初中几何最值问题

初中几何最值问题 例题精讲 一 三点共线 1 构造三角形 例 1 在锐角中 AB 4 BC 5 ACB 45 将 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 得到 ABCA A1BC1 点 E 为线段 AB 中点 点 P 是线段 AC 上的动点 在 ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程 中 点 P 的对应点是点 P1 求线段 EP1长度的最大值与最小值 P1 C1 A1 P E CB A 巩固 以平面上一点 O 为直角顶点 分别画出两个直角三角形 记作 AOB 和 COD 其中 ABO DCO 30 如图 若 BO 3 3 点 N 在线段 OD 上 且 NO 2 点 P 是线段 AB 上的 一个动点 在将 AOB 绕点 O 旋转的过程中 线段 PN 长度的最小值为 最大值为 O P N D C B A O C D N 备用图 例 2 如图 矩形 ABCD 的顶点 A B 分别在边 OM ON 上 当 B 在边 ON 上运动时 90MON A 随之在边 OM 上运动 矩形 ABCD 的形状保持不变 其中 AB 2 BC 1 运动过程中 点 D 到 点 O 的最大距离为 巩固 已知 AOB 中 2ABOB COD 中 3CDOC ABODCO 连接AD BC 点M N P分别为OA OD BC的中点 若A O C三点在同一直线上 且 2ABO 固定 AOB 将 COD 绕点O旋转 则PM的最大值为 P N M D C BA O 巩固 在平面直角坐标系 xOy 中 点 分别在轴 轴的正半轴上 点为线段的中 ABx y MAB 点 点 分别在轴 轴的负半轴上 且 以为边在第三象限内作正 DEx y 10DEAB DE 方形 请求出线段长度的最大值 并直接写出此时直线所对应的函数的解析式 DGFEMGMG G F E D x y O A B M 图 2 例 3 如图 已知 为反比例函数图像上的两点 动点在正半轴上 1 1 2 Ay 2 2 By 1 y x 0 P x x 运动 当线段与线段之差达到最大时 点的坐标是 APBPP 2 轴对称 例 1 求的最小值 2 2 341xx 例 2 是半径为 5 的的两条弦 为直径 于点 ABCD OA8AB 6CD MNABMN E 于点 为上任意一点 则的最小值为 CDMN FPEF PA PC PO NM FE D C B A 巩固 设半径为 1 的半圆的圆心为 直径为 是半圆上两点 若弧的度数为 96 弧 OABCD AC 的度数为 36 动点在直径上 则的最小值是 BDPAB CP PD 巩固 设正三角形的边长是 2 是边上的中点 是边上任意一点 则的最 ABCMABPBC PA PM 大值为 最小值为 y xO A B P 例 3 如图 已知等边 ABC 的边长为 1 D E F 分别是 AB BC AC 边上的点 均不与点 A B C 重 合 记 DEF 的周长为 若 D E F 分别是 AB BC AC 边上任意点 则的取值范围是 pp F E D CB A 例 4 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 D 是抛物线的顶点 1 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标 2 请在直线 AC 上找一点 M 使 BDM 的周长最小 求出点 M 的坐标 图 1 例 5 如图 直线分别交 x 轴 y 轴于 C A 两点 将射线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45 得到 3 2 3 yx 射线 AN D 为 AM 上的动点 B 为 AN 上的动点 点 C 在 MAN 的内部 1 当 AM x 轴 且四边形 ABCD 为梯形时 求的面积 BCD 2 求 BCD 周长的最小值 3 当 BCD 的周长取得最小值 且时 求的面积 5 2 3 BD BCD A x y 1 O D 2 1 2 M N B 34 C A x y 1 O 2 1 2 34 C 备用图 A x y 1 O 2 1 2 34 C 备用图 例 6 在直角坐标系中 为四边形的 4 个顶点 当四边形 1 2A 4 1B 0C m D n n 的周长最短时 ABCD m n O y x A B C D 巩固 如图 1 抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点为 C 1 4 交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于点 D 其中点 B 的坐标为 3 0 1 求抛物线的解析式 2 如图 2 过点 A 的直线与抛物线交于点 E 交 y 轴于点 F 其中点 E 的横坐标为 2 若直线 PQ 为抛物线的对称轴 点 G 为直线 PQ 上的一动点 则 x 轴上师范存在一点 H 使 D G H F 四点所围成的四边形周长最小 若存在 求出这个最小值及点 G H 的坐标 若不 存在 请说明理由 图 13 AB x y O D C 图 2 AB x y O D C P Q E F AB x y O D C 例 7 已知 如图 1 二次函数的图像的顶点为 与轴交于两点 2 230yaxaxa a H x AB 在的右侧 点关于直线 对称 BA HB l 3 3 3 yx 1 求两点的坐标 并证明点在直线 上 AB Al 2 求二次函数的解析式 3 过点作交直线 于点 分别为直线和直线 上的两个动点 连结 BBKAH lK MN AHl 求的最小值 HNNMMK HNNMMK 图 1 y x l H K B OA 巩固 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 二次函数的图象与轴交于 1 0 2 3 2 yxbxc xA 3 0 两点 顶点为 BC 1 求此二次函数解析式 2 点为点关于 x 轴的对称点 过点作直线 交 BD 于点 E 过点作直 DCAl 33 33 yx B 线 交直线 于点 问 在四边形 ABKD 的内部是否存在点 P 使得它到四边形 ABKD BKADlK 四边的距离都相等 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 若 分别为直线和直线 上的两个动点 连结 MNADlDN 求和的最小值 NMMKDNNMMK 例 8 在平面直角坐标系中 矩形的顶点 O 在坐标原点 顶点 A B 分别在轴 OACBx 轴的正半轴上 D 为边 OB 的中点 y 3OA 4OB 若为边上的一个动点 当 的周长最小时 求点的坐标 E OACDE E 若 为边上的两个动点 且 当四边形的周长最小时 求点 的坐标 EF OA 2EF CDEF EF 巩固 已知点 A 3 4 点 B 的坐标为 1 1 时 在 x 轴上另取两点 E F 且 EF 1 线段 EF 在 x 轴上平移 线段 EF 平移至何处时 四边形 ABEF 的周长最小 求出此时点 E 的坐标 y B O D C AxE D y B O D C Ax 温馨提示 温馨提示 如图 可以作点 D 关于 x 轴的对称点 连接 与 轴交 D CD x 于点 E 此时 的周长是最小的 这CDE 样 你只需求出 的长 就可以确定点OE 的坐标了 E 例 9 已知直线与轴交于点 A 与轴交于点 D 抛物线与直线交于 1 1 2 yx y x 2 1 2 yxbxc A E 两点 与轴交于 B C 两点 且 B 点坐标为 1 0 x 1 求该抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上找一点 M 使的值最大 求出点 M 的坐标 AMMC 巩固 已知 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线与 x 轴 y 轴的交点分别为 A B 将 3 6 4 yx OBA 对折 使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上 折痕交 x 轴于点 C 1 直接写出点 C 的坐标 并求过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 设抛物线的对称轴与直线 BC 的交点为 T Q 为线段 BT 上一点 直接写出的取值 QAQO 范围 3 旋转 例 1 如图 已知在 ABC 中 BC a AC b 以 AB 为边作等边三角形 ABD 当 ACB 变化 且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时 求 CD 的最大值及相应的 ACB 的度数 例 2 如图 在平面直角坐标系中 点的坐标为 点在轴的正半轴上 xOy B 0 2 Dx30ODB 为 的中线 过 两点的抛物线与轴相交于 两点 在 OEBODBE 2 3 6 yaxxc xAFA 的左侧 F 1 求抛物线的解析式 2 点为三角形内的一个动点 设 请直接写出的最小值 以及 PABOmPAPBPO m 取得最小值时 线段的长 mAP E O GFA y xD B 巩固 已知矩形 在矩形内有一点 在边上有一点 分别确定点 ABCD 10AD 6ABABCDPBCH 和的位置 使得最小 PHAPDPPH H P D CB A AB C D 巩固 直角梯形中 在梯形内求作一点使于且 ABCD90BC O OQBC Q 的值最小 O OAD OQ Q O D CB A 二 垂线段最短 例 1 已知 是线段上任意一点 在的同侧分别以和为边作两个等边三角形 10AB PABABAPBP 和 则线段长度的最小值是 APC BPD CD P D C BA 例 2 如图 在锐角中 ABCA4 245ABBAC 的平分线交于点分别是和上 BAC BCDMN ADAB 的动点 则的最小值是 BMMN 巩固 矩形中 在 上各取一点 使的值最 ABCD20AB 10BC ACABMN BM MN 小 求这个最小值 A B C D N M N M D C B A 例 3 如图 在 ABC 中 AB 15 AC 12 BC 9 经过点C且与边AB相切的动圆与 CB CA 分别 相交于点 E F 则线段EF长度的最小值是 F E C B A 例 4 已知在的边上取一点 设和的外接圆的圆心分别是和 求 使两圆 ABCABCDABDAACDAO O 半径为最小值时点的位置 D D O O CB A 巩固 点在的边上 分别作和的外接圆 问当点在什么位置时 两外接 MABCAACABMACBMAM 圆公共部分的面积最小 M O O C B A 例 5 在已知内 作内接矩形 使一边在最大边上 另外两个顶点 分别在 ABCADEMNDEBCMN 边 上 试确定矩形的位置 使对角线长最短 ACABDEMNDM N M ED CB A 巩固 点在锐角的边上运动 试确定点的位置 使最小 并证明你的结论 PABCAP PA PB PC 例 6 如图 在平面直角坐标系中 开口向上的抛物线与x轴交于A B 两点 D为抛物线的顶点 O为坐标原点 若OAOB OAOB 的长分别是方程 2 430 xx 的两根 且 45DAB 1 求抛物线对应的二次函数解析式 2 过点A作AC AD 交抛物线于点C 求点C的坐标 3 在 2 的条件下 过点A任作直线l交线段CD于点P 求C D 到直线l的距离分别为 12 dd 试求 12 dd 的最大值 y c C c l x c B c P c D c O 例 7 在直角坐标系中 点 A 坐标为 3 2 圆 A 的半径为 1 P 为 x 轴上一动点 PQ 切圆 A 于点 Q 则当 PQ 最小时 P 点的坐标为 巩固 如图 在平面直角坐标系中 已知是等腰三角形 为底边 顶点的坐标是 OAB OBA 24 点在轴上 点的坐标是 轴于点 点是的中点 点是直线上的一动 Bx Q 60 ADx DCADPBC 点 1 求点的坐标 C 2 以点为圆心 为半径作圆 得到动圆 过点作的两条切线 切点分布为 问 P2PA Q PA EF 是否存在以为顶点的四边形的最小面积为 若存在 请求出的值 若不存在 OEPF SS 请说明理由 Q O y xD C B A 三 与圆相关的最值 1 过圆内任一点的弦中 最长的弦是直径 最短的弦是垂直于过该点的直径的弦 例 1 如图 的半径为 5 点到圆心的距离为 如果过点作弦 那 OPO 10 P 么长度为整数值的弦的条数为 2 设是 O 内一点 在连接与圆上各点的线段中 圆心所在线段最短 圆心在其反向延长线上的线 AA 段最长 设是 O 外一点 在连接与圆上各点的线段中 圆心所在线段最长 圆心在其延长线上的线 AA 段最短 例 1 在直线 MN 的同侧有定点 A 及定圆圆 试在 MN 上求一点 P 在圆上求一点 Q 使 OO 最短 APPQ A P Q O NM 例 2 点在图形上 点在图形上 记为线段长度的最大值 为线 PM Q N max dMN PQ min dMN 段长度的最小值 图形的平均距离 PQ MN maxmin 2 dMNdMN Ed MN 1 在平面直角坐标系中 是以为圆心 2 为半径的圆 且 xOy OAO 13 22 A 求及 直接写出答案即可 2 2 3B Ed AOA Ed BOA 2 半径为 1 的的圆心与坐标原点重合 直线与轴交于点 与轴 CAO 34 3 33 yx xD y 交于点 记线段为图形 求 FDFG Ed GCA 3 在 2 的条件下 如果的圆心从原点沿轴向右移动 的半径不变 且 CACxCA 求圆心的横坐标 5 2 Ed GC A C P O 3 过圆上点作割线的垂线段 当圆心在这垂线段上时 该点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点 例 1 已知 是中一条长为 4 的弦 是上一动点 问是否存在以 ABOAPOA 1 cos 3 APB 为顶点的面积最大的三角形 试说明理由 若存在 求出这个三角形的面积 APB 4 过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段 当圆心在这条垂线段上时 这点是圆上所有点与该直线距 离最长的点 当圆心在这条线段的反向延长线时 这点事圆上所有点与该直线距离最短的点 例 1 如图 AB 是半圆的直径 线段 CA AB 于点 A 线段 DB 上 AB 点 B AB 2 AC 1 BD 3 P 是半圆上的一个动点 则封闭图形 ACPDB 的最大面积是 O P D C B A 5 一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角 而这圆周角则大于该弧所对的圆外角 例 1 B 为的边上的两点 试在上求作一点 使最大 MON OMONCACB CN M O B A 例 2 如图所示 直线与线段为直径的圆相切于点 并交的延长线于点 且 CD ABDBAC2AB 点在切线上移动 当的度数最大时 则的度数为 1AD P CD APB ABP 四 转化类 例 1 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 点 P 为边 BC 上任意一点 可与 B 点或 C 点重合 分别过 B C D 作射线 AP 的垂线 垂足分别是 B C D 则 BB CC DD 的最大值为 最小值为 P D C B D C BA 巩固 在中 若的内切圆半径为 则的最大值为 ABCA120A 6BC ABCArr P OAC D B 例 2 已知抛物线经过 两点 当和时 这条抛物线上对 2 yaxbxc 43A 20B 3x 3x 应的纵坐标相等 经过点的直线 与轴平行 为坐标原点 C 02 lxO 1 求直线和这条抛物线的解析式 AB 2 以为圆心 为半径的圆记为圆 判断 A AO A 直线 与圆的位置关系 并说明理由 l A 3 设直线上的点的横坐标为 ABD1 是抛物线上的动点 当 P mn 2 yaxbxc 的周长最小时 求四边形的面积 PDO CODP 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中 O 的半径为 2 且 A 4 0 B 4 4 点 P 在 O 上运动 1 求 2BP AP 的最小值 2 若点 M 是函数 x 0