指定功率的白噪声的产生方案

随机信号课程设计 随机信号课程设计随机信号课程设计 杜华贵 2014020906002 起 超 2014020906011 刘 越 2014020906009 胡 谦 2014020906005 徐 涛 2014020906022 李盼辉 2014020906007 一 题目 题目 设计指定功率为 20 的白噪声产生方案并实现 分析 白噪声过程是服从一定分布的随机过程 它的特点是功率谱密度为常数 平稳 白噪声过程均值为零 自相关函数在 t 0 处为一个冲击 功率谱函数在整个频率范围内是 常数 因为其均值为零 所以方差在数值上等于功率 实际上 白噪声都是理想模型 在 模拟系统中不可能存在 所以我们利用混合同余法生成随机数的方法产生一个无限近似的 白噪声 为了分析简单方便 易于理解 利用混合同余法产生一个服从 X U 的白 33 噪声 其均值为 0 方差和功率为 1 二 原理 原理 产生随机数的方法是先用一定的方法产生 0 1 均匀分布的随机数 然后通过一个适当 的变换就可以得到符合某一概率模型的随机数 常用的产生 0 1 均匀分布的随机数的方法 有乘同余法和混合同余法 运用混合同余法产生在 均匀分布的随机数 通过调整种子数 乘子和随机数 33 序列的长度 可以优化使其分布更加接近 X U 并通过 MATLAB 编程实现其随机 33 分布 计算并绘制出自相关函数 功率谱密度 概率密度曲线的图像 混合同余法介绍 混合同余法介绍 通过同余运算生成伪随机数的方法称为同余法 常用的同余法包括加同余法 乘同余 法 混合同余法 除同余法 其中乘同余法和混合同余法的性能更好 有速度快 内存省 周期长 统计特性好等优点 混合同余法是 Lehmer 在 1951 年提出的 其迭代公式为 MERGEFORMAT 1 1 1 mod nn XAXC M MERGEFORMAT 1 2 Y X nn M 公式 MERGEFORMAT 1 1 MERGEFORMAT 1 2 中 mod 表示求余函数 均为正整数 其中是模数 是乘子 是增量 为初始值 C MAMAC 0 X 即种子数 当时 称此算法为乘同余法 若 则称算法为混 0 0XM 0C0C 合同余法 当取不为零的适当数值时 有一些优点 但优点并不突出 故常取 C 0C 是在内服从均匀分布的随机变量 则是在内服从均匀分布的随机变量 n X 0 M n Y 0 1 式中的取值并不是随意的 模大小是发生器周期长短的主要标志 常见有 0 XA C MM 为素数 取为的原根 则周期 试验统计表明 用以下参数进行混合同MAM 1T M 随机信号课程设计 余法产生的随机序列的统计特性较好 1 3 20 1 X mod 2045X 1 2 nn 混合同余法产生的随机序列具有以下特点 重复周期较小 由于取值在内 其周期 受的 n X n X 0 MTM T 0 XA C M 值的影响 在编程实现时 浮点运算也会对产生影响T 用此方法产生的随机序列 在一个周期内任意两个随机数不可能相等 这往往与实际 情况不相符 经 Hull 和 Dobell 证明 只有满足以下一些关系才能实现周期最大化 0 XA C M 即 条件如下 T M 与互质 或互素 即它们的最大公约数为 1 CM 设为某一质数 分别能被和 4 整除 且能被和 4 整除qMq A 1q 产生具有最大周期的伪随机序列的混合同余法算法为 1 4 1 mod 4a 1 2c 1 2 k nn XX 1 5 Y X 2k nn 由于时 只有一个素数因子 2 且 4 也是的因子 此时 2 2 k Mk MM 4 1Aa 正好满足了的第二个条件 而此时刚好与互质 即满足的第一个 T M 2 1CcM T M 条件 三 验证方案 三 验证方案 根据白噪声定义和特性 其均值为 0 功率谱密度为常数 方差等于功率 其自相关 函数在 0 处为一个冲击 所以我们需要验证其均值 功率谱密度和自相关函数即可验证其 分布 四 流程图 四 流程图 随机信号课程设计 图 1 五 源程序 五 源程序 a input 请输入所要指定的功率 a 混合同余法产生 3 0 5 到 3 0 5 的均匀分布 n 7340 随机数长度 x zeros 1 n 分配存储空间 x 1 224 设定种子数 y zeros 1 n 1 for i 2 n 循环产生 0 1 均匀分布的随机数 x i mod 2045 x i 1 1 2 20 y i 1 x i 2 20 end y y 2 3 0 5 3 0 5 对 0 1 均匀分布变换 使其均值为零 方差为 1 通过变换生成功率为 a 的白噪声 X a 1 2 y 功率为 a 的白噪声 因为均值为 0 时域特性曲线 figure 1 plot X title 时域特性曲线 xlabel 时间 t ylabel 幅度 A 概率密度函数 figure 2 k1 n1 ksdensity X plot n1 k1 title 概率密度函数 xlabel X ylabel 幅度 自相关函数 figure 3 r1 lags xcorr X plot lags r1 title 自相关函数特性曲线 xlabel 时间 t ylabel Rx t 功率谱密度 f1 fft X 7340 p1 mean f1 conj f1 7340 figure 4 plot 1 7340 abs p1 bo MarkerSize 3 title 功率谱函数 xlabel 频率 Hz ylabel 幅度 Sx f m1 mean X 求变换后序列的均值 随机信号课程设计 D1 var X 求变换后序列的方差 figure 5 验证白噪声 hist X title 白噪声频率统计图 生成的白噪声的频率统计图 求其实际产生的功率 P m1 m1 D1 六 实验结果 六 实验结果 输入指定功率 a 20 时的实验结果如下 时域特性曲线 figure 1 plot X title 时域特性曲线 xlabel 时间 t ylabel 幅度 A 010002000300040005000600070008000 8 6 4 2 0 2 4 6 8 关 关 关 关 关 关 关 关 关 t关 关 关 A 图 2 概率密度函数 figure 2 k1 n1 ksdensity X plot n1 k1 title 概率密度函数 xlabel X ylabel 幅度 随机信号课程设计 10 8 6 4 20246810 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 关 关 关 关 关 关 X 关 关 图 3 自相关函数 figure 3 r1 lags xcorr X plot lags r1 title 自相关函数特性曲线 xlabel 时间 t ylabel Rx t 8000 6000 4000 200002000400060008000 2 0 2 4 6 8 10 12 x 10 4 关 关 关 关 关 关 关 关 关 关 关 关 t关 Rx t 图 4 功率谱密度 f1 fft X 7340 p1 mean f1 conj f1 7340 figure 4 plot 1 7340 abs p1 bo MarkerSize 3 title 功率谱函数 xlabel 频率 Hz ylabel 幅度 Sx f 随机信号课程设计 010002000300040005000600070008000 13 13 5 14 14 5 15 15 5 关 关 关 关 关 关 关 Hz 关 关 Sx f 图 5 figure 5 验证白噪声 hist X title 白噪声频率统计图 生成的白噪声的频率统计图 8 6 4 202468 0 100 200 300 400 500 600 700 800 关 关 关 关 关 关 关 关 图 6 运行结果如下 随机信号课程设计 图 7 六 结果分析 六 结果分析 利用混合同余法产生了 X U 分布 其概率密度曲线近似为 X U 分 33 33 布的曲线 均值 方差为常数 自相关函数在 t 0 处有一个冲击 功率谱密度为常数 对该均值为零 方差为 1 即功率 的均匀分布进行标准化与反标准化变换 可以实 现产生任意指定功率的白噪声 由以上实验结果知 指定功率 a 20 时 产生的白噪声的时 域分布为图 2 概率密度曲线为图 3 自相关函数图像为图 4 功率谱密度函数图像为图 5 由图 7 的实验结果可知 通