分 AHEcos 3 2 3 2 cos 19 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 解 由题可知 解得 1 分1 3 2 f 1 a 故 由得 2 分x x xxfln3 2 2 2 1 x xx xf 0 x f2 x 于是可得下表 z y x A B C D E F G P H G F E D C B A 3 x 2 3 2 2 3 2 3 2 3 x f 0 xf 2ln31 3 分 于是可得 4 分2ln31 2 fxf 小 解 5 分 0 2332 2 2 2 x x xax xx axf 由题可得方程有两个不等的正实根 不妨设这两个根为 并令023 2 xax 21 xx 23 2 xaxxh 则 也可以 7 分 0 2 0 3 089 21 21 a xx a xx a 0 0 00 2 3 089 h a a a 解得 8 分 8 9 0 a 解 由 故 x x xxfln3 2 0 23 23 xxxxxF 9 分 0 263 2 xxxxF 设切点为 T 由于点 P 在函数的图像上 00 yx xF 1 当切点 T 不与点重合 即当时 4 1 P1 0 x 由于切线过点 则 4 1 P263 1 4 0 2 0 0 0 xx x y 所以 263 1 423 0 2 000 2 0 3 0 xxxxxx 化简得 即 解得 舍去 12 分0133 0 2 0 3 0 xxx0 1 3 0 x1 0 x 2 当切点 T 与点重合 即时 4 1 P1 0 x 则切线的斜率 于是切线方程为5 1 Fk015 yx 综上所述 满足条件的切线只有一条 其方程为 13 分015 yx 注 若没有分 点 T 是否与点 P 重合 讨论 只要过程合理结论正确 本小题只扣 1 分 20 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 解 证明 由题可知 1 1 2 1 2 n nn aa 则 2 分 n nn aa 2 1 2 1 1 122 1 1 n n n n aa 故数列是首项和公差都为 1 的等差数列 4 分 n n a 1 2 6 分nan n 1 2 1 2 n n n a 4 由可知 只需证 7 分 1 2 n n n a12lnlnln 21 n n bbb 证明 1 当时 左边 右边 则左边右边 1 n11 2 2 a 1ln e 2 当时 由题可知和 2 n nnn bbb 2 1 0 n b 则 10 分 nnnn bbbbln2ln 1 2 1 则 11 分 1 1 1 2 2 1 2ln2ln2ln2ln nn nnn bbbb 12 21 21 1 221lnlnln 1 21 n n n n bbb 综上所述 当时 原不等式成立 13 分 Nn 21 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 解 1 由题可知 故双曲线的焦点为33 22 mmc双 2 分 0 3 0 3 21 FF 2 设点 M N 11 yx 22 yx 设直线 代入并整理得laxty xy2 2 022 2 atyy 所以 3 分 ayy tyy 2 2 21 21 02 2 2 1 1 2 222 2 2121 2 21212121 aa aatat ayyatyyt yyatyatyyyxxONOM故 解得 5 分2 a 由 1 得 所以椭圆 E 的方程为 6 分3 c1 4 2 2 y x 判断结果 恒成立 7 分PBPA 证明 设 P 则 A D 8 分 00 yx 00 yx 2 1 00 yx 44 2 0 2 0 yx 将直线 AD 的方程代入椭圆方程并整理得 00 0 0 4 yxx x y y 01696 4 2 0 2 0 2 0 2 00 22 0 2 0 xyxxyxxyx 9 分 由题可知此方程必有一根为 于是解得 0 x 0 2 0 2 0 2 00 4 6 x yx yx xB 所以 11 分 2 0 2 0 0 2 0 3 0 00 2 0 2 0 2 00 0 0 4 2 2 4 6 4yx yxy yx yx yx x y yB y A O P x C D B Q 5 所以 12 分 0 0 2 00 0 2 0 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 0 2 0 3 0 6 6 4 6 4 2 y x yx yx yx yx y yx yxy kPB 故 即 13 分1 0 0 0 0 x y y x kk PBPA PBPA 解法解法 2 2 判断结果 恒成立 7 分PBPA 证明 过点 P 作直线 AP 的垂线 得与椭圆的另一个交点为 所以 要证 B PBPA 只要证 A D 三点共线 B 设 P 则 A D 8 分 00 yx 00 yx 2 1 00 yx 44 2 0 2 0 yx 将直线的方程代入椭圆方程并整理得B P 00 0 0 yxx y x y 04 4 8 4 2 0 22 0 2 0 2 0 2 00 22 0 2 0 yyxxyxxxyx 10 分 由题可知此方程的一根为 解得 0 x 2 0 2 0 2 00 3 0 0 2 0 2 0 2 0 2 00 4 74 4 8 yx yxx x yx yxx xB 所以 11 分 2 0 2 0 0 2 0 3 0 0 2 0 2 0 2 00 3 0 0 0 0 4 2 4 74 yx yxy x yx yxx y x yyB 则 0 0 2 0 2 00 0 2 0 3 0 00 2 0 2 0 2 0 2 00 0 2 0 2 0 0 2 0 3 0 4 8 22 4 8 4 2 x y yxx yxy xx yx yxx y yx yxy k BA 12 分 又 所以 故三点共线 0 0 00 00 4 2 1 x y xx yy kAD BAAD kk BDA 13 分PBPA 解法解法 3 3 判断结果 恒成立 7 分PBPA 证明 设 则 两式相减得 0011 yxPyxB 00 yxA 1 4 1 4 2 0 2 0 2 1 2 1 y x