奥数第八讲--不规则图形的面积计算

奥数第八讲奥数第八讲 不规则图形面积计算不规则图形面积计算 我们曾经学过的三角形 长方形 正方形 平行四边形 梯形 菱形 圆三角形 长方形 正方形 平行四边形 梯形 菱形 圆 和扇形和扇形等图形 一般称为基本图形或规则图形 我们的面积及周长都有相应的公 式直接计算 如下表 实际问题中 有些图形不是以基本图形的形状出现 而是由一些基本图形 组合 拼凑成的 它们的面积及周长无法应用公式直接计算 一般我们称这样的 图形为不规则图形不规则图形 那么 不规则图形的面积及周长怎样去计算呢 我们可以针对这些图形通 过实施割补 剪拼割补 剪拼等方法将它们转化为基本图形的和 差关系转化为基本图形的和 差关系 问题就能解决 了 一 例题与方法指导一 例题与方法指导 例例 1 1 如右图 甲 乙两图形都是正方形 它们的边长分别是 10 厘米 和 12 厘米 求阴影部分的面积 思路导航 阴影部分的面积等于甲 乙两个正方形面积之和减去三个 空白 三角形 ABG BDE EFG 的面积之和 例例 2 2 如右图 正方形 ABCD 的边长为 6 厘米 ABE ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相 等 求三角形 AEF 的面积 思路导航 ABE ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等 四边形 AECF 的面积与 ABE ADF 的面积都等于正方形 ABCD 的 1 3 在 ABE 中 因为 AB 6 所以 BE 4 同理 DF 4 因此 CE CF 2 ECF 的面积为 2 2 2 2 所以 S AEF S 四边形 AECF S ECF 12 2 10 平方厘米 例例 3 3 两块等腰直角三角形的三角板 直角边分别是 10 厘米和 6 厘米 如右图那样重合 求重合部分 阴影部分 的面积 思路导航 在等腰直角三角形 ABC 中 AB 10 EF BF AB AF 10 6 4 阴影部分面积 S ABG S BEF 25 8 17 平方厘米 例例 4 4 如右图 A 为 CDE 的 DE 边上中点 BC CD 若 ABC 阴影部分 面积为 5 平方厘 米 求 ABD 及 ACE 的面积 思路导航 取 BD 中点 F 连结 AF 因为 ADF ABF 和 ABC 等底 等高 所以它们的面积相等 都等于 5 平方厘米 ACD 的面积等于 15 平方厘米 ABD 的面积等于 10 平方厘米 例例 5 5 一个正方形 将它的一边截去 15 厘米 另一边截去 10 厘米 剩下的长方形比原 来正方形的面积减少 1725 厘米 2 求剩下的长方形的面积 B C 分析与解 根据已知条件画出下页图 其中甲 乙 丙为截去的部分 由左上图知 丙是长 15 厘米 宽 10 厘米的矩形 面积为 15 10 150 厘米 2 因为甲 丙形成的矩形的长等于原正方形的边长 乙 丙形成的矩形的长也等于 原正方形的边长 所以可将两者拼成右上图的矩形 右上图矩形的宽等于 10 15 25 厘米 长等于原正方形的边长 面积等于 甲 丙 乙 丙 甲 乙 丙 丙 1725 150 1875 厘米 2 所以原正方形的的边长等于 1875 25 75 厘米 剩下的长方形的面积等于 75 75 1725 3900 厘米 2 六 有红 黄 绿三块同样大小的正方形纸片 放在一个正方形盒的底部 它们之 间 互相叠合 见右图 已知露在外面的部分中 红色面积是 20 黄色面积是 14 绿 色面积是 10 求正方形盒子底部的面积 分析与解 把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边 由于三个正方形纸片 面积相等 所以原题图可以转化成下页右上图 此时露出的黄 绿两部分的面积相 等 都等于 14 10 2 12 因为绿 红 A 黄 所以绿 黄 红 A A 绿 黄 红 12 12 20 7 2 正方形盒子底部的面积是红 黄 绿 A 20 12 12 7 2 51 2 又由于 ACE 与 ACD 等底 等高 所以 ACE 的面积是 15 平方厘米 二 巩固训练二 巩固训练 1 1 如右图 在正方形 ABCD 中 三角形 ABE 的面积是 8 平方厘米 它是三角形 DEC 的 面积的 求正方形 ABCD 的面积 4 5 解 过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F 在矩形 ABEF 中 AE 是对角线 所以 S ABE S AEF 8 在矩形 CDFE 中 DE 是对角线 所以 S ECD S EDF 2 2 如右图 已知 S ABC 1 AE ED BD BC 求阴影部分的面积 2 3 解 连结 DF AE ED S AEF S DEF S ABE S BED 3 3 如右图 正方形 ABCD 的边长是 4 厘米 CG 3 厘米 矩形 DEFG 的长 DG 为 5 厘米 求它的宽 DE 等于多少厘米 D 解 连结 AG 自 A 作 AH 垂直于 DG 于 H 在 ADG 中 AD 4 DC 4 AD 上的高 S AGD 4 4 2 8 又 DG 5 S AGD AH DG 2 AH 8 2 5 3 2 厘米 DE 3 2 厘米 4 4 如右图 梯形 ABCD 的面积是 45 平方米 高 6 米 AED 的面积是 5 平方米 BC 10 米 求阴影部分面积 解 梯形面积 上底 下底 高 2 即 45 AD BC 6 2 45 AD 10 6 2 AD 45 2 6 10 5 米 ADE 的高是 2 米 EBC 的高等于梯形的高减去 ADE 的高 即 6 2 4 米 5 5 如右图 四边形 ABCD 和 DEFG 都是平行四边形 证明它们的面积相等 证明 连结 CE ABCD 的面积等于 CDE 面积的 2 倍 而 DEFG 的面积也是 CDE 面积的 2 倍 ABCD 的面积与 DEFG 的面积相等 3 3 练习练习 1 如左下图所示 平行四边形ABCD 的周长是75 厘米 以BC 为底的高是14 厘 米 以CD 为底的高是16 厘米 求平行四边形ABCD 的面积 2 如下图 在三角形A