2011年高中数学 3.3《几何概型》学案 苏教版必修3

1 3 3 13 3 1 几何概型 几何概型 1 1 学习要求学习要求 1 了解几何概型的概念及基本特点 2 熟练掌握几何概型的概率公式 3 正确判别古典概型与几何概型 会进行简单的几何概率计算 课堂互动课堂互动 自学评价自学评价 试验 试验 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 剪得两段的 长都不小于1m的概率有多大 试验 试验 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心为金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直 径为 122cm 靶心直径为 12 2cm 运动员在 70m 外射 假设射箭都能中靶 且射中靶面内任 意一点都是等可能的 那么射中黄心的概率有多大 试验试验 3 3 有一杯 1 升的水 其中漂浮有 1 个微生物 用一个小杯从这杯水中取出 0 1 升 求小杯水中含有这个微生物的概率 分析 第一个试验 从每一个位置剪断都是一个基本事件 剪断位置可以是长度为 3m的绳子上的任意一点 第二个试验中 射中靶面上每一点都是一个基本事件 这一点可以是靶面直径为 122cm的大圆内的任意一点 第三个试验 微生物在这杯水中任何一滴都是一个基本事件 这一滴可以是这 1 升水中 的任何一滴 在这三个问题中 基本事件有无限多个 虽然类似于古典概型的 等可能性 但是显 然不能用古典概型的方法求解 几何概型的概念几何概型的概念 对于一个随机试验 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中每一点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内 的某个指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 用这种方法处理 随机试验 称为几何概型 几何概型的基本特点几何概型的基本特点 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 每个基本事件出现的可能性相等 几何概型的概率几何概型的概率 一般地 在几何区域D中随机地取一点 记事件 该点落在其内部一个区域d内 为事件A 则事件A发生的概率 d P A D 的测度 的测度 说明 D的测度不为0 其中 测度 的意义依D确定 当D分别是线段 平面图形 立体图形时 相应 的 测度 分别是长度 面积和体积 区域为 开区域 区域D内随机取点是指 该点落在区域内任何一处都是等可能的 落在任何部分 的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关 经典范例经典范例 2 例 1 某人午觉醒来 发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 求他等待的 时间不多于 10 分钟的概率 例 2 一海豚在水池中自由游弋 水池长 30m 宽 20m 的长方形 求此刻海豚嘴尖离岸小于 2m 的概率 例 3 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆 如图 随机地向正方形内丢一粒豆 子 求豆子落入圆内的概率 课堂小结 课堂小结 1 几何概型的意义也可以这样理解 向区域 G 中任意投掷一个点 M 点 M 落在 G 内的 部分区域 g 的概率 P 定义为 g 的度量与 G 的度量之比 即 g P 的度量 的度量G 2 我们可以通过实验计算圆周率 的近似值 实验如下 向如图所示的圆内投掷n个质点 计算圆的内接正方形中的质点数为m 由几何概型公式可知 2Sm nS 正方形 圆 即 2n m 课堂训练课堂训练 1 若 2 2 2 2 xy 则点 x y在圆面 22 2xy 内的概率是多少 2 靶子由三个半径分别为 R 2R 3R 的同心圆组成 如果你向靶子随机地掷 一个飞镖 命中半径分别为 R 区域 2R 区域 3R 区域的概率分别为 123 P P P 则 P1 P2 P3 3 在 1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子 从中随机取出 10mL 含有麦锈病种子的概 30m 2 m 20m 3 率是多少 4 在数轴上 设点 x 3 3 中按均匀分布出现 记 a 1 2 为事件 A 则 P A 5 在正方形 ABCD 内随机取一点 P 求 APB 90 的概率 APB 90 课后作业 7 3 27 3 2 几何概型几何概型 第第 3636 课时课时 学习要求学习要求 1 能运用模拟的方法估计概率 掌握模拟估计面积的思想 2 熟练运用几何概型解决关于时间类型问题 复习回顾复习回顾 1 几何概型的特点 有一个可度量的几何图形 S 试验 E 看成在 S 中随机地投掷一点 事件 A 就是所投掷的点落在 S 中的可度量图形 A 中 2 几何概型的概率公式 3 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件的发生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几何概型要求基本事件有无限多个 4 几何概型问题的概率的求解 1 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆公共汽车通过 乘客到 达汽车站的任一时刻都是等可能的 求乘客等车不超过 3 分钟 的概率 2 如图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 经典范例经典范例 例例 1 1 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点 M 求AM小于AC的概率 测度 为长度 分析分析 点M随机地落在线段AB上 故线段AB为区域 D 当点M位于图335 中线段 AC内时 AMAC 故线段 AC即为区域d 例 2 抛阶砖游戏 抛阶砖 是国外游乐场的典型游戏之一 参与者只须将 手上的 金币 设 金币 的直径为 r 抛向离身边若干 距离的阶砖平面上 抛出的 金币 若恰好落在任何一个 阶砖 边长为 a 的正方形 的范围内 不与阶砖相连的线 重叠 便可获奖 问 参加者获奖的概率有多大 练习练习 有一个半径为5的圆 现在将一枚半径为1硬币向圆投去 如果不考虑硬币完全落在 A P A 构成事件的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 4 圆外的情况 试求硬币完全落入圆内的概率 解解 例 3 会面问题 甲 乙二人约定在 12 点到 17 点之间在某地会面 先到者等一个小时 后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的 概率 变式题 假设你家订了一份报纸 送报人可能在早上 6 30 7 30 之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上 7 00 8 00 之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为 事件 A 的概率是多少 例 4 在一个圆上任取三点 A B C 求能构成锐角三角形的概率 练一练 1 已知地铁列车每 10min 一班 在车站停 1min 求乘客到达站台立即乘上车的概率 2 在线段 AD 上任意取两个点 B C 在 B C 处折断此线段 而得三折线 求此三折线能构 成三角形的概率 3 在区间 10 20 内的所有实数中 随机取一个实数a 则这个实数13a 的概率是 4 在一