2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试卷二 理

用心 爱心 专心 1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东模拟卷二广东模拟卷二 数数 学学 理科理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴 在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错 涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 1 巳知集合 是虚数单位 设为整数集 则集合中的元素 2 2 1 1 i Ni i ii iZNZ 个数是 A 3 个 B 个 C 个 D 0 个 2 2 给出下列六种图象变换方法 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 1 2 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 图象向右平移 个单位 图象向左平移 个单位 3 3 图象向右平移个单位 图象向左平移个单位 2 3 2 3 用上述变换中的两种变换 将函数的图象变换到函数 y sin 的图象 那么sinyx x 2 3 不同的方式共有 A 8 B 4 C 2 D 1 3 3 直线与圆的位置关系为0 babyax2 22 yx A 相交 B 相切 C 相离 D 相交或相切 4 4 已知函数 若是函数的零点 且 则 3 1 log 5 x f xx 0 x yf x 10 0 xx 1 f x A 恒为正值 B 等于 0 C 恒为负值 D 不大于 0 用心 爱心 专心 2 第 5 题 F E C D B A B D C A 5 5 在右图的算法中 如果输入 A 138 B 22 则输出的结果是 A 138 B 4 C 2 D 0 6 6 已知 321 aaa为一等差数列 321 bbb为一等比数列 且这 6 个数都为实数 则下面四个结论 21 aa 与 32 aa 可能同时成立 21 bb 与 32 bb 可能同时成立 若0 21 aa 则0 32 aa 若0 21 bb 则0 32 bb 其中正确的是 A B C D 7 7 如图 正方体中 1111 ABCDABC D EF 分别为棱 的中点 在平面AB 1 CC 11 ADD A 内且与平面平行的直线 1 D EF A 不存在 B 有 1 条 C 有 2 条 D 有无数条 第 7 题 8 8 用表示 a b 两个数中的最大数 设 那么由函max a b 2 max f xxx 1 4 x 数的图象 x 轴 直线和直线所围成的封闭图形的面积是 yf x 1 4 x 2x A B C D 35 12 59 24 57 8 91 12 2 2 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 1 必做题 9 13 题 9 9 如图所示 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形 俯视图是一个直径为 1 的圆 那么这个几何体的全面积为 10 10 在二项式的展开式的所有项中 其中有 项是有理 3210 1 x x 项 11 11 在斜三角形ABC中 角CBA 所对的边分别为cba 若1 tan tan tan tan B C A C 则 2 22 c ba 第 9 题 用心 爱心 专心 3 B A C T P 12 12 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合 2 2 0 ypx p F 22 22 1 0 xy ab ab 它们在第一象限内的交点为 且与轴垂直 则双曲线的离心率为 TTFx 13 13 在平面直角坐标系中 定义为两点 之 1212 d P Qxxyy 11 P x y 22 Q xy 间的 折线距离 则坐标原点与直线上一点的 折线距离 的最小O22 50 xy 值是 圆上一点与直线上一点的 折线距离 的最小值 22 1xy 22 50 xy 是 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图所示 过圆外一点做一条直线CP 与圆交于两点 与圆 相切于点 CA B 2BAAP PTCT 已知圆的半径为 则 第 14 题 C230CAB PT 15 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 曲线 为参数 与曲线 cos 1 sin x y 的直角坐标方程分别为 与 两条曲线的交 2 2 cos0rrq 点个数为 个 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 l4 分 分 A是单位圆与x轴正半轴的交点 点P在单位圆上 0 OPOAOQAOP 四边形OAQP的面积为S 求SOQOA 的最大值及此时 的值 0 设点 5 4 5 3 AOBB在 的条件下求 cos 0 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 庐山是我国四大名山之一 从石门涧可徒步攀登至山顶主景区 沿途风景秀丽 右图是从 石门涧上山的旅游示意图 若游客在每一分支处选择哪一条路上山是等可能的 认定游客 是始终沿上山路线 不往下走 例到 G 后不会往 E 方向走 l 茌游客已到达 A 处的前提下 求经过点 F 的概率 2 在旺季七月份 每天约有 1200 名游客需由石门涧登山 用心 爱心 专心 4 N M P A B D C l M x y O B A 石门涧景区决定在 C F G 处设售水点 若每位游客在 到达 C F G 处条件下买水的概率分别为 1 2 2 3 4 5 则景区每天至少供应多少瓶水是合理的 18 本小题满分本小题满分 14 分分 如图 四棱锥 平面 且 底面为直角梯形 PABCD PA ABCD4PA ABCD 分别为的中点 0 90CDABAD 2AB 1CD 2AD MN PDPB 平面与的交点为MCNPAQ 求的长度 PQ 求截面与底面所成二面角的大小 MCNABCD 求四棱锥的体积 AMCNQ 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 已知椭圆过点 两个焦点分别为 为坐标原点 平行C 2 1 M 6 0 6 0 O 于的直线 交椭圆于不同的两点 OMlCAB 求椭圆的方程 C 试问直线的斜率之和是否为定值 若为定值 求出以线段为直径且过MAMB AB 点的圆的方程 若不存在 说明理由 M 20 本小题满分 本小题满分 14 分 分 已知函数 2 1 21 ln 1 2 f xmxxx 当时 求函数的单调区间 0m 当时 曲线在点处的切线 与有且只有一个公共点 1m C yf x 0 1 PlC 求的取值的集合 mM 21 本小题满分本小题满分 14 分分 已知数列 满足 其中 n a n b nnn aab 1 1 2 3 n 若 求数列的通项公式 1 1 n abn n a 用心 爱心 专心 5 若 且 11 2 nnn bbb n 12 1 2bb 记 求证 数列为等差数列 1 16 nac nn n c 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次 求应满足的条件 n an 1 a 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 广东模拟卷二 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 分 1 1 B B 解析解析 由题设知 故选 B B 1 2 Nii 2 2 C C 解析解析 两种变换途径 3 2 sinsinsin 323 x yxyxy 左移 横坐标变为倍 或 故选 C C 2 3 2 sinsinsin 223 xx yxyy 左移 横坐标变为倍 3 3 D D 解析解析 由题设知圆心到直线的距离而 22 ab d ab 2 22 2abab 得 园的半径 或直线与圆有公共点 1 1 故选 D D2d 2r 4 4 A A 解析解析 由指数函数与对数函数的性质知为减函数 于是有 3 1 log 5 x f xx 故选 A A 10 0f xf x 5 5 C C 解析解析 由题设知此算法是辗转相除法求最大公约数 而 故选 C C138 222 6 6 B B 解析解析 由等差数列知 2 1232 aaaad 3212 2aaaad d 为公差 故 均不正确 由等比数列知知 正确 当时 正q 为公比 2 31 bbq 1 0 0bq 确 故选 B B 7 7 D D 解析解析 由题设知平面与平面有公共点 由平面的基本性质中的公 11 ADD A 1 D EF 1 D 理知必有过该点的公共线 在平面内与 平行的线有无数条 且它们都不在平l 11 ADD Al 面内 由线面平行的判定定理知它们都与面平行 故选 D D 1 D EF 1 D EF 8 8 A A 解析解析 由题设知 1 4 2 1 1 xx f x xx 故选 A A 3 2 1 1 4 4 12 213 2 21 133 1 35 12 Sxdxxxx 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 9 9 解析解析 由题设知 该几何体是底面直径为 1 高为 1 的圆柱体 3 2 2 1 2 3 21 1 2 S 1010 4 解析解析 由题设知 而 20 5 3 10 32 1 11010 r r r rr rx TCxC x 20 51 33 72 rr r 只有当除以 3 余数为 1 时其对应项才为有理项 故共 4 项 r1 4 7 10r 用心 爱心 专心 6 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5510 Q N M O P 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5510 Q N M O P F 1111 3 解析解析 由题设知 即 由正弦定理 111 tantantanABC coscoscos sinsinsin ABC ABC 与余弦定理得即 222222222 222 bcaacbabc abcabcabc 22 2 3 ab c 1212 解析解析 由题设知 设双曲线的半焦距另一个焦点为 则 21 TFp c F 2 p c 由为知 2 TFcFF TFF Rt 2 2TFc 2 21 2 22 cFF e aTFTF 1313 解析解析 如图 1 直线与两轴的交点分别为 设5 5 2 0 2 5 5 0 NM P x y 为直线上任意一点 作轴于于是有 PQx Q2PQQM 所以 即当与重合时 dOQQPOQQMOM PM min 5dOM 如图 2 设为圆上任意一点 过分别作轴的垂线交于点 延长交直线FPF xy QFQ 于点 将看作定点 由问题 1 知的最小 折线距离 为 设的纵坐 QFPF与 FQF 标为 则 显然只需m 2 2 min min 2 52 1 15 22 mmm dFQFQm 要考虑 设 其中 0 1 m 2 sin 0 m 5sin 5 2 FQ 所以当时 1 cos 5 2 sin 5 1 sin 5 2 cos 5 min min 5 2 dFQ 1414 3 解析解析 由题设知 0 2cos302 3ABCA 3 3 3 PAPB 2 9 3PTPA PBPT A 1515 2 解析解析 由题设知 消参得 2222 1 1 1 1xyxy 22 1 1xy 化直角坐标为 即 两圆心距为 22 20 xyx 22 1 1xy 2 且 两圆相交 故有 2 个公共点 01 121 12 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 1616 解析解析 由已知 sin cos 0 1 PA 3 OPOAOQ sin cos1 OQ 为平行四边形OAQP 用心 爱心 专心 7 N M A D C x z P y B 1 4 sin 21cossin SOQOA 0 sinsinSOA OP 故SOQOA 的最大值是12 此时 4 0 8 5 4 5 3 AOBB 5 4 sin 5 3 cos 10 14 0 7 2 cos cos 410 1717 解析解析 1818 解析解析 答案 3 2 1 34 A MCNQ PQV 解 由题设知 以为原点 所在线AADABAP 分别轴如图示建立空间直角坐标系 则有 xyz 0 0 0 0 2 0 2 1 0 2 0 0 ABCD 0 0 4 P 设 2 0 2 2 M 0 1 2 N0 0 Qh 由共面知 M N C QAQxAMyANzAC 且 于是有 1xyz 即 得 勘误 点 勘误 点与点与点对换位置 对换位置 2 2 20 0 22 xz yz xyh 2 6 xz yz hz 3h CD 故1PQ 设面 且 底面的法向量为n MCN nu v r ABCD 0 0 4 AP 由知 即 2 2 1 2 2 0 2CMCN 2 2 20 220 uvr ur 2 vr ur 用心 爱心 专心 8 取得 于是有1r 2 1 1 n 41 cos 4 22 AP n AP n AP n A 所以截面与底面所成二面角为 MCNABCD 0 60 由 知 于是 得 21 22 0 1 MQCN 1 3 CMQMCNQ SS 3 A MCNQA CMQ VV 由知面 0 90CDABAD CD PAD A CMQC AMQ VV 由知 113 2 224 AMQ SAQAD 13 2 3 34 A MCNQANQ VCD S A 1919 解析解析 答案 22 22 6316 1 0 82555 MAMB xy kkxy 解 由题设知 半焦距 6c 长半轴长 22222 26 1 26 111 4 6114 6 2 2 22 a 短半轴长 于是椭圆的方程是 22 2 2 6 2b C 22 1 82 xy 设直线 的方程为 l 1 2 yxm 1122 A x yB xy 1 112 1112 1111 222222 MAMB xmymm kk xxxx 由知 得 2 2 82 1 2 1 y x yxm 22 2240 xmxm 2 1212 2 24xxm x xm 为定值 12 2 1212 4 24 110 2424224 MAMB m xxmm kk x xxxmm 由线段为直径且过点的圆知 有 得 ABMMAMB 1 MAMB kk A1 1 MAMB kk 又 得 12 11 1 1 2222 mm xx 12 2xxm 12 214 55 xx 圆的方程为 12 71 55 yy 21471 0 5555 xxyy 即 22 6316 555 xy 2020 解析解析 答案 和均为单调递增区间 2 24 1 2 mm m 2 42 2 mm m 为单调递减区间 22 2442 22 mmmm mm 1M 解 由题设知 1 2 1 1 fxmxx x 当时 0m 用心 爱心 专心 9 而 222 2 12442 1122 mxmxmmmmm fxxx xxmm 2222 4224 2424 0 1 0 2222 mmmmmmmm mmmm 函数单调递增区间为和 f x 2 24 1 2 mm m 2 42 2 mm m 单调递减区间为 22 2442 22 mmmm mm 由题设知 切线 的方程为 于是方程 0 1 PC f l1yx 即有且只有一个实数根 2 1 121 ln 1 2 xmxxx 2 1 ln 1 0 2 mxxx 设 得 2 1 ln 1 2 g xmxxx 0 0g 2 1 1 1 11 mxmxmx g xx xxm 当时 为增函数 符合题设 1m 2 0 1 x g x x g x 当时 有得在此区间单调递增 1m 1 110 m 0 0 xg xg x 0g x 在此区间单调递减 1 1 0 0 xg xg x m 0g x 在此区间单调递增 此区间存在 1 1 1 0 xg xg x m 1 1 g xg m 零点 即得不符合题设 1m 由上述知 1M 2121 解析解析 当时 有2 n 2 分 121321 nnn aaaaaaaa 1121n abbb 3 分 2 1 11 222 nnnn 又因为也满足上式 所以数列的通项为 4 分1 1 a n a 2 1 22 n nn a 由题设知 对任意的有得 0 n b n N 21132 nnnnnn bbbbbb 3 1 nn bb 于是又 故 5 分 36 1 nn bb 6nn bb 651642 1 2 nn bbbb 63