导数的应用(导数好题解析版)

导数的应用 教学目标教学目标 掌握导数应用的题型 总结归纳解题方法 教学重点及相应策略教学重点及相应策略 导数应用求解函数的单调区间 极值最值和恒成立问题 分析相关题型进行 分类总结 教学难点及相应策略教学难点及相应策略 导数应用求解函数的单调区间 极值最值和恒成立问题 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式 举一反三 掌握典型例题的典型方法 教学方法建议教学方法建议 在掌握导数求导的前提下 熟悉并掌握导数应用的题型 典型例题与课本 知识相结合 精讲精练 复习与总结同时进行 逐步掌握导数应用的方法 课堂精讲例题课堂精讲例题搭配课堂训练题搭配课堂训练题课后作业课后作业 A 类 3 道 3 道 10 道 B 类 5 道 3 道 10 道 选材程度及数量选材程度及数量 C 类 3 道 3 道 10 道 知识梳理知识梳理 1 函数的单调性 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间 0fx yf x 内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 如果 0fx yf x 0fx 那么函数在这个区间上是常数函数 yf x 注 函数在 a b 内单调递增 则 是在 a b yf x 0fx 0fx yf x 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为 正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 一般地 当函数 yf x 在点 0 x 处连续时 判断 0 f x 是极大 小 值的方法是 1 如果在 0 x 附近的左侧 0fx 右侧 0fx 那么 0 f x 是极大值 2 如果在 0 x 附近的左侧 0fx 右侧 0fx 那么 0 f x 是极小值 注注 导数为 0 的点不一定是极值点 知识点一 导数与函数的单调性知识点一 导数与函数的单调性 方法归纳 方法归纳 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 0fx yf x 那么函数在这个区间内单调递减 如果 那么函数 0fx yf x 0fx 在这个区间上是常数函数 yf x 注 函数在 a b 内单调递增 则 是在 a b yf x 0fx 0fx yf x 内单调递增的充分不必要条件 例 1 B 类 2011 朝阳期末 已知函数 32 f xxbxcxd 的图象过点 0 2 P 且在点 1 1 Mf 处的切线方程为076 yx 求函数 xfy 的解析式 求函数 xfy 的单调区间 解题思路 注意切点既在切线上 又原曲线上 函数在区间上递增可得 f x a b 函数在区间上递减可得 0fx f x a b 0fx 解析 由 xf的图象经过 0 2 P 知2d 所以 32 2f xxbxcx 所以 2 32fxxbxc 由在 1 1 Mf 处的切线方程是670 xy 知6 1 70f 即 1 1f 1 6f 所以 326 121 bc bc 即 23 0 bc bc 解得3bc 故所求的解析式是 32 332f xxxx 因为 2 363fxxx 令 2 3630 xx 即 2 210 xx 解得 1 12x 2 12x 当 12x 或 12x 时 0fx 当1 212x 时 0fx 故 32 332f xxxx 在 12 内是增函数 在 1 2 12 内是减函数 在 1 2 内是增函数 例 2 A 类 若在区间 1 1 上单调递增 求的取值范围 3 f xaxx a 解题思路 利用函数在区间上递增可得 函数在区间 f x a b 0fx f x 上递减可得 得出恒成立的条件 再利用处理不等式恒成立的方法获解 a b 0fx 解析 又在区间 1 1 上单调递增 2 31fxax f x 在 1 1 上恒成立 即在 1 1 时恒成立 2 310fxax 2 1 3 a x x 故的取值范围为 1 3 a a 1 3 例 3 B 类 已知函数 设 lnf xx 0 a g xa x F xf xg x 求函数的单调区间 F x 若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率 0 3 yF x x 00 P xy 恒成立 求实数的最小值 1 2 k a 解题思路 注意函数的求导法则 注意对数函数定义域 在某点处的切线的斜率为该点的导 数值 解析 I ln0 a F xf xg xxx x 22 1 0 axa Fxx xxx 由 在上单调递增 0a 0 Fxxa F x a 由 在上单调递减 00 Fxxa F x 0 a 的单调递减区间为 单调递增区间为 F x 0 a a II 2 03 xa Fxx x 恒成立 0 0 2 0 03 xa kFxx x 2 00 max 1 2 axx 当时 取得最大值 0 1x 2 00 1 2 xx 1 2 amin 1 2 a 1 2 课堂练习 1 B 类 山东省烟台市 2011 届高三上学期期末考试试题 数学文 已知函数 32 f xaxbx 的图像经过点 1 4 M 曲线在点M处的切线恰好与直线90 xy 垂 直 求实数 a b的值 若函数 f x在区间 1 m m 上单调递增 求m的取值范围 解题思路 两条直线垂直斜率互为负倒数 在区间 1 m m 上单调递增 即 1 m m 为函数的递增区间的子集 解析 32 f xaxbx 的图象经过点 1 4 M 4ab 2 32fxaxbx 1 32fab 由已知条件知 1 1 1 9 f 即329ab 解 4 329 ab ab 得 1 3 a b 由 知 32 3f xxx 2 36fxxx 令 2 360fxxx 则2x 或0 x 函数 f x在区间 1 m m 上单调递增 1 2 0 m m 0m 或12m 即0m 或3m 2 B 类 设函数 在其图象上一点 P x y 处的切 2 1 3 1 22 Rbabxaxxxg 线的斜率记为 xf 1 若方程的表达式 420 xfxf求和有两个实根分别为 2 若的最小值 22 3 1 baxg 求上是单调递减函数在区间 解题思路 注意一元二次方程韦达定理的应用条件 在区间 1 3 上单调递减 即导函数在 相应区间上恒小于等于 0 再者注意目标函数的转化 解析 1 根据导数的几何意义知baxxxgxf 2 由已知 2 4 是方程的两个实根0 2 baxx 由韦达定理 82 8 2 42 42 2 xxxf b a b a 2 在区间 1 3 上是单调递减函数 所以在 1 3 区间上恒有 xg 93 1 93 1 0 3 0 1 3 1 0 0 22 22 方内的点到原点距离的平可视为平面区域而 也即即可这只需满足 恒成立在即 ab ba ba ab ba f f baxxxfbaxxxgxf 其中点 2 3 距离原点最近 所以当有最小值 13 22 3 2 ba b a 时 3 A 类 已知函数 2 1 ln 1 2 f xxmxmx m R 当 0m 时 讨论函数 f x 的单调性 解题思路 注意函数的定义域 在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论 解析 2 1 1 1 mxmxmxxm fxxm xxx 1 当10m 时 若 0 0 xmfxf x 时为增函数 1 0 xmfxf x 时为减函数 1 0 xfxf x 时为增函数 2 当1m 时 0 1 0 xfxf x 时为增函数 1 0 xmfxf x 时为减函数 0 xmfxf x 时为增函数 知识点二知识点二 导数与函数的极值最值导数与函数的极值最值 方法归纳 方法归纳 1 求函数的极值的步骤 1 确定函数的定义域 求导数 fx 2 求方程 0fx 的根 3 用函数的导数为 0 的点 顺次将函数的定义域分成若干小开区间 并列成表格 检查 fx 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么在这个根处取得极大值 如果 xf 左负右正 那么在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么在这个根 xf xf 处无极值 2 求函数在 a b 上最值的步骤 1 求出在上的极值 f x a b 2 求出端点函数值 f af b 3 比较极值和端点值 确定最大值或最小值 注 可导函数 yf x 在 0 xx 处取得极值是 0 0fx 的充分不必要条件 例 4 A 类 若函数在处取得极值 则 1 cossin2 2 f xmxx 4 x m 解题思路 若在附近的左侧 右侧 且 那么是 0 x 0 fx 0fx 0 0fx 0 f x 的极大值 若在附近的左侧 右侧 且 那么 f x 0 x 0 fx 0 fx 0 0fx 是的极小值 0 f x f x 解析 因为可导 且 所以 f x sincos2fxmxx sincos0 442 fm 解得 经验证当时 函数在处取得极大值 0m 0m 1 sin2 2 f xx 4 x 注 若是可导函数 注意是为函数极值点的必要条件 要确定 f x 0 0fx 0 x f x 极值点还需在左右判断单调性 0 x 例 5 B 类 2011 北京文 18 已知函数 x f xxk e I 求 f x 的单调区间 II 求 f x 在区间 0 1 上的最小值 解题思路 注意求导的四则运算 注意分类讨论 解析 I 1 x fxxke 令 01fxxk 所以 f x 在 1 k 上递减 在 1 k 上递增 II 当 10 1kk 即 时 函数 f x 在区间 0 1 上递增 所以 min 0 f xfk 当0 1 1k 即1 2k 时 由 I 知 函数 f x 在区间 0 1k 上递减 1 1 k 上递增 所以 1 min 1 k f xf ke 当 11 2kk 即 时 函数 f x 在区间 0 1 上递减 所以 min 1 1 f xfk e 例 6 B 类 设 1 2xx 是函数的两个极值点 lnf xaxbxx 1 试确定常数 a 和 b 的值 2 试判断 1 2xx 是函数 f x 的极大值点还是极小值点 并求相应极值 解析 1 21 a fxbx x 由已知得 210 10 1 20410 2 ab f fab 2 3 1 6 a b 2 x变化时 的变化情况如表 fxf x x 0 1 1 1 2 2 fx 0 0 f x 极小值极大值 故在 1x 处 函数 f x 取极小值 5 6 在2x 处 函数 f x 取得极大值 42 ln2 33 课堂练习 4 A 类 2011 江西理 19 设 axxxxf2 2 1 3 1 23 若 xf 在 3 2 上存在单 调递增区间 求a的取值范围 解题思路 在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值 解析 xf 在 3 2 上存在单调递增区间 即存在某个子区间 3 2 nm 使得 0 xf 由 axaxxxf2 4 1 2 1 2 22 xf 在区间 3 2 上单调递减 则只需 0 3 2 f 即可 由 02 9 2 3 2 af 解得 9 1 a 所以 当 9 1 a 时 xf 在 3 2 上存在单调递增区间 5 B 类 2011 陕西文 21 设 lnf xx g xf xfx 1 求 g x 的单调区间和最小值 2 讨论 g x 与 1 g x 的大小关系 解题思路 1 先求出原函数 f x 再求得 g x 然后利用导数判断函数的单调性 单调区间 并求出最小值 2 作差法比较 构造一个新的函数 利用导数判断函数 的单调性 并由单调性判断函数的正负 3 对任意x 0 成立的恒成立问题转化为函数 g x 的最小值问题 解 1 由题设知 1 ln lnf xx g xx x 2 1 x g x x 令 g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 g x 是减函数 故 0 1 是 g x 的单调减区间 当x 1 时 g x 0 g x 是增函数 故 1 是 g x 的单调递增区间 因此 x 1 是 g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以 g x 的最小值 为 1 1 g 2 1 lngxx x 设 11 lnh xg xgxx xx 则 2 2 1 x h x x 当 1x 时 1 0h 即 1 g xg x 当 0 1 1 x 时 0h x 因此 h x 在 0 内单调递减 当0 1x 时 1 0h xh 即 1 g xg x 6 C 类 2011 全国 文 20 已知函数 32 3 36 124 f xxaxa xaaR 证明 曲线 0yf xx 在 2 2 的切线过点 若 00 1 3 f xxxx 在处取得极小值 求a的取值范围 解题思路 在某点处取得极值可得 0 0fx 解析 2 36 36 fxxaxa 0 36fa 又 0 124fa 曲线 0yf xx 在 的切线方程是 124 36 yaa x 在上式中令 2x 得 2y 所以曲线 0yf xx 在 2 2 的切线过点 由 0fx 得 2 21 20 xaxa i 当 2121a 时 f x 没有极小值 ii 当 21a 或 21a 时 由 0fx 得 22 12 21 21xaaaxaaa 故 02 xx 由题设知 2 1213aaa 当 21a 时 不等式 2 1213aaa 无解 当 21a 时 解不等式 2 1213aaa 得 5 21 2 a 综合 i ii 得a的取值范围是 5 21 2 例 7 A 类 当时 求证0 x 1 x ex 解题思路 先移项 再证左边恒大于 0 解析 设函数 1 x f xex 1 x fxe 当时 故在递增 当0 x 0 1 x ee 10 x fxe f x 0 时 又 即 故0 x 0 f xf 0 0 1 0 0fe 0f x 1 0 x ex 1 x ex 注 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数 往往构造函数 借助于函数的单调性 来证明 例 8 C 类 2010 辽宁文 已知函数 2 1 ln1f xaxax 讨论函数 f x的单调性 设2a 证明 对任意 12 0 x x 1212 4 f xf xxx 解题思路 利用导数考察函数的单调性 注意对数求导时定义域 第二问构造函数证明函 数的单调性 解析 f x 的定义域为 0 2 121 2 aaxa fxax xx 当 a 0 时 fx 0 故 f x 在 0 单调增加 当 a 1 时 fx 0 故 f x 在 0 单调减少 当 1 a 0 时 令 fx 0 解得 x 1 2 a a 当 x 0 1 2 a a 时 fx 0 x 1 2 a a 时 fx 0 故 f x 在 0 1 2 a a 单调增加 在 1 2 a a 单调减少 不妨假设 x1 x2 由于 a 2 故 f x 在 0 单调减少 所以 1212 4f xf xxx 等价于 1212 44f xf xxx 即 2211 4 4f xxf xx 令 4g xf xx 则 1 2 a g xax x 4 2 241axxa x 于是 g x 2 441xx x 2 21 x x 0 从而 g x 在 0 单调减少 故 12 g xg x 故对任意 x1 x2 0 1212 4f xf xxx 例 9 C 类 设函数 2 f xxax aR 若为函数的极值点 求实数 1x yf x a 求实数的取值范围 使得对任意的 恒有 4 成立 ax 2 f x 解析 3 axaxxf 0 3 1 1 aaf 或 检验知符合题意1 a3 a 在 时恒成立 2 4xax x 2 当时 显然恒成立0 x 当时 由得在 时恒成立02x 2 4xax x xa 2 x 0 2 在 时恒成立 22 xax xx x 0 2 令 22 0 2 g xxh xxx xx 在单调递增 x xxg 2 0 2 max 2 22g xg xx xx xx xh 11 1 时 单调递减 时单调递增10 x xh12x xh 3 1 min hxh223a 课堂练习课堂练习 7 C 类 已知函数 xaxxfln1 Ra 3 求 f x 的单调区间 4 证明 ln x0 f x 在上递增0a fx 0 当时 令得解得 0a 21xa x 222 440 xa xa 因 舍去 故在 2222 12 221 221xaa axaa a 1 0 x 上0 f x 22 0 221 aa a fx 22 221 aa a fx 递增 2 由 1 知在内递减 在内递增 1lng xxx 0 22 2 22 2 min 22 2 12ln 22 2 g xg 故 又因1ln12ln 22 2 xx 2 22 25e 故 得 2 12ln 22 2 12ln210e 1lnxx 8 C 类 全国 卷理 20 已知函数 1 ln1f xxxx 若 2 1xfxxax 求a的取值范围 证明 1 0 xf x 解题思路 本小题主要考查函数 导数 不等式证明等知识 通过运用导数知识解决函数 不等式问题 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力 同时也考查了函 数与方程思想 化归与转化思想 解析 11 ln1ln x fxxx xx ln1xfxxx 题设 2 1xfxxax 等价于ln x xa 令 lng xxx 则 1 1g x x 当0 1x 0g x 当 1x 时 0g x 1x 是 g x 的最大值点 1 1g xg 综上 a的取值范围是 1 有 知 1 1g xg 即ln 1 0 xx 当0 1x 时 1 ln1ln ln1 0f xxxxxxxx 当 1x 时 ln ln1 f xxxxx 1 ln ln1 xxx x 11 ln ln1 xx xx 0 所以 1 0 xf x 9 C 类 设函数 32 1 1 424 3 f xxa xaxa 其中常数 a 1 讨论 f x 的单调性 若当 x 0 时 f x 0 恒成立 求 a 的取值范围 解题思路 本题考查导数与函数的综合运用能力 涉及利用导数讨论函数的单调性 第 一问关键是通过分析导函数 从而确定函数的单调性 第二问是利用导数及函数的最值 由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围 解析 I 2 2 4 1 2 2 axxaxaxxf 由1 a知 当2 x时 0 x f 故 xf在区间 2 是增函数 当ax22 时 0 x f 故 xf在区间 2 2 a是减函数 当ax2 时 0 x f 故 xf在区间 2 a是增函数 综上 当1 a时 xf在区间 2 和 2 a是增函数 在区间 2 2 a是减函数 II 由 I 知 当0 x时 xf在ax2 或0 x处取得最小值 aaaaaaaf2424 2 1 2 3 1 2 23 aaa244 3 4 23 af24 0 由假设知 0 0 0 2 1 f af a 即 0 24 0 6 3 3 4 1 a aaa a 解得 1 a 6 故a的取值范围是 1 6 例 11 C 类 两县城 A 和 B 相距 20km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对 城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响 度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比 比例系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到 城 B 的距离的平方成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建在的中点时 对城 A 和城 B 的总影响度为 0 065 1 将 y 表示成 x 的函数 11 讨论 1 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点到城 A 的距离 若不存在 说明理由 解题思路 先把文字语言转化成数学式子 再利用导数求最值 解析 解法一 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当10 2x 时 y 0 065 所以 k 9 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 2 22 49 400 y xx 422 322322 89 2 188 400 400 400 xxx y xxxx 令 0y 得 422 188 400 xx 所以 2 160 x 即4 10 x 当04 10 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所以函数为单调减函数 当4 620 x 时 422 188 400 xx 即 0y 所以函 数为单调增函数 所以当4 10 x 时 即当 C 点到城 A 的距离为4 10时 函数 A B C x 22 49 020 400 yx xx 有最小值 课堂练习 10 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且2lr 假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球 形部分每平方米建造费用为 3 c c 千元 设该容器的建造费用为y千元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 解题思路 先把文字语言转化成数学式子 再利用导数求最值 解析 I 设容器的容积为 V 由题意知 23 480 33 Vr lrV 又 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于 因此2lr 02 r 所以建造费用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02 ycrr r II 由 I 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于 当3 20 cc 所以 3 3 2020 0 22 rr cc 时 令 所以 3 20 2 m c 则0m 22 2 8 2 c yrm rrmm r 1 当时 9 02 2 mc 即 当r m 时 y 0 当r 0 m 时 y 0 所以是函数 y 的极小值点 也是最小值点 rm 2 当即时 2m 9 3 2 c 当函数单调递减 0 2 0 ry 时 所以 r 2 是函数 y 的最小值点 综上所述 当时 建造费用最小时 9 3 2 c 2 r 当时 建造费用最小时 9 2 c 3 20 2 r c 巩固练习巩固练习 基础训练 基础训练 A 类 类 1 曲线 2 x y x 在点 1 1 处的切线方程为 2A yx 32B yx 23C yx 21D yx 答案 D 解析 22 22 2 2 xx y xx 2 2 2 1 2 k 切线方程为12 1 yx 即21yx 2 曲线 2 x y x 在点 1 1 处的切线方程为 A y 2x 1 B y 2x 1 C y 2x 3 D y 2x 2 答案 A 解析 2 2 2 y x 所以 1 2 x ky 故切线方程为 21yx 3 若曲线 2 yxaxb 在点 0 b 处的切线方程是 10 xy 则 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 答案 A 解析 本题考查了导数的几何意义即求曲线上一点处的切线斜率 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线 10 xy 1b 4 函数f x xlnx x 0 的单调递增区间是 答案 1 e 解析 由 ln10fxx 可得 1 x e 答案 5 若函数 2 1 xa f x x 在1x 处取极值 则a 答案 3 解析 fx 2 2 2 1 1 x xxa x f 1 3 4 a 0 a 3 6 设函数 32 63 2 2f xxaxax 1 若 f x 的两个极值点为 12 x x 且 12 1x x 求实数a的值 2 是否存在实数a 使得 f x 是 上的单调函数 若存在 求出a的值 若不 存在 说明理由 解析 2 186 2 2fxxaxa 1 由已知有 12 0fxfx 从而 12 2 1 18 a x x 所以 9a 2 由 22 36 2 4 18 236 4 0aaa 所以不存在实数a 使得 f x 是R上的单调函数 7 设函数 sincos1 02f xxxxx 求函数 f x 的单调区间与极值 解析 sincos1 02 12sin 4 0 f xxxxxfxx fx 解由知 令 从而当 x 变化时 变化情况如下表 23 sin 422 xxx 得或 fxf x 3 2 2 333 2 222 因此 由上表知f x 的单调递增区间是 0 与 单调递增区间是 极小值为f 极大值为f 8 设函数 2 ln f xxax I 若当1x 时 f x取得极值 求a的值 并讨论 f x的单调性 II 若 f x存在极值 求a的取值范围 并证明所有极值之和大于 e ln 2 解析 1 2fxx xa 依题意有 1 0f 故 3 2 a 从而 2 231 21 1 33 22 xxxx fx xx f x的定义域为 3 2 即 当 3 1 2 x 时 0fx 当 1 1 2 x 时 0fx 当 1 2 x 时 0fx 从而 f x分别在区间 31 1 22 即即即 单调增加 在区间 1 1 2 即单调减少 f x的定义域为 a 即 2 221 xax fx xa 方程 2 2210 xax 的判别式 2 48a 若0 即22a 在 f x的定义域内 0fx 故 f x的极值 若0 则或2a 2a 若2a 2 x 即 2 21 2 x fx x 当 2 2 x 时 0fx 当 22 2 22 x 即即 时 0fx 所以 f x无极值 若2a 2 x 即 2 21 0 2 x fx x f x也无极值 若0 即2a 或2a 则 2 2210 xax 有两个不同的实根 2 1 2 2 aa x 2 2 2 2 aa x 当2a 时 12 xaxa 即 从而 fx 在的定义域内没有零点 故 f x无极值 当2a 时 1 xa 2 xa fx 在 f x的定义域内有两个不同的零点 由根值 判别方法知 f x在 12 xxxx 即取得极值 综上 f x存在极值时 a的取值范围为 2 即 f x的极值之和为 222 121122 1 ln ln ln11 ln2ln 22 e f xf xxaxxaxa 9 设函数 2 lnf xaxbx 其中0ab 证明 当0ab 时 函数 f x没有极值点 当0ab 时 函数 f x有且只有一个 极值点 并求出极值 解析 因为 2 ln0f xaxbxab 所以 f x的定义域为 0 fx 2 2 2 baxb ax xx 当0ab 时 如果00 0 abfxf x 在 0 上单调递增 如果00 0 abfxf x 在 0 上单调递减 所以当0ab 函数 f x没有极值点 当0ab 时 2 22 bb a xx aa fx x 令 0fx 得 1 0 2 b x a 舍去 2 0 2 b x a 当00ab 时 fxf x 随x的变化情况如下表 x0 2 b a 2 b a 2 b a fx 0 f x 极小值 从上表可看出 函数 f x有且只有一个极小值点 极小值为1 ln 222 bbb f aa 当00ab 时 fxf x 随x的变化情况如下表 x0 2 b a 2 b a 2 b a fx 0 f x 极大值 从上表可看出 函数 f x有且只有一个极大值点 极大值为1 ln 222 bbb f aa 综上所述 当0ab 时 函数 f x没有极值点 当0ab 时 若00ab 时 函数 f x有且只有一个极小值点 极小值 为1 ln 22 bb a 若00ab 时 函数 f x有且只有一个极大值点 极大值 为1 ln 22 bb a 10 设函数 f x x2 b ln x 1 其中 b 0 当 b 2 1 时 判断函数 f x 在定义域上的单调性 求函数 f x 的极值点 证明对任意的正整数 n 不等式 ln 32 11 1 1 nnn 都成立 解析 I 函数 2 ln 1 f xxbx 的定义域为 1 2 22 2 11 bxxb fxx xx 令 2 22g xxxb 则 g x在 1 2 上递增 在 1 1 2 上递减 min 11 22 g xgb 当 1 2 b 时 min 1 0 2 g xb 2 220g xxxb 在 1 上恒成立 0 fx 即当 1 2 b 时 函数 f x在定义域 1 上单调递增 II 分以下几种情形讨论 1 由 I 知当 1 2 b 时函数 f x无极值点 2 当 1 2 b 时 2 1 2 2 1 x fx x 1 1 2 x 时 0 fx 1 2 x 时 0 fx 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 3 当 1 2 b 时 解 0fx 得两个不同解 1 11 2 2 b x 2 11 2 2 b x 当0b 时 1 11 2 1 2 b x 2 11 2 1 2 b x 12 1 1 xx 此时 f x在 1 上有唯一的极小值点 2 11 2 2 b x 当 1 0 2 b 时 12 1 x x fx在 12 1 xx 都大于 0 fx在 12 x x上小于 0 此时 f x有一个极大值点 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 综上可知 0b 时 f x在 1 上有唯一的极小值点 2 11 2 2 b x 1 0 2 b 时 f x有一个极大值点 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 III 当1b 时 2 ln 1 f xxx 令 332 ln 1 h xxf xxxx 则 32 3 1 1 xx h x x 在 0 上恒正 h x 在 0 上单调递增 当 0 x 时 恒有 0 0h xh 即当 0 x 时 有 32 ln 1 0 xxx 23 ln 1 xxx 对任意正整数n 取 1 x n 得 23 111 ln 1 nnn 提高训练 提高训练 B 类 类 1 曲线 1 2 e x y 在点 2 4e 即处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 答案 D 解析 11 22 1 2 xx yee 曲线在点 2 4e 即处的切线斜率为 2 1 2 e 因此切线方程 为 22 1 4 2 yeex 则切线与坐标轴交点为 2 2 0 0 ABe 所以 22 1 2 2 AOB See 2 设函数 1 ln 0 3 f xxx x 则 yf x A 在区间 1 1 1 e e 内均有零点 B 在区间 1 1 1 e e 内均无零点 C 在区间 1 1 e 内有零点 在区间 1 e内无零点 D 在区间 1 1 e 内无零点 在区间 1 e内有零点 答案 D 解析 由题得 113 33 x fx xx 令 0fx 得3 x 令 0fx 得30 x 0fx 得3 x 故知函数 xf在区间 3 0 上为减函数 在区间 3 为增函数 在点3 x处有极小值03ln1 又 01 3 1 1 01 3 3 1 1 ee f e eff 故选择 D 3 若曲线存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 2 lnf xaxx 答案 0 解析 由题意该函数的定义域0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于y轴的切线 故此时斜率为0 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点 解法 1 图像法 再将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当0a 不符合题意 当0a 时 如图 1 数形结合可得显然没有交点 当0a 如图 2 此时正好有一个交点 故有0a 应填 0 或是 0a a 解法 2 分离变量法 上述问题也可等价于方程 1 20ax x 在 0 内有解 显然可得 2 1 0 2 a x 4 已知定义在正实数集上的函数 其中 设两 22 1 2 3ln 2 f xxax g xaxb 0a 曲线有公共点 且在公共点处的切线相同 yf xyg x 1 若 求的值 1a b 2 用表示 并求的最大值 abb 解析 1 设与在公共点处的切线相同 yf x 0 yg x x 00 xy 3 2 fxxg x x 由题意知 0000 f xg xfxg x 2 000 0 0 1 23ln 2 3 2 xxxb x x 由得 或 舍去 则有 0 0 3 2x x 0 1x 0 3x 5 2 b 2 设与在公共点处的切线相同 yf x 0 yg x x 00 xy 2 3 2 a fxxa g x x 由题意知 0000 f xg xfxg x 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 由得 或 舍去 2 0 0 3 2 a xa x 0 xa 0 3xa 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 则 于是 22 5 3ln 0 2 h tttt t 2 1 3ln h ttt 当 即时 2 1 3ln 0tt 1 3 0te 0h t 当 即时 2 1 3ln 0tt 1 3 te 0h t 故在的最大值为 故的最大值为 h t 0 12 33 3 2 h ee b 2 3 3 2 e 5 山东济南 2011 届高三二模数学 文 已知函数的减区间是 32 212f xmxnxx 2 2 试求 m n 的值 求过点且与曲线相切的切线方程 1 11 A yf x 过点 A 1 t 是否存在与曲线相切的 3 条切线 若存在求实数 t 的取值范围 yf x 若不存在 请说明理由 解析 由题意知 的解集为 2 34120fxmxnx 2 2 所以 2 和 2 为方程的根 2 34120mxnx 由韦达定理知 即 m 1 n 0 412 04 33 n mm 3 12f xxx 2 312fxx 3 1 112 111f 当 A 为切点时 切线的斜率 1 3 129k f 切线为 即 119 1 yx 920 xy 当 A 不为切点时 设切点为 这时切线的斜率是 00 P xf x 2 00 312kfxx 切线方程为 即 000 yf xfxxx 23 00 3 4 2yxxx 因为过点 A 1 11 23 00 113 4 2xx 32 00 2310 xx 2 00 1 21 0 xx 或 而为 A 点 即另一个切点为 0 1x 0 1 2 x 0 1x 1 47 28 P 1145 312 244 k f 切线方程为 即 45 11 1 4 yx 45410 xy 所以 过点的切线为或 1 11 A 920 xy 45410 xy 存在满足条件的三条切线 设点是曲线的切点 00 P xf x 3 12f xxx 则在 P 点处的切线的方程为 即 000 yf xfxxx 23 00 3 4 2yxxx 因为其过点 A 1 t 所以 2332 0000 3 4 22312txxxx 由于有三条切线 所以方程应有 3 个实根 设 只要使曲线有 3 个零点即可 32 2312g xxxt 设 0 分别为的极值点 2 66g xxx 01xx 或 g x 当时 在和 上单增 0 1 和x 0g x g x 0 1 当时 在上单减 0 1 x 0g x g x 0 1 所以 为极大值点 为极小值点 0 x 1x 所以要使曲线与 x 轴有 3 个交点 当且仅当即 0 0 1 0 g g 120 110 t t 解得 1211t 6 已知函数图像上的点处的切线方程为 32 f xxaxbxc 1 2P 31yx 1 若函数在时有极值 求的表达式 f x2x f x 2 函数在区间上单调递增 求实数的取值范围 f x 2 0 b 解析 2 32fxxaxb 因为函数在处的切线斜率为 3 f x1x 所以 即 1323fab 20ab 又得 112fabc 1abc 1 函数在时有极值 所以 f x2x 21240fab 解得 2 4 3abc 所以 32 243f xxxx 2 因为函数在区间上单调递增 所以导函数 f x 2 0 2 3fxxbxb 在区间上的值恒大于或等于零 2 0 则得 所以实数的取值范围为 21220 00 fbb fb 4b b 4 7 设函数 2132 x f xx eaxbx 已知2x 和1x 为 f x的极值点 求a和b的值 讨论 f x的单调性 设 32 2 3 g xxx 试比较 f x与 g x的大小 解析 因为 122 e 2 32 x fxxxaxbx 1 e 2 32 x xxxaxb 又2x 和1x 为 f x的极值点 所以 2 1 0ff 因此 620 3320 ab ab 解方程组得 1 3 a 1b 因为 1 3 a 1b 所以 1 2 e1 x fxx x 令 0fx 解得 1 2x 2 0 x 3 1x 因为 当 2 x 01 时 0fx 当 2 0 1 x 时 0fx 所以 f x在 2 0 和 1 上是单调递增的 在 2 和 01 上是单调递减的 由 可知 2132 1 e 3 x f xxxx 故 21321 e e xx f xg xxxxx 令 1 exh xx 则 1 e1 x h x 令 0h x 得1x 因为 1x 时 0h x 所以 h x在 1x 上单调递减 故 1x 时 1 0h xh 因为 1x 时 0h x 所以 h x在 1x 上单调递增 故 1x 时 1 0h xh 所以对任意 x 恒有 0h x 又 2 0 x 因此 0f xg x 故对任意 x 恒有 f xg x 8 已知函数 32 3 x f xxxaxb e 如果3ab 求 f x的单调区间 若 f x在 2 单调增加 在 2 单调减少 证明 6 解析 当3ab 时 32 333 x f xxxxe 故 322 333 363 xx fxxxxexxe 3 9 x exx 3 3 x x xxe 当3x 或03 0 xfx 时 当303 0 xxfx 或时 从而 3 0 3 3 03f x 在单调增加 在 单调减少 3223 3 36 6 xxx fxxxaxb exxa eexaxba 由条件得 3 2 0 22 6 0 4 fababa 即故从而 3 6 42 x fxexaxa 因为 0 ff 所以 3 6 42 2 xaxaxxx 2 2 xxx 将右边展开 与左边比较系数得 2 2 a 故 2 4124 a 又 2 2 0 2 40 即由此可得6 a 于是6 9 设函数 1 f xaxa bZ xb 曲线 yf x 在点 2 2 f处的切线方程为 3y 求 yf x 的解析式 证明 函数 yf x 的图像是一个中心对称图形 并求其对称中心 证明 曲线 yf x 上任一点的切线与直线1x 和直线yx 所围三角形的 面积为定值 并求出此定值 解析 2 1 fxa xb 于是 2 1 23 2 1 0 2 a b a b 解得 1 1 a b 或 9 4 8 3 a b 因为 a bZ 所以 1 1 f xx x II 证明 已知函数 12 1 yx y x 都是奇函数 所以函数 1 g xx x 也是奇函数 其图像是以原点为中心的中心对称图形 而函数 1 11 1 f xx x 可知 函数 g x的图像按向量 a 1 1 平移 即得到函数的图象 故函数 f x yf x 的图像是以点 1 1 为中心的中心对称图形 III 证明 在曲线上任一点 00 0 1 1 x x x 由 0 2 0 1 1 1 fx x 知 过此点的切线方程为 2 00 0 2 00 11 1 1 1 xx yxx xx 令1x 得 0 0 1 1 x y x 切线与直线1x 交点为 0 0 1 1 1 x x 令yx 得 0 21yx 切线与直线yx 交点为 00 21 21 xx 直线1x 与直线yx 的交点为 1 1 从而所围三角形的面积为 0 00 00 1112 1 21 1 22 2 2121 x xx xx 所以 所围三角形的面积为定值 2 综合迁移 综合迁移 C 类 类 1 已知函数 1 ln 1 1 n f xax x 其中 nN a为常数 I 当2n 时 求函数 f x的极值 II 当1a 时 证明 对任意的正整数n 当2x 时 有 1 f xx 解析 解 由已知得函数 f x的定义域为 1x x 当2n 时 2 1 ln 1 1 f xax x 所以 2 3 2 1 1 ax fx x 1 当0a 时 由 0fx 得 1 2 11x a 2 2 11x a 此时 12 3 1 a xxxx fx x 当 1 1 xx 时 0fx f x单调递减 当 1 xx 时 0fx f x单调递增 2 当0a 时 0fx 恒成立 所以 f x无极值 综上所述 2n 时 当0a 时 f x在 2 1x a 处取得极小值 极小值为 22 11 ln 2 a f aa 当0a 时 f x无极值 当1a 时 1 ln 1 1 n f xx x 当2x 时 对任意的正整数n 恒有 1 1 1 nx 故只需证明1 ln 1 1xx 令 1 1 ln 1 2ln 1 h xxxxx 2x 则 12 1 11 x h x xx 当2x 时 0h x 故 h x在 2 上单调递增 因此 当2x 时 2 0h xh 即1 ln 1 1xx 成立 故 当2x 时 有 1 ln 1 1 1 n xx x 即 1f xx 2 已知函数 x a xxf ln xaxxfxgln6 其中 aR 讨论 xf的单调性 若 xg在其定义域内为增函数 求正实数a的取值范围 解析 xf的定义域为 0 且 2 x ax xf 当0 a时 0 xf xf在 0 上单调递增 当0 a时 由0 xf 得ax 由0 xf 得ax 故 xf在 0 a 上单调递减 在 a上单调递增 x x a axxgln5 xg的定义域为 0 2 2 2 55 x axax xx a axg 因为 xg在其定义域内为增函数 所以 0 x 0 xg max 22 22 1 5 1 5 5 1 05 x x a x x axxaaxax 而 2 5 1 5 1 5 2 x x x x 当且仅当1 x时取等号 所以 2 5 a 3 设 ln2 x x k kxxf 1 若 求过点 2 的直线方程 0 2 f 2 f 2 若在其定义域内为单调增函数 求的取值范围 xfk 解析 1 由得x x k kxxfln2 2 2 2 22 x kxkx xx k kxf 5 4 0 4 44 2 k kk f 2ln2 2 5 4 2 5 4 2 f2ln2 5 6 过点 2 的直线方程为 即 2 f 1 02ln2 5 6 xy2ln2 5 6 y 2 由 2 22 22 kkxxk fxk xxx 令在其定义域 0 上单调递增 2 2 xfkxkxxh要使 只需恒成立0 0 xhxh内满足在 由上恒成立 0 1 2 1 2 020 2 2 x x x x x kkxkxxh在即得 0 x2 1 x x x x 1 2 1 1 k 综上 k 的取值范围为 1 k 4 山东省淄博一中 2012 届高三上学期阶段检测 一 数学 文 试题 19 已知函数xmxmxxf 6 3 2 1 3 1