山东省临清市高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程教学案 新人教版选修1-1

用心 爱心 专心 2 3 12 3 1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 一 学习目标 1 掌握抛物线的定义 几何图形 会推导抛物线的标准方程 2 能够利用给定条件求抛物线的标准方程 3 通过 观察 思考 探究 与 合作交流 等一系列数学活动 培养学生 观察 类比 分析 概括的能力以及逻辑思维的能力 使学生学会数学思考与推理 学会 反思与感悟 形成良好的数学观 并进一步感受坐标法及数形结合的思想 二 学习重点 抛物线的定义及标准方程 三 学习难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导 关键是坐标系方案的选择 四 学习过程 一 复习旧知 一 复习旧知 在初中 我们学习过了二次函数 知道二次函数的图象是一条抛物线 2 yaxbxc 例如 1 2 的图象 自己画出函数图像 2 4yx 2 4yx 二 学习新课 二 学习新课 1 1 抛物线的定义抛物线的定义 探究探究 1 1 观察抛物线的作图过程 探究抛物线的定义 抛物线的定义 思考思考 若 F 在 上呢 学生思考 讨论 画图 l 2 2 抛物线的标准方程抛物线的标准方程 要求抛物线的方程 必须先建立直角坐标系 探究探究 2 2 设焦点 F 到准线 的距离 为 你认为应该如何选择坐标系求抛物线的l 0 p p 方程 按照你建立直角坐标系的方案 求抛物线的方程 用心 爱心 专心 讨论讨论 小组讨论建系方案及其对应的方程 你认为哪种建系方案使方程更简单 推导过程 我们把方程我们把方程叫做抛物线的标准方程 它表示的抛物线的焦点坐标是叫做抛物线的标准方程 它表示的抛物线的焦点坐标是 2 2 0 ypx p 准线方程是 准线方程是 0 2 p 2 p x 在建立椭圆 双曲线的标准方程的过程中 选择不同的坐标系得到了不同形式的标准 方程 对于抛物线 当我们选择如图三种建立坐标系的方法 我们也可以得到不同形式的 抛物线的标准方程 学生分前两排 中间两排 后面两排三组分别计算三种情况 一起填充表格 图形标准方程焦点坐标准线方程 三三 例题例题 例 1 1 已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程 2 6yx 2 已知抛物线的焦点是 求它的标准方程 0 2F 解 用心 爱心 专心 变式训练 1 1 已知抛物线的准线方程是x 求它的标准方程 4 1 2 已知抛物线的标准方程是 2y2 5x 0 求它的焦点坐标和准线方程 解 例 2 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0 的距离小 1 求点M的轨迹方程 解 变式训练 2 在抛物线y2 2x上求一点P 使P到焦点F与到点A 3 2 的距离之和最小 解 用心 爱心 专心 四四 小结小结 1 抛物线的定义 2 抛物线的四种标准方程 3 注意抛物线的标准方程中的字母 P 的几何意义 五五 课后练习课后练习 1 抛物线y2 ax a 0 的准线方程是 A B x C D x 4 a x 4 a 4 a x 4 a 2 抛物线 m 0 的焦点坐标是 2 1 x m y A 0 或 0 B 0 4 m 4 m 4 m C 0 或 0 D 0 m4 1 m4 1 m4 1 3 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 0 3 2 焦点到准线的距离是 2 4 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 8y 0 5 点M到点 0 8 的距离比它到直线y 7 的距离大 1 求M点的轨迹方程 用心 爱心 专心 学校 临清一中 学科 数学 编写人 赵春燕 审稿人 张林 2 3 12 3 1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 一 教学目标 1 掌握抛物线的定义 几何图形 会推导抛物线的标准方程 2 能够利用给定条件求抛物线的标准方程 3 通过 观察 思考 探究 与 合作交流 等一系列数学活动 培养学生 观察 类比 分析 概括的能力以及逻辑思维的能力 使学生学会数学思考与推理 学会 反思与感悟 形成良好的数学观 并进一步感受坐标法及数形结合的思想 二 教学重点 抛物线的定义及标准方程 三 教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导 关键是坐标系方案的选择 四 教学过程 一 复习旧知 一 复习旧知 在初中 我们学习过了二次函数 知道二次函数的图象是一条抛物线 2 yaxbxc 例如 1 2 的图象 展示两个函数图象 2 4yx 2 4yx 二 讲授新课 二 讲授新课 1 1 课题引入课题引入 在实际生活中 我们也有许多的抛物线模型 例如 1965 年竣工的密西西比河河畔的萨 尔南拱门 它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物 到底什么样的 曲线才可以称做是抛物线 它具有怎样的几何特征 它的方程是什么 呢 这就是我们今天要研究的内容 板书 课题 2 4 1 抛物线及其标 准方程 2 2 抛物线的定义抛物线的定义 信息技术应用信息技术应用 课堂中展示画图过程 先看一个实验 如图 点 F 是定点 是不经过点 F 的定直线 H 是 上任意一点 ll 过点 H 作 线段 FH 的垂直平分线交 MH 于点 M 拖动点MHl m H 观察点 M 的轨迹 你能发现点 M 满足的几何条件吗 学生观察画图过程 并讨论 可以发现 点 M 随着 H 运动的过程中 始终有 MH MF 即点 M 与定点 F 和定直线 的距离相等 也可以用几何画板度量 MH MF 的值 l 定义引入 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 不经过点 F 距离相等的点的轨迹叫做ll 抛物线 点 F 叫做抛物线的焦点 直线 叫做抛物线的准线 板书 l 用心 爱心 专心 思考思考 若 F 在 上呢 学生思考 讨论 画图 l 此时退化为过 F 点且与直线 垂直的一条直线 l 3 3 抛物线的标准方程抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道 抛物线上的点满足到焦点 F 的距离与到准线 的 M x yl 距离相等 那么动点的轨迹方程是什么 即抛物线的方程是什么呢 M x y 要求抛物线的方程 必须先建立直角坐标系 问题问题 设焦点 F 到准线 的距离为 你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程 l 0 p p 按照你建立直角坐标系的方案 求抛物线的方程 引导学生分组讨论 回答 并不断补充常见的几种建系方法 叫学生应用投影仪展示 计算结果 1 12 23 3 22 2 0 ypxpp 22 2 0 ypxpp 2 2 0 ypx p 注意 1 标准方程必须出来 此表格在黑板上板书 2 若出现比较复杂建系方案 可以以引入的字母参数较多为由 先排除计算 3 强调 P 的意义 4 教师说明曲线方程与方程的曲线 从上述过程可以看到 抛物线上任意一点的坐 标都满足方程 以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等 x y 即方程的解为坐标的点都在抛物线上 所以这些方程都是抛物线的方程 选择标准方程 选择标准方程 师 观察 4 3 个建系方案及其对应的方程 你认为哪种建系方案使方程更简单 学生选择 说明 1 对称轴 2 焦点 3 方程无常数项 顶点在原点 推导过程 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴 x轴与l交于 K 以线段 KF的垂直 平分线为y轴建立直角坐标系 如右图所示 则有F 0 l的方程为x 2 p 2 p 设动点M x y 由抛物线定义得 2 2 22 p xy p x 化简得y2 2px p 0 师 我们把方程 我们把方程叫做抛物线的标准方程 它表示的叫做抛物线的标准方程 它表示的 2 2 0 ypx p 用心 爱心 专心 抛物线的焦点坐标是抛物线的焦点坐标是 准线方程是 准线方程是 0 2 p 2 p x 师 在建立椭圆 双曲线的标准方程的过程中 选择不同的坐标系得到了不同形式的标准 方程 对于抛物线 当我们选择如图三种建立坐标系的方法 我们也可以得到不同形式的 抛物线的标准方程 学生分前两排 中间两排 后面两排三组分别计算三种情况 一起填充表格 图形标准方程焦点坐标准线方程 y2 2px p 0 0 2 p x 2 p y2 2px p 0 0 2 p x 2 p x2 2py p 0 0 2 p y 2 p x2 2py p 0 0 2 p y 2 p 三三 例题讲解例题讲解 例 1 1 已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程 2 6yx 2 已知抛物线的焦点是 求它的标准方程 0 2F 解 1 抛物线方程为y2 6x p 3 则焦点坐标是 0 准线方程是x 2 3 2 3 2 焦点在y轴的负半轴上 且 2 p 4 2 p 则所求抛物线的标准方程是 x2 8y 变式训练 1 1 已知抛物线的准线方程是x 求它的标准方程 4 1 2 已知抛物线的标准方程是 2y2 5x 0 求它的焦点坐标和准线方程 解 1 焦点是F 0 3 抛物线开口向上 且 3 则p 6 2 p 用心 爱心 专心 所求抛物线方程是x2 12y 2 抛物线方程是 2y2 5x 0 即y2 x p 2 5 4 5 则焦点坐标是F 0 准线方程是x 8 5 8 5 例 2 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0 的距离小 1 求点M的轨迹方程 解 如右图所示 设点M的坐标为 x y 由已知条件可知 点M与点F的距离等于它到直线x 4 0 的距离 根据 抛物线的定义 点M的轨迹是以F 4 0 为焦点的抛物线 4 p 8 2 p 因为焦点在x轴的正半轴上 所以点M的轨迹方程为y2 16x 变式训练 2 在抛物线y2 2x上求一点P