导数及其应用测试题

1 导数及其应用测试题导数及其应用测试题 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 36 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 一质点沿直线运动 如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s t3 t2 2t 那么速度为零 1 3 3 2 的时刻是 A 0 秒 B 1 秒末 C 2 秒末 D 1 秒末和 2 秒末 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 曲线 3 2f xxx 在 0 p处的切线平行于直线41yx 则 0 p点的坐标为 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 0 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 8 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 0 和 1 4 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 8 和 1 4 3 若 则 0 的解集为 2 24lnf xxxx fx A B 0 1 02 C D 2 1 0 4 原创题 下列运算中正确的是 22 axbxca xb x 22 sin2 sin 2 xxxx 2 22 sin sin xxx xx cossin sin cos cos sinxxxxxx A B C D 5 改编题 下列函数中 在上为增函数的是 0 A B C D 2sinyx x xey xxy 3 xxy 1ln 6 改编题 若函数 f x x3 3x a 有 3 个不同的零点 则实数 a 的取值范围是 A 2 2 B 2 2 C 1 D 1 7 设函数 f x kx3 3 k 1 x2 2 k 1 在区间 0 4 上是减函数 则k的取值范围是 A 1 3 k B 1 0 3 k C 1 0 3 k D 1 3 k 8 原创题 若函数在处取最小值 则 1 f xxxa xa 3x a A B C D 或 4 1242 2 9 设函数 f x 在定义域内可导 y f x 的图象如下图所示 则导函数 y f x 可能为 10 对于函数 f x x3 ax2 x 1 的极值情况 4 位同学有下列说法 甲 该函数必有 2 个极 值 乙 该函数的极大值必大于 1 丙 该函数的极小值必小于 1 丁 方程 f x 0 一 定有三个不等的实数根 这四种说法中 正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 11 函数 f x ex sinx cosx 在区间 0 上的值域为 1 22 A B C 1 D 1 1 2 1 2 2 e 1 2 1 2 2 e 2 e 2 e 12 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V 则其表面积最小时 底面边长为 A B C D 3 V 3 2V 3 4V 3 2 V 二二 填空题 共填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 3 分共分共 12 分 把答案填在相应的位置上 分 把答案填在相应的位置上 13 原创题 已知函数且则 3 1 13 8 2 f xxx 4 0 x f 0 x 14 函数2cosyxx 在区间 0 2 上的最大值是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 15 已知函数 则 f x 的图象在与 y 轴交点处的切线与两坐标轴围成的图形 2 x e f x x 的面积为 16 改编题 已知函数有零点 则的取值范围是 x f xeexa a 三三 解答题 本大题五个小题 共解答题 本大题五个小题 共 52 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 改编题 已知函数的图象过点 0 3 且在和dcxbxxxf 23 3 1 1 上为增函数 在上为减函数 3 3 1 1 求的解析式 xf 2 求在 R 上的极值 xf 1818 设函数 f x x ax2 blnx 曲线 y f x 过 P 1 0 且在 P 点处的切线斜率为 2 x y O A x y O B x y O C x y O D x y O 3 1 求 a b 的值 2 证明 f x 2x 2 19 已知 cxbxaxxf 2 23 在 2 x 时有极大值 6 在 1 x 时有极小值 求 cba 的值 并求 xf 在区间 3 3 上的最大值和最小值 20 改编题 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中 间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为立方米 且 l 2r 80 3 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为 c c 5 千元 设该容器的建造费用为 y 千元 1 写出 y 关于 r 的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的 r 21 已知函数 ln 1 axb f x xx 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程为 230 xy 求a b的值 证明 当0 x 且1x 时 ln 1 x f x x 挑战能力 1 改编题 对于三次函数 32 0 f xaxbxcxd a 定义 设 fx 是函数 yf x 的导函数 yfx 的导数 若 0fx 有实数解 0 x 则称点 00 xf x为函数 yf x 的 拐点 现已知 32 322f xxxx 请解答下 列问题 1 求函数 f x的 拐点 A 的坐标 2 求证 f x的图象关于 拐点 A 对称 2 设 0a 2 1ln2 ln 0 f xxxax x 4 令 讨论在内的单调性并求极值 F xxfx F x 0 求证 当时 恒有 1x 2 ln2 ln1xxax 3 已知二次函数对任意实数都满足 xgx 2 1121g xgxxx 且 令 11g 19 ln 0 28 f xg xmxmx R 1 求的表达式 xg 2 设 证明 对任意 恒有1em 1 H xf xmx 21 x x m 1 12 1 H xH x 导数及其应用测试题答案导数及其应用测试题答案 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 36 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 答案 D 解析 s t3 t2 2t v s t t2 3t 2 令 v 0 得 t2 3t 2 0 1 3 3 2 解得 t1 1 t2 2 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头C 解析 设切点为 0 P a b 2 2 31 314 1fxxkfaaa 把1a 代入到 3 2f xxx 得4b 把1a 代入到 3 2f xxx 得0b 所以 0 1 0 P和 1 4 3 答案 C 解析 44 f x 2x2 f x 0 2x20 xx x1 x2 0 1x0 x2 f x x x x0 x2 由由条条件件得得 令令即即 整整理理得得 解解得得 或或又又因因为为的的 定定义义域域为为所所以以 4 答案 A 5 解析 22 sin2 sin 2 xxxx 22 24 sin sin sin xx xxx xx 故选 A 5 答案 B 解析 C 中 所以为增函数 1 0 xxx yexeex xxy 3 6 答案 A 解析 由 f x 3x2 3 0 得 x 1 f x 的极大值为 f 1 2 a 极小值为 f 1 2 a f x 有 3 个不同零点的充要条件为 2a0 2a0 即 2 a 2 7 答案 D 解析 当 当 2 36 1 fxkxkx 0 4 0kf 0 60kfxx 综合 1 3 k 0 0kfx 8 答案 B 解析 因为函数在处有最小值 则一定有 2 1 1 fx xa 3x 解得 因为 所以 2 1 3 10 3 f a 24aa 或xa 2a 9 答案 D 解析 当 x0 当 x 0 时 f x 先增后减 f x 的符号应 是正负正 选 D 10 答案 C 解析 f x 3x2 2ax 1 中 4a2 12 0 故该函数必有 2 个极值点 x1 x2 且 x1 x2 0 不妨设 x10 易知在 x x1处取得极大值 在 x x2处取得极小值 而 f 0 1 3 1 故极大值必大于 1 极小值小于 1 而方程 f x 0 不一定有三个不等的实数根 故甲 乙 丙三人的说法都正确 11 答案 A 解析 f x ex sinx cosx ex cosx sinx excosx 1 2 1 2 当 0 x 时 f x 0 f x 在 0 上是增函数 2 2 6 f x 的最大值为 f f x 的最小值为 f 0 2 1 2 2 e 1 2 12 答案 C 解析 如图 设底面边长为 x x 0 则底面积 S 2 3 x 4 h 2 V4V S3x S表 x 3 2 x2 2 4V 3x 2 3 x 4 4 3V x 3 2 S 表 x 令 S 表 0 x 3 2 4 3V x 3 4V 因为 S表只有一个极值 故 x 为最小值点 3 4V 二二 填空题 共填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 3 分共分共 12 分 把答案填在相应的位置上 分 把答案填在相应的位置上 13 答案 2 2 解析 2 3 8 2 fxx 2 000 3 842 2 2 fxxx 14 答案 3 6 解析 1 2sin0 6 yxx 比较0 6 2 处的函数值 得 max 3 6 y 15 答案 1 6 解析 函数 f x 的定义域为 x x 2 x 2 2 2 3 2 2 f x 的图象与 y 轴的交点为 0 过此点的切线斜率 k 0 1 2 3 4 直线方程为 y x 即 x y 0 1 2 3 4 3 4 1 2 直线与 x 轴 y 轴的交点为 0 0 S 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 6 16 答案 0 解析 由得 x f x ee x f 0 x ee 0 7 由得 2ln x x f 0 1x 在处取得最小值 xf1x 只要即可 0 min xf0eea 0a 的取值范围是a 0 三三 解答题 本大题五个小题 共解答题 本大题五个小题 共 52 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解析 1 的图象过点 xf 3 0 3 0 df 3 3 1 23 cxbxxxfcbxxxf 2 2 又由已知得是的两个根 3 1 xx0 x f 3 1 31 231 c b c b 故33 3 1 23 xxxxf 2 由已知可得是的极大值点 是的极小值点1 x xf3 x xf 极大值 xf 3 14 1 f 极小值 xf6 3 f 1818 解析 1 f x 1 2ax b x 由已知条件得 即 f 10 f 12 1 a0 12ab2 解得 a 1 b 3 2 f x 的定义域为 0 由 1 知 f x x x2 3lnx 设 g x f x 2x 2 2 x x2 3lnx 则 g x 1 2x 3 x x12x3 x 当 0 x0 当 x 1 时 g x 0 时 g x 0 即 f x 2x 2 19 解析 1 223 2 bxaxxf 由条件知 3 8 2 1 3 1 6448 2 0223 1 02412 2 cba cbaf baf baf 解得 2 2 3 8 2 2 1 3 1 223 xxxfxxxxf x 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 x f 0 0 xf 6 1 4 6 2 3 6 1 10 由上表知 在区间 3 3 上 当 3 x 时 6 1 10 max f 1 x 时 2 3 min f 20 解析 1 因为容器的体积为立方米 80 3 所以 3 2 4 r r l 3 80 3 解得 l 2 804r 3r3 由于 l 2r 因此 0 r 2 所以圆柱的侧面积为 2 rl 2 r 2 804r 3r3 2 1608 r 3r3 两端两个半球的表面积之和为 4 r2 所以建造费用 y 8 r2 4 cr2 160 r 定义域为 0 2 2 因为 y 16 r 8 cr 2 160 r 05 所以 c 2 0 所以令 y 0 得 r 3 20 c2 令 y 0 得 0 r5 时 即 0 0 可得 ln 1 x f x x 1 0 10 x