2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷解析版） (2)

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 文史类 数学试题卷 文史类 数学试题文史类 共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 答选择题时 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 干净后 再选涂其他答案标号 3 答非选择题时 必须使用 0 5 毫米黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置上 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符 合题目要求的 3 曲线在点 1 2 处的切线方程为 32 3yxx A B C D 31yx 3 3yx 35yx 2yx 2 命题意图 本题考查利用导数求函数的切线 是容易题 解析 切线斜率为 3 则过 1 2 的切线方程为 即 y 2 36xx 23 1 yx 31yx 故选 A 答案 A 4 从一堆苹果中任取 10 只称得它的质量如下 单位 克 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在 114 5 124 5 内的频率为 A 0 2 B 0 3 C 0 4 D 0 5 6 设 则 的大小关系是a 1 3 1 log 2 b 1 2 2 log 3 c 3 4 log 3 abc A B C D abccbabacbca 命题意图 本题考查对数函数的图像与性质 是简单题 解析 与在 0 都是减函数 且 0 1 0 1 1 3 logyx 1 2 logyx 1 2 2 3 0 0 a 1 3 1 log 2 b 1 2 2 log 3 3 又 在 0 上是增函数 且 0 1 0 即最小 只有 B 符合 3 logyx 4 3 c 3 4 log 3 c 故选 B 答案 B 7 若函数 2 在 处有最小值 则 f x 1 2 x x xx aa A 12 B 13 C 3 D 4 9 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A B 两点 左焦点为在以AB才为之直径的圆内 则该双 曲线的离心率的取值范围为 A 0 2 B 1 2 C 2 1 2 D 1 命题意图 本题考查双曲线的性质 点与圆的位置关系 考查学生转化与化归能力 解不等式能力 难度较大 4 解析 双曲线的左准线为 渐近线方程为 联立解得 x 2 a c b yx a 2 a c ab c 根据题意得 即 即 即 即 AB 2ab c 2 a c c ab c 2 bab ba 222 caa 22 2ca 即 又 1 1 故选 B 2e ee2 答案 B 10 高为2的四棱锥SABCD 的底面是边长为1 的正方 形 点 S A B C D均在半径为 1 的同一球面上 则底面 ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A 10 2 B 23 2 C 3 2 D 2 命题意图 本题考查四棱锥与其外接球的相关知识 考查空 间想象能力 转化化归能力以及运算求解能力 是难题 解析 如图 设四棱锥的外接球球心为 SABCD E则 面 在中 1 OEABCDRt EOC EC 2 2 OC EO 2 2 设四棱锥的高 且 SABCD SH2EOSHEO 1 2 SH 取的中点 连结 则四边形为矩形 在中 SHMEMOHMEEMSHSM 2 2 Rt SME 1 则 ESEM 2 2 OH 2 2 在中 10 2 故选 A Rt SHO OS 22 OHSH 答案 A 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 把答案填写在答题卡相应位置上分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 的展开式中的系数是 6 12 x 4 x 5 14 从甲 乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动 则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为 命题意图 本题考查组合计算和等可能事件的概率计算 是中档题 解析 10 位同学任选 3 人共有种选法 其中含甲不含乙共有种选法 故所选 3 位中有甲但没 3 10 C 2 8 C 有乙的概率为 2 8 3 10 C C 7 30 答案 7 30 15 若实数 满足 则的最大值是 abc22 ab 2a b 222 abc 2a b c c 命题意图 本题考查基本不等式的应用 指数 对数等相关知识 考查了转化与化归思想 是难题 解析 4 2a b 22 ab 2 2a b 2a b 又 4 即 4 即222 abc 2a b c 22 a bc 22 a bc 2 21 c c 2a b 2 21 c c 6 0 的最大值为 43 2 21 c c 2c 4 3 c 2 4 log 3 2 2log 3 c 2 2log 3 答案 2 2log 3 三 解答是 本大题共三 解答是 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分分 解解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分13 分 小问 7 分 小问 6 分 设 是公比为正数的等比数列 2 n a 1 a 3 a 2 4a 求 的通项公式 n a 设 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 的前项和 n b nn ab n n S 命题意图 本题考查等比数列的通项公式和等比数列 等差数列的前项和公式 考查函数与方程n 思想和运算求解能力 是简单题 解析 设等比数列 的公比为 由 2 知 n aq 1 a 3 a 2 4a 2 224qq 即 解得 2 或 1 舍去 2 2 20qq qqq 的通项公式 n a n a2n nN n S 2 1 2 1 12 1 22 n n n n 12 22 n n 17 本小题满分 13 分 小问 6 分 小问 7 分 某市公租房的房源位于 三个片区 设每 位申请人只申请其中一个片区的房源 且申请其中任一个片区的房源是等可能的 求该市的 4 位申请人中 没有人申请 A 片区房源的概率 每个片区的房源都有人申请的概率 命题意图 本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率 独立重复试验 考查 运用概率知识分析解决问题能力 是中档题 解析 法 1 设事件 A 表示 没有人申请 A 片区房源 所有可能的申请方式有种 其中没有 4 3 人申请 A 片区房源方式有种 则没有人申请 A 片区房源的概率为 4 2 P A 4 4 2 3 16 81 法 2 设 申请 A 片区房源 为事件 A 7 每位申请人只申请其中一个片区的房源 且申请其中任一个片区的房源是等可能的 P A 1 3 对每位申请房源作为一次试验 应为每人申请房源相互独立 4 人申请房源可以看成 4 次独立重复试验 故没人申请 A 片房源的概率为 4 0P 004 4 12 33 C 16 81 记 每个片区的房源都有人申请 为事件 B 所有可能的申请方式有种 其中每个片区的房源都 4 3 有人申请的方式有种 23 43 C A 每个片区的房源都有人申请的概率为 P B 23 43 4 3 C A4 9 18 本小题满分 13 分 小问 7 分 小问 6 分 设函数 f xsin cos3cos cosxxxx xR 求的最小正周期 f x 若函数的图象按 平移后得到函数的图象 求在 yf x b 4 3 2 yg x yg x 0 上的最大值 4 命题意图 本题考查诱导公式 两角和与差的正余弦公式 周期公式 向量平移 三角函数在某个 区间上的最值求法和运算求解能力 是中档题 解析 f x 2 1 sin23cos 2 xx 13 sin2 1 cos2 22 xx 3 sin 2 32 x 的最小正周期为 f xT 2 2 依题意得 g x 3 42 f x 33 sin 2 4322 x 8 sin 2 3 6 x 当 0 时 x 4 2 6 x 6 3 1 2 sin 2 6 x 3 2 在 0 的最大值为 2 31 2 f x 3 3 2 g x 4 3 3 2 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 设 的导数为 若 f x 32 21xaxbx fx 函数 的图象关于直线 对称 且 0 y fx x 1 2 1 f 求实数 的值 ab 求函数的极值 f x 命题意图 本题考查考查利用导数求函数的极值 二次函数的图像与性质 考查方程与不等式思想 转化和化归思想 属容易题 解析 fx 2 62xaxb 若函数 的图象关于直线 对称 且 0 y fx x 1 2 1 f 且 解得 3 12 2 12 a 1 2 2 6 1210ab ab 由 知 f x 32 23121xxx fx 2 6612xx 6 2 1 xx 的变化如下 f x x 2 2 2 1 1 1 fx 0 0 f x A 极大值 21 A 极小值 6 A 9 当 2 时 取极大值 极大值为 21 x f x 当 1 时 取极小值 极小值为 6 x f x 20 本小题满分 12 分 小问 6 分 小问 6 分 如图 在四 面体中 平面 平面 ABCDABCACDABBCAC 2 1 ADBC CD 求四面体的体积 ABCD 求二面角的平面角的正切值 CABD 命题意图 本题考查简单几何体的体积计算 二面角的求法 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力及转化与化归思想 是中档题 解析 如图 过作 于 平面 平面 DDFACFABCACD 平面 则是四面体的面上的高 DFABCDFABCDABC 设中点为 2 CDGACADAGCD AG 22 ACCG 2 2 1 2 2 15 2 1 2 ACDF 1 2 CDAG DF AG CD AC 15 4 在中 Rt ABC AB 22 ACBC 3 ABC S 1 2 AB BC 3 2 四棱锥的体积 ABCDV 1 3 ABC SDF 5 8 几何法 过作 与 连结 由 知 面 FFEABEDEDFABC 由三垂线定理知 为二面角的平面角 DEABDEF CABD 在中 Rt AFD AF 22 ADDF 22 15 2 4 7 4 在中 Rt ABC FEBC EFAF BCAC FE BCAF AC 7 8 D C B A 10 在中 Rt EFD tanDEF DF EF 2 15 7 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如图 椭圆的中心为原点 离心率 一条准线的方程是 Oe 2 2 x 2 2 求椭圆的标准方程 设动点满足 其中 是椭圆POP 2OMON MN 上的点 直线与的斜率之积为 问 是否存在定点OMON 1 2 使得与点到直线 的距离之比为定值 若存在 求的坐标 若不存在 说明理由 F PFPlx2 10F 命题意图 本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题 考查学生综合运用知识解决问题能 力 运算求解能力和探究问题能力 难度较大 解析 解得 2 2 e c a 2 2 2 a c 2 2ac2 2 b 22 ac 椭圆的标准方程为 22 1 42 xy 设P 则由 得xy 11 M x y 22 N xyOP 2OMON x y 1122 2 x yxy 1212 2 2 xxyy x 12 2xx y 12 2yy 在椭圆上 MN 22 24xy 1 22 1 24xy 22 22 24xy 22 2xy 22 1212 2 2 2 xxyy 2222 12121212 44 2 44 xxx xyyy y 222