2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷解析版）

20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 广东卷 解析版 本试题共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座位号填 写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 A 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴在答 题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式 锥体体积公式 1 3 VSh 其中S为锥体的底面积 h为锥体的高 线性回归方程 ybxa 中系数计算公式 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx aybx 样本数据 12 n x xx 的标准差 222 12 1 n sxxxxxx n 其中x y表示样本均值 n是正整数 则 1221 nnnnnn abab aababb 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 设复数z满足1iz 其中i为虚数单位 则z A i B i C 1 D 1 1 A 1 i zi iii 2 已知集合 Ax yx y 为实数 且 22 1 xy Bx yx y 为实数 且1 xy 则 AB 的元素个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 2 C AB 的元素个数等价于圆 22 1xy 与直线1xy 的交点个数 显然有 2 个交点 3 已知向量 1 2 1 0 3 4 abc 若 为实数 ab c 则 A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 3 B 1 2 ab 由 ab c 得64 1 0 解得 1 2 4 函数 1 lg 1 1 f xx x 的定义域是 A 1 B 1 C 1 1 1 D 4 C 10 1 10 x x x 且1x 则 f x的定义域是 1 1 1 5 不等式 2 210 xx 的解集是 A 1 1 2 B 1 C 1 2 D 1 1 2 5 D 2 1 210 1 21 0 2 xxxxx 或1x 则不等式的解集为 1 1 2 6 已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定 若 M x y为D上的动点 点 A 的坐标为 2 1 则zOM OA 的最大值为 A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 6 B 2zxy 即2yxz 画出不等式组表示的平面区域 易知当直线2yxz 经 过点 2 2 时 z取得最大值 max 2224z 7 正五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个正五棱柱 对角线的条数共有 A 20 B 15 C 12 D 10 7 D 正五棱柱中 上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线 所以一个正五棱 柱对角线的条数共有5 210 条 8 设圆C与圆 22 3 1xy 外切 与直线0y 相切 则C的圆心轨迹为 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 8 A 依题意得 C的圆心到点 0 3 的距离与它到直线1y 的距离相等 则C的圆心轨迹为抛物 2 3 正视图 图 1 侧视图 图 2 2 俯视图 2 图 3 线 9 如图 1 3 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别是等边三角形 等腰三角 形和菱形 则该几何体的体积为 A 4 3 B 4 C 2 3 D 2 9 C 该几何体是一个底面为菱形的四棱锥 菱形的面积 1 2 2 32 3 2 S 四棱锥的高为3 则该几何体的体积 11 2 3 32 3 33 VSh 10 设 f x g x h x是R上的任意实值函数 如下定义两个函数 fg x和 f gA x 对任意 x R fg x f g x f gA x f x g x 则下列等式恒成立的是 A fg A h x f hA g hA x B f gA h x fh A g h x C fg h x fg gh x D f gAA h x f gAA g hA x 10 B 对 A 选项 fg A h x fg x h x f g x h x f hA g hA x f hA g hxA f hA g x h xA f g x h x h g x h x AA 故排除 A 对 B 选项 f gA h x f g h x A f h x g h x fh A g h x fh x g h x f h x g h x 故选 B 对 C 选项 fg h x fg h x f g h x fg gh x fggh xfgg h x f g g h x 故排除 C 对 D 选项 f gAA h x f gx h xf x g x h x A f gAA g hA x f gx g h xf x g x g x h x AA 故排除 D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 考生作答小题 考生作答 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 11 已知 n a是递增的等比数列 若 2 2a 43 4aa 则此数列的公比q 11 2 22 4322 4422402 2 1 0aaa qa qqqqq 2q 或1q n a是递增的等比数列 2q 12 设函数 3 cos1f xxx 若 11f a 则 fa 12 9 3 cos111f aaa 即 3 cos10f aaa 则 33 cos 1cos110 19faaaaa 13 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每 天打篮球时间x 单位 小时 与当天投篮命中率y之间的关系 时间x 12345 命中率y 0 40 50 60 60 4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 用线性回归分析的方法 预测小李该月 6 号 打 6 小时篮球的投篮命中率为 13 0 5 0 53 小李这 5 天的平均投篮命中率 1 0 40 50 60 60 4 0 5 5 y 3x 1 2222 2 1 0 2000 1 0 2 0 01 2 1 0 12 n ii i n i i xxyy b xx 0 47aybx 线性回归方程 0 010 47yx 则当6x 时 0 53y 预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的投篮命中率为0 53 图 4 BA C D EF 二 选做题 二 选做题 1414 1515 题 考生只能从中选做一题 题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 5cos sin x y 0 和 2 5 4 xt yt t R 它们的交点坐标为 14 2 5 1 5 5cos sin x y 表示椭圆 2 2 1 5 x y 5501 xy 且 2 5 4 xt yt 表示抛物线 2 4 5 yx 2 2 2 2 1 5501 5 4501 4 5 x yxy xxx yx 且 或5x 舍去 又因为01y 所以它们的交点坐标为 2 5 1 5 15 几何证明选讲选做题 如图 4 在梯形ABCD中 AB CD 4AB 2CD E F分别为 AD BC上的点 且3EF EF AB 则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 15 7 5 如图 延长 AD BC ADBCP 2 3 CD EF 4 9 PCD PEF S S 2 4 CD AB 4 16 PCD PEF S S 7 5 ABEF EFCD S S 梯形 梯形 P BA C D EF 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知函数 1 2sin 36 f xx x R 1 求 0 f的值 2 设 0 2 10 3 213 f 6 32 5 f 求sin 的值 16 解 1 0 2sin 1 6 f 2 110 3 2sin 3 2sin 232613 f 即 5 sin 13 16 32 2sin 32 2sin 3625 f 即 3 cos 5 0 2 2 12 cos1 sin 13 2 4 sin1 cos 5 5312463 sin sincoscossin 13513565 17 本小题满分 13 分 在某次测验中 有 6 位同学的平均成绩为 75 分 用 n x表示编号为n 1 2 6 n 的同学所得成绩 且前 5 位同学的成绩如下 编号n 12345 成绩 n x 7076727072 1 求第 6 位同学的成绩 6 x 及这 6 位同学成绩的标准差s 2 从前 5 位同学中 随机地选 2 位同学 求恰有 1 位同学成绩在区间 68 75 中的概率 17 解 1 6 1 7076727072 75 6 x 解得 6 90 x 标准差 222222222 126 11 5135315 7 66 sxxxxxx 2 前 5 位同学中随机选出的 2 位同学记为 a b 1 2 3 4 5 a b 且ab 则基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 共 10 种 这 5 位同学中 编号为 1 3 4 5 号的同学成绩在区间 68 75 中 设 A 表示随机事件 从前 5 位同学中随机选出 2 位同学 恰有 1 位同学成绩在区间 68 75 中 B A B A C C D D E E G H 1 O 2 O 1 O 2 O 图 5 B A B A C C D D E E G H 1 O 2 O 1 O 2 O H 则 A 中的基本事件有 1 2 2 3 2 4 2 5 共 4 种 则 42 105 P A 18 本小题满分 13 分 图 5 所示的几何体是将高为 2 底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后 将其中一半沿切面向右 水平平移后得到的 A A B B 分别为ACD A C D A DE AD E 的中点 1122 O O O O 分别为CD C D DE D E 的中点 1 证明 12 OA O B 四点共面 2 设G为 AA 中点 延长 1 A O 到 H 使得 11 O HA O 证明 2 BO 平面H B G 18 证明 1 连接 2 BO 22 O O 依题意得 1122 O O O O 是圆柱底面圆的圆心 CD C D DE D E 是圆柱底面圆的直径 A B B 分别为 A C D A DE AD E 的中点 12 90A O DB O D 1 A O 2 BO BB 22 O O 四边形 22 O O B B 是平行四边形 2 BO 2 BO 1 A O 2 BO 12 OA O B 四点共面 2 延长 1 A O 到H 使得 11 O HAO 连接 1 HH HOHB 11 O HA O 1 O H 2 O B 四边形 12 O O B H 是平行四边形 12 O O H B 1222 O OO O 122 O OB O 2222 O OB OO 12 O O 面 22 O O B B H B 面 22 O O B B 2 BO 面 22 O O B B 2 BOH B 易知四边形AA H H 是正方形 且边长2AA 1 1 tan2 HH HO H O H 1 tan 2 A G A H G A H 1 tantan1HO HA H G 1 90HO HA H G 1 HOH G 易知 12 O O HB 四边形 12 O O BH 是平行四边形 2 BO 1 HO 2 BOH G H GH BH 2 BO 平面H B G 19 本小题满分 14 分 设0a 讨论函数 2 ln 1 2 1 f xxaa xa x 的单调性 19 解 函数 f x的定义域为 0 2 12 1 2 1 1 2 1 2 1 aa xa x fxaa xa xx 令 2 2 1 2 1 1g xaa xa x 22 4 1 8 1 121644 31 1 aaaaaaa 当 1 0 3 a 时 0 令 0fx 解得 1 31 1 2 1 aaa x aa 则当 1 31 1 0 2 1 aaa x aa 或 1 31 1 2 1 aaa x aa 时 0fx 当 1 31 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaaaa x aaaa 时 0fx 则 f x在 1 31 1 0 2 1 aaa aa 1 31 1 2 1 aaa aa 上单调递增 在 1 31 1 1 31 1 2 1 2 1 aaaaaa aaaa 上单调递减 当 1 1 3 a 时 0 0fx 则 f x在 0 上单调递增 当1a 时 0 令 0fx 解得 1 31 1 2 1 aaa x aa 0 x 1 31 1 2 1 aaa x aa 则当 1 31 1 0 2 1 aaa x aa 时 0fx 当 1 31 1 2 1 aaa x aa 时 0fx 则 f x在 1 31 1 0 2 1 aaa aa 上单调递增 在 1 31 1 2 1 aaa aa 上单调递减 20 本小题满分 14 分 设0b 数列 n a满足 1 ab 1 1 1 n n n nba a an n 2 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 对于一切正整数n 2 n a 1 1 n b 20 1 解 1 1 1 n n n nba a an 1 1 1 nn n aba nan 1 111 nn nn ab ab 当1b 时 1 1 1 nn nn aa 则 n n a 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 1 1 1 n n nn a 即1 n a 当0b 且1b 时 1 1111 11 nn nn abb ab 当1n 时 11 1 1 n n abbb 1 1 n n ab 是以 1 1 bb 为首项 1 b 为公比的等比数列 111 11 n n n abbb 111 1 1 1 n nn n nb ab bbb b 1 1 n n n nb b a b 综上所述 1 01 1 11 n n n nb b bb a b b 且 x y O 2x A P l M M 2 证明 当1b 时 1 212 n n ab 当0b 且1b 时 21 1 1 1 nnn bbbbb 要证 1 21 n n ab 只需证 1 2 1 1 1 n n n nb b b b 即证 2 1 1 1 nn nb b bb 即证 21 21 1 nnn n b bbbb 即证 21 1 1 2 nn n bbbbn b 即证 21 12 1111 2 nn nn bbbbn bbbb 21 12 1111 nn nn bbbb bbbb 21 21 1111 nn nn bbbb bbbb 21 21 1111 22222 nn nn bbbbn bbbb 原不等式成立 对于一切正整数n 2 n a 1 1 n b 21 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy上 直线l 2x 交x轴于点A 设P是l上一点 M是线段OP的垂直 平分线上一点 且满足MPOAOP 1 当点P在l上运动时 求点M的轨迹E的方程 2 已知 1 1 T 设H是E