2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五：解析几何（教师版）

第页 1 20112011 年高考题型专题冲刺精讲 数学 专题五年高考题型专题冲刺精讲 数学 专题五 解析几何解析几何 命题特点 近三年高考解析几何每年出一道满分为 12 分的解析几何大题 究其原因 一是解析几何是中学数学的 一个重要组成部分 二是同学们在未来学习 发展中的需要所致 细细品读这三年的解析几何大题 感觉如 山间的涓涓清泉滋润心田 甘甜可口 不愿离去 为了找到清泉流向远方的目标 我从其志 探其源 求其 真 经过探究 发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下 依纲靠本 查基考能 朴实取材 独具匠 心 不断创新 关注交汇 交切中点 核是线圆 长度面积 最值定值 平行垂直 向量驾驭 求轨探迹 运动探 究 数形结合 各领风骚 灵气十足 回味无穷 文理有别 意境深远 复习建议复习建议 1 加强直线和圆锥曲线的基础知识 初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方 法 2 由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容 选择 填空题灵活多变 思维能力要求较高 解答 题背景新颖 综合性强 代数推理能力要求高 因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容 高考的 热点 问题作深入的研究 3 在第一轮复习的基础上 再通过纵向深入 横向联系 进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思 想和方法 提高我们分析问题和解决问题的能力 4 在注重提高计算能力的同时 要加强心理辅导 帮助学生克服惧怕计算的心态 试题常见设计形式试题常见设计形式 近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型 求曲线方程 类型确定 类型未定 直线与圆锥曲线的交点问题 含切线问题 与曲线有关的最 极 值问题 与曲 线有关的几何证明 对称性或求对称曲线 平行 垂直 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特 征 解析几何虽然内容庞杂 但基本问题却只有几个 如 求直线与圆锥曲线的方程 求动点的轨迹或轨 迹方程 求特定对象的值 求变量的取值范围或最值 不等关系的判定与证明 圆锥曲线有关 性质的探求与证明等 对各类问题 学生应从理论上掌握几种基本方法 使之在实际应用中有法可依 克 服解题的盲目性 如 求变量的取值范围 可指导学生掌握三种方法 几何法 数形结合 函数法和不 等式法 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点 能帮助学生易于找到解题切入点 优化解 题过程 常用的解题策略有 建立适当的平面直角坐标系 设而不求 变式消元 利用韦达定理 沟通坐标与参数的关系 发掘平面几何性质 简化代数运算 用函数与方程思想沟通等与不等的关 系 注意对特殊情形的检验和补充 充分利用向量的工具作用 注意运算的可行性分析 等等 运算是解析几何的瓶颈 它严重制约考生得分的高低 甚至形成心理障碍 教学中要指导学生注重算理 算法 细化运算过程 转化相关条件 回避非必求量 注意整体代换等运算技能 从能力的角度提高对 运算的认识 反思运算失误的经验教训 不断提高运算水平 突破方法技巧突破方法技巧 1 突出解析几何的基本思想 解析几何的实质是用代数方法研究几何问题 通过曲线的方程研究曲 线的性质 因此要掌握求曲线方程的思路和方法 它是解析几何的核心之一 求曲线的方程的常用方法有 两类 一类是曲线形状明确 方程形式已知 如直线 圆 圆锥曲线的标准方程等 常用待定系数法求方 程 第页 2 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示 一般采用以下方法 1 直译法 将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等 量关系式 2 代入法 所求动点与已知动点有着相互关系 可用所求动点坐标 x y 表示出已知动点的坐 标 然后代入已知的曲线方程 3 参数法 通过一个 或多个 中间变量的引入 使所求点的坐标之间的关系更容易确立 消去 参数得坐标的直接关系便是普通方程 4 交轨法 动点是两条动曲线的交点构成的 由x y满足的两个动曲线方程中消去参数 可得所 求方程 故交轨法也属参数法 2 2 熟练掌握直线 圆及圆锥曲线的基本知识 1 直线和圆 直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向 需要注意的是 倾斜角 的范围是 0 1 的 两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点 且 求 h 的值 12 ll 故 22 1 2 2 yx 即 2 2 1 2 x y 2 设 则由知 1 lykxh 12 ll 2 1 lyxh k 第页 7 将代入得 即 1 lykxh 2 2 1 2 x y 2 2 1 2 x kxh 222 12 4220kxkhxh 由与 E 只有一个交点知 即 1 l 2222 164 12 22 0k hkh 22 12kh 同理 由与 E 只有一个交点知 消去得 即 从而 2 l 2 2 1 12h k 2 h 2 2 1 k k 2 1k 即 22 123hk 3h 考点二 圆锥曲线的几何性质考点二 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线中的基本元素 长短轴 焦距 渐近线 离心率等 在自身多处综合就会演变成中档题 要 求熟练掌握其关系 灵活运用图形帮助分析 圆锥曲线第一定义中的限制条件 圆锥曲线第二定义的统 一性 都是考试的重点内容 要能够熟练运用 常用的解题技巧要熟记于心 例例 5 5 如图 21 图 M 2 0 和N 2 0 是平面上的两点 动点P满足 求点P的轨迹方程 若6 PMPN 求点P的坐标 2 1 cos PMPN MPN 解 由椭圆的定义 点P的轨迹是以M N为焦点 长轴长 2a 6 的椭 圆 因此半焦距c 2 长半轴a 3 从而短半轴 b 22 5ac 所以椭圆的方程为 22 1 95 xy 由得 2 1 cos PMPN MPN Acos2 PMPNMPNPMPN AA 因为不为椭圆长轴顶点 故P M N构成三角形 cos1 MPNP 在 PMN中 4 MN 由余弦定理有 222 2cos MNPMPNPMPNMPN A 将 代入 得 22 2 42 2 PMPNPMPN A 故点P在以M N为焦点 实轴长为的双曲线上 2 3 2 2 1 3 x y 第页 8 由 知 点P的坐标又满足 所以由方程组 解得 22 1 95 xy 22 22 5945 33 xy xy 3 3 2 5 2 x y 即P点坐标为 3 353 353 353 35 22222222 或 例例 6 6 20102010江西设椭圆 抛物线 1 若经过的 1 C 22 22 1 0 xy ab ab 2 C 22 xbyb 2 C 1 C 两个焦点 求的离心率 2 设 又为与 1 C 5 0 3 3 4 Ab QbMN 1 C 不在轴上的两个交点 若的垂心为 且的重 2 CyAMN 3 0 4 BbQMN 心在上 求椭圆和抛物线的方程 2 C 1 C 2 C 解 1 因为抛物线经过椭圆的两个焦点 可得 2 C 1 C 12 0 0 FcF c 由得椭圆的离心率 22 cb 2222 2abcc 1 C 2 2 e 2 由题设可知关于轴对称 设 M Ny 11111 0 Mx yN x yx 则由的垂心为 有 所以 AMN B0BM AN 2 111 3 0 4 xyb yb 由于点在上 故有 11 N x y 2 C 22 11 xbyb 式代入 式并化简得 解得或 舍去 22 11 430ybyb 1 4 b y 1 yb 所以 故 所以的重心为 1 5 2 xb 55 2424 bb MbNb QMN 3 4 b 因为重心在上得 所以 2 C 2 2 3 4 b b 2b 11 5 5 22 MN 又因为在上 所以 得 M N 1 C 2 2 2 1 5 2 1 4a 2 16 3 a N x Q M O y 第页 9 所以椭圆的方程为 抛物线的方程为 1 C 22 1 16 4 3 xy 2 C 2 24xy 考点三 考点三 有关圆锥曲线的定义的问题有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一 第二定义求解 例例 7 7 如图 F 为双曲线 C 22 22 10 0 xy ab ab 的右焦点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 P 为双曲线 C 右支上一点 且位于 轴上方 M 为左准线上一点 为坐标原点 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知四边形 为平行四边形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 xOOFPMPFOF 写出双曲线 C 的离心率与的关系式 当时 经过焦点 F 且品行于 OP的直线交双曲e 1 线于 A B 点 若 求此时的双曲线方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12AB 解 四边形是 作双曲线的右准线交 PM 于 H 则 OFPMA OFPMc 2 2 a PMPH c 又 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 22 22222 22 22 PFOFcce e aaPHcae cc cc 2 20ee 当时 双曲线为四边形是菱形 所以直1 2e 2ca 22 3ba 22 22 1 43 xy aa OFPM 线 OP 的斜率为 则直线 AB 的方程为 代入到双曲线方程得 33 2 yxa 22 948600 xaxa 又 由得 解得 则 12AB 22 1212 1 4ABkxxx x 2 2 4860 122 4 99 aa 2 9 4 a 所以为所求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 27 4 b 22 1 27 9 4 xy 例例 8 8 设分别为椭圆的左 右顶点 椭圆长半轴的长等于焦距 且为 A B 22 22 1 0 xy a b ab 4x 它的右准线 求椭圆的方程 设为右准线上不同于点 4 0 的任意一点 若直线P 分别与椭圆相交于异于的点 证明 点在以为直径的圆内 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 AP BP A BMN BMN 第页 10 2 x0 0 0 则 MBP 为锐角 从而 MBN 为钝角 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 BM BP 解法 2 由 得 A 2 0 B 2 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 M x1 y1 N x2 y2 则 2 x1 2 2 x2 2 又 MN 的中点 Q 的坐标为 依题意 计算点 B 到圆心 Q 的 2 21 xx 2 21 yy 距离与半径的差 2 2 2 x1 x2 2 y1 y2 2 2 BQ 2 4 1 MN 2 21 xx 2 21 yy 4 1 x1 2 x2 2 y1y1 又直线 AP 的方程为 y 直线 BP 的方程为 y 3 2 2 1 1 x x y 2 2 2 2 x x y 而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x 4 上 即 y2 2 6 2 6 2 2 1 1 x y x y 2 23 1 12 x yx 4 又点 M 在椭圆上 则 即 1 34 2 1 2 1 yx 4 4 3 2 1 2 1 xy 5 于是将 代入 化简后可得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 从而 点 B 在以 MN 为直 4 5 3 2 BQ 2 4 1 MN0 2 2 4 5 21 xx 径的圆内 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 考点四 直线与圆锥曲线位置关系问题 1 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 进而转化为一元二次方程后利用判别 第页 11 式 应特别注意数形结合的办法 2 注意韦达定理的应用 弦长公式 斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦 AB 若 A B 两点的坐标 分别是 A x1 y1 B x2 y2 则 ABxxyy 12 2 12 2 1 2 12 kxx 1 2 k a 3 注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用 4 有关中点弦问题 已知直线与圆锥曲线方程 求弦的中点及与中点有关的问题 常用韦达定理 有关弦的中点轨迹 中点弦所在直线方程 中点坐标问题 有时采用 差分法 可简化运算 例例 9 9 已知双曲线的两个焦点为 在曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 2 0 2 0 3 7 FFP 点 C 上 求双曲线 C 的方程 记 O 为坐标原点 过点 Q 0 2 的直线 l 与双曲线 C 相交于 不同的两点 E F 若 OEF 的面积为求直线 l 的方程2 2 解 依题意 由a2 b2 4 得双曲线方程为 0 a2 4 将点 3 代入上式 1 4 2 2 2 2 a y a x 7 得 解得a2 18 舍去 或a2 2 故所求双曲线方程为1 4 79 22 aa 1 22 22 yx 解 依题意 可设直线l的方程为y kx 2 代入双曲线C的方程并整理 得 1 k2 x2 4kx 6 0 直线I与双曲线C相交于不同的两点E F k 1 33 1 0 1 64 4 01 22 2 k k kk k 1 3 3 设E x1 y1 F x2 y2 则由 式得x1 x2 于是 1 6 1 4 2 21 2 k xx k k EF 2 21 22 21 2 21 1 xxkyyxx 1 322 14 1 2 2 2 21 2 21 2 k k kxxxxk 而原点O到直线l的距离d 2 1 2 k S OEF 1 322 1 322 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k EFd 第页 12 若S OEF 即解得k 22 0222 1 322 24 2 2 kk k k 2 满足 故满足条件的直线l有两条 其方程分别为y 和22 x 2 2 xy 例例 1010 设点在直线上 过点作双曲线的两条切线 00 P xy 01xm ymm P 22 1xy 切点为 定点 0 1 过点PAPB AB M m 1 作直线的垂线 垂足为 试求 的重A0 xy NAMN 心所在的曲线方程 G 2 求证 三点共线 AMB 解 1 设 AA yxA NN xxN AN 直线 则xy 1 NA NA xx xy 设 2 AA N yx x 2 2 AAAA yxyx N yxG 则 解得 代入双曲线方程 AA A AA AA AA A yx y yx y yx m yx x m x 2 1 6 1 3 2 6 1 2 1 3 1 3 2 1 m yxy m yxx A A 4 1 4 9 4 3 4 3 4 3 4 9 并整理得 即 G 点所在曲线方程为1 22 yx1 2 9 2 3 1 9 2 2 y m x 1 9292 3 1 2 2 y m x 2 设 PA 斜率为 k 则切线 PA 的方程为 11 yxA 22 yxB 11 xxkyy 由 消去 y 并整理得 因为直线 1 22 11 yx xxkyy 01 2 1 2 1111 22 kxyxkxykxk 与双曲线相切 从而 0 及 解得 1 4 1 4 4 22 11 22 11 2 kkxykkxyk 1 2 1 2 1 yx 1 1 y x k 第页 13 因此 PA 的方程为 同理 PB 的方程为 又在 PA PB 上1 11 xxyy1 22 xxyy 0 ymP 即点 都在直线上 又1 101 mxyy1 202 mxyy 11 yxA 22 yxB 0 1y ymx 也在上 A M B 三点共线 1 0 M m0 1y ymx 考点五 圆锥曲线综合应用考点五 圆锥曲线综合应用 平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征 所以这两者多有结合 在它们的知识点交汇处命 题 也是高考命题的一大亮点 直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新 经久不衰的一个考查重点 另外 圆锥曲线中参数的取值范围问题 最值问题 定值问题 对称问题等综合性问题也是高考的常考 题型 解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性 需要 精打细算 近几年解析几何问题的难 度有所降低 但仍是一个综合性较强的问题 对考生的意志品质和数学机智都是一种考验 是高考试题 中区分度较大的一个题目 有可能作为今年高考的一个压轴题出现 圆锥曲线的有关最值问题 圆锥曲线的有关最值问题 圆锥曲线中的有关最值问题 常用代数法和几何法解决 若命题的条 件和结论具有明显的几何意义 一般可用图形性质来解决 利用圆锥曲线的定义 把到焦点的距离转化 为到准线的距离若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 则可建立目标函数 通常利用二次函数 三角函数 均值不等式 求最值 圆锥曲线的圆锥曲线的有关范围问题 设法得到不等式 通过解不等式求出范围 即 求范围 找不等式求范围 找不等式 或 者表示为另一个变量的函数 利用求函数的值域求出范围 圆锥曲线中的存在性问题 圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题 其一般解法是先假设命题存在 用待定系数法设出所求的曲 线方程或点的坐标 再根据合理的推理 若能推出题设中的系数 则存在性成立 否则 不成立 例例 1111 20102010 大纲全国 I 已知抛物线的焦点为 F 过点的直线 与相交于 2 4C yx 1 0 K lCA 两点 点 A 关于轴的对称点为 D 证明 点 F 在直线 BD 上 设 求Bx 8 9 FA FB A 的内切圆 M 的方程 BDK 命题意图 本小题为解析几何与平面向量综合的问题 主要考查抛物线的性质 直线与圆的位置关系 直线与抛物线的位置关系 圆的几何性质与圆的方程的求解 平面向量的数量积等知识 考查考生综合运 用数学知识进行推理论证的能力 运算能力和解决问题的能力 同时考查了数形结合思想 设而不求思 想 解 解 设 的方程为 11 A x y 22 B xy 11 D xy l1 0 xmym 第页 14 由 知 2 1212 1 1 42xxmymym 1212 1 1 1 x xmymy 因为 11 1 FAxy uu r 22 1 FBxy uur 2 12121212 1 1 1484FA FBxxy yx xxxm uu r uur 故 解得 所以 的方程为 2 8 84 9 m 4 3 m l3430 3430 xyxy 又由 知故直线 BD 的斜率 因而直线 BD 的方程为 2 21 4 4 4 47 3 yym 21 43 7yy 因为 KF 为的平分线 故可设圆心3730 3730 xyxy BKD 到 及 BD 的距离分别为 由得 0 11 M tt 0 M tl 31 31 54 tt 3131 54 tt 1 9 t 或 舍去 故圆 M 的半径 所以圆 M 的方程为 9t 312 53 t r 22 14 99 xy 例例 1212 2010 山东 如图 已知椭圆的离心率为 以该椭圆上的点和椭圆的 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 左 右焦点为顶点的三角形的周长为 一等轴双曲 12 F F4 21 线的顶点是该椭圆的焦点 设为该双曲线上异于顶点的任一点 P 第页 15 直线和与椭圆的交点分别为和 1 PF 2 PFBA CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 的斜率分别为 证明 1 PF 2 PF 1 k 2 k 12 1k k 是否存在常数 使得恒成立 若存在 求的值 若不存在 请说明 ABCDAB CD 理由 在双 0 y 曲线上 所以有 即 所以 1 22 00 1 44 xy 22 00 4yx 12 k k 2 0 2 0 4 y x 假设存在常数 使得恒成立 则由 知 所以设直线 AB ABCDAB CD 12 1k k 的方程为 则直线 CD 的方程为 2 yk x 1 2 yx k 由方程组消 y 得 设 22 2 1 84 yk x xy 2222 21 8880kxk xk 11 A x y 22 B xy 则由韦达定理得 2 12 2 8 21 k xx k 2 12 2 88 21 k x x k 所以 AB 同理可得 22 1212 1 4kxxx x 2 2 4 2 1 21 k k CD 2 2 1212 1 1 4xxx x k 2 2 1 4 2 1 1 21 k k 2 2 4 2 1 2 k k 第页 16 又因为 所以有 ABCDAB CD 11 ABCD 2 2 21 4 2 1 k k 2 2 2 4 2 1 k k 所以存在常数 使得恒成立 2 2 333 2 84 2 1 k k 3 2 8 ABCDAB CD 例例 1313 20102010 湖南 为了考察冰川的融化状况 一支科考队在某冰川上相距 8km 的A B两点各建一个 考察基地 视冰川面为平面形 以过A B两点的直线为x轴 线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直 角坐标系 图 6 在直线的右侧 考察范围为到点B的距离不超过km 的区域 在直线2x 6 5 5 的左侧 考察范围为到A B两点的距离之和不超过km 的区域 求考察区域边界曲线的2x 4 5 方程 如图 6 所示 设线段 是冰川的部分边界线 不考虑其他边界 当冰川融化时 边界线 12 PP 23 P P 沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动 第一年移动 0 2km 以后每年移动的距离为前一年的 2 倍 求冰 川边界线移动到考察区域所需的最短时间 解 设边界曲线上点 P的坐标 为 当x 2 时 x y 由题意知 22 36 4 5 xy 当x 2 时 由知 点P在以为焦点 长轴长的椭圆上 此时短半轴长 4 5PAPB A B24 5a 因而其方程为 22 2 5 42b 22 1 204 xy 故考察区域边界曲线 如图 的方程为C1 x 2 和C2 x38yx 1 l 148 3 1 3 d 2 l 6 5 6 5 d d 3 所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为 3 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年 则 由题设及等比数列求和公式 得 所以n 4 故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时 0 2 21 3 2 1 n 间为 4 年 例例 1414 20102010 福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线 使得直线 与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与ll 的距离等于 4 若存在 求出直线 的方程 若不存在 请说明理由 ll 命题意图 本小题主要考查直线 椭圆等基础知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查函数与 方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 解析 1 依题意 可设椭圆 C 的方程为 且可知左焦点为 22 22 1 a 0 b 0 xy ab F 2 0 从而有 解得 c 2 2a AF AF 3 5 8 c 2 a 4 又 所以 故椭圆 C 的方程为 222 a b c 2 b12 22 1 1612 xy 第页 18 2 假设存在符合题意的直线 其方程为 l 3 y x t 2 由得 22 3 y x t 2 xy 1 1612 22 3x 3tx t 12 0 因为直线 与椭圆有公共点 所以有 解得 l 22 3t 4 3 t 12 0 4 3t4 3 另一方面 由直线 OA 与 的距离 4 可得 从而 l t 4 9 1 4 t 2 13 由于 所以符合题意的直线 不存在 2 13 4 3 4 3 l 例例 1515 20102010浙江 已知m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 分别为椭圆的左 右焦点 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F FC 当直线 过右焦点时 求直线 的方程 l 2 Fl 设直线 与椭圆交于两点 的重心分别为 若原点在以线段lC A B 12 AFFV 12 BFFV G HO 为直径的圆内 求实数的取值范围 GHm 解 因为直线经过 l 2 0 2 m xmy 2 2 1 0 Fm 所以 得 又因为 所以 2 2 1 2 m m 2 2m 1m 2m 故直线 的方程为 l 2 2 20 2 xy 解 设 由 消去得 1122 A x yB xy 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m x 第页 19 则由 知 2 2 210 4 m ymy 2 22 8 1 80 4 m mm 2 8m 且有 由于 故为的中点 2 1212 1 282 mm yyy y A 12 0 0 FcF c O 12 FF 由 可知2 2AGGO BHHO 1121 3333 xyxy Gh 22 2 1212 99 xxyy GH 设是的中点 则 由题意可知MGH 1212 66 xxyy M 2 MOGH 即即 22 22 12121212 4 6699 xxyyxxyy 1212 0 x xy y 而 22 12121212 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 1 82 m m 所以即又因为且所以 所以的取值范围是 2 1 0 82 m 2 4m 1m 0 12m m 1 2 突破训练突破训练 1 如图所示 已知圆MAyxC 0 1 8 1 22 定点 为圆上一动点 点 P 在 AM 上 点 N 在 CM 上 且满足NAMNPAPAM点 0 2 的轨迹为曲线 E I 求 曲线 E 的方程 II 过点 A 且倾斜角是 45 的直线l交曲线 E 于两点 H Q 求 HQ 解解 1 0 2 AMNPAPAM NP 为 AM 的垂直平分线 NA NM 2 分 又 2 22 22 ANCNNMCN 动点 N 的轨迹是以点 C 1 0 A 1 0 为焦点的椭圆 且 椭圆长轴长为 222 a焦距 2c 2 1 1 2 2 bca 5 分 曲线 E 的方程为 1 2 2 2 y x 6 分 2 直线l的斜率 1 45tan k 直线l的方程为 1 xy 8 分 第页 20 由 0 43 1 2 1 2 2 2 xxy y x xy 得消去 10 分 设0 3 4 21212211 xxxxyxQyxH则 2 3 4 3 4 24 1 1 2 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkHQ12 分 2 已知两点 动点 P 在 y 轴上的射影为 Q 1 求动点 P 的轨迹 EA 2 0 B 2 0 2 PA PB2PQ 的方程 2 设直线 m 过点 A 斜率为 k 当时 曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线0k1 m 的距离为 试求 k 的值及此时点 C 的坐标 2 解 1 设动点 P 的坐标为 则点 x y Q 0 y PQ x 0 PA 2x y 因为 所以 PB 2x y 22 PA PBx2y 2 PA PB2PQ 222 x2y2x 即动点 P 的轨迹方程为 22 yx2 2 设直线 m yk x2 0k1 依题意 点 C 在与直线 m 平行 且与 m 之间的距离为的直线上 2 设此直线为 由 即 1 m ykxb 2 2kb 2 k1 2 b2 2kb2 把代入 整理得 ykxb 22 yx2 222 k1 x2kbx b2 0 则 即 2222 4k b4 k1 b2 0 22 b2k2 由 得 此时 由方程组 2 5 k 5 10 b 5 22 2 510 yx C 2 2 10 55 yx2 3 在直角坐标系中 已知一个圆心在坐标原点 半径为 2 的圆 从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP P 为垂足 1 求线段 PP 中点 M 的轨迹 C 的方程 2 过点 Q 2 0 作直线 l 与曲线 C 交于 A B 两点 设 N 是过点 且以 为方向向量的直线上一动点 满足 O 为坐 4 0 17 1 0 aOBOAON 标原点 问是否存在 这样的直线 l 使得四边形 OANB 为矩形 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明文由 解解 1 设 M x y 是所求曲线上的任意一点 P x1 y1 是方程 x2 y2 4 的圆上的任意一点则 第页 21 A y x OB G F F1 图 4 则有得轨迹 C 的方程为 0 1 y P 44 2 2 222 1 1 11 1 yx yy xx yy y x x 代入即 1 4 2 2 y x 1 当直线 l 的斜率不存在时 与椭圆无交点 所以设直线 l 的方程为 y k x 2 与椭圆交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 N 点所在直线方程为 0 17 4 x 由 0 444 4 2 1 4 2222 2 2 kxkxk xky y x 得 由 3 4 0 44 4 416 2224 kkkk 即 3 32 3 32 k 4 1 4 4 4 2 2 21 2 2 21 k k xx k k xx 即 四边形 OANB 为平行四边形 OBOAON OBAN 假设存在矩形 OANB 则 即 0 OBOA0 2121 yyxx 即 于是有 得 04 2 1 2 21 2 21 2 kxxkxxk0 4 416 2 2 k k 2 1 k 设 即点 N 在直线上 存 17 4 4 4 2 2 21000 k k xxxOBOAONyxN得由 17 4 x 在直线 l 使四边形 OANB 为矩形 直线 l 的方程为 2 2 1 xy 4 设0b 椭圆方程为 22 22 1 2 xy bb 抛物线方程为 2 8 xyb 如图 4 所示 过点 02 Fb 作x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为G 已知抛物线在点G的切线经过椭圆的 右焦点 1 F 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设AB 分别是椭圆长轴的左 右端点 试 探究在抛物线上是否存在点P 使得ABP 为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明 理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 1 由 2 8 xyb 得 2 1 8 yxb 第页 22 当2yb 得4x G 点的坐标为 4 2 b 1 4 yx 4 1 x y 过点 G 的切线方程为 2 4ybx 即2yxb 令0y 得2xb 1 F 点的坐标为 2 0 b 由椭圆方程得 1 F点的坐标为 0 b 2bb 即1b 即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 1 2 x y 和 2 8 1 xy 2 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P 以PAB 为直角的Rt ABP 只有一个 同理 以PBA 为直角的Rt ABP 只有一个 若以APB 为直角 设P点坐标为 2 1 1 8 xx A B两点的坐标分别为 2 0 和 2 0 22242 115 2 1 10 8644 PA PBxxxx A 关于 2 x的二次方程有一大于零的解 x 有两解 即以APB 为直角的Rt ABP 有两个 因此抛物线上存在四个点使得ABP 为直角三角形 5 设椭圆其相应于焦点的准 22 22 1 0 xy Cab ab 2 0 F 线方程为 求椭圆的方程 4x C 已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两 1 2 0 F C A B 点 求证 2 4 2 2 AB COS 过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 1 2 0 F C 和 求 的最小值 A B D EABDE 解 1 由题意得 椭圆的方程为 2 2 2 222 2 8 4 4 c a a c b abc C 22 1 84 xy 2 由 1 知是椭圆的左焦点 离心率 1 2 0 F C 2 2 e 设 为椭圆的左准线 则作 与轴交于点 H 如图 l 4l x 1111 AAlA BBlB 于于lx 点 A 在椭圆上 11 2 2 AFAA 11 2 cos 2 FHAF 1 2 2cos 2 AF 第页 23 同理 1 2 2cos AF 1 2 2cos BF 11 2 224 2 2cos2cos2cos ABAFBF 6 已知抛物线 2 4C yx 点M m 0 在x轴的正半轴上 过M的直线l与C相交于A B两点 O为坐 标原点 若m 1 l的斜率为 1 求以AB为直径的圆的方程 若存在直线l使得 AMOMMB成等比数列 求实数m的取值范围 则 1122 AMmxyMBxm y 所以 21 21 xmmx yy 因为点A B在抛物线C上 所 1 以 22 1122 4 4yxyx 由 消去 212 xyy得 1 xm 10 分 2 1 2 若此直线l使得 AMOMMB成等比数列 则 2 OMMBAM 即 2 OMAMAM 所以 222 11 mxmy 因为 2 11 4yx 1 xm 所以 22 11 1 4 m mxmx x 整理得 22 11 34 0 xmxm 12 分因 3 为存在直线l使得 AMOMMB成等比数列 所以关于x1的方程有正根 因为方程的两根之 3 3 第页 24 积为m2 0 所以只可能有两个正根 所以 2 22 340 0 34 40 m m mm 解得4m 故当4m 时 存在直 线l使得 AMOMMB成等比数列 14 分 方法二 解 设使得 AMOMMB成等比数列的直线AB方程为 0 xm m 或 0 yk xmk 当直线AB方程为xm 时 4 4 A mmB mm 因为 AMOMMB成等比数列 所以 2 OMMBAM 即 2 4mm 解得m 4 或m 0 舍 当直线AB方程为 yk xm 时 由 2 4 yk xm yx 得 22222 24 0k xk mxk m 设A B两点坐标为 1122 A x yB xy 则 2 2 1212 2 24 k m xxx xm k 由m 0 得 222222 24 416160k mkk mk mD 1 因为 AMOMMB成等比数列 所以 2 OMMBAM 所以 22222 1122 mxmyxmy 因为A B两点在抛物线C上 2 所以 22 1122 4 4yxyx 11 分由 消去 1122 x y xy 得 2 1 4 1 m k 3 1 2 3 因为存在直线l使得 AMOMMB成等比数列 所以 2 1 4 1 4m k 综上 当4m 时 存在直线l使得 AMOMMB成等比数列 7 2010 天津 已知椭圆 0 的离心率 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 22 22 1 xy ab ab 3 2 e 面积为 4 求椭圆的方程 设直线 与椭圆相交于不同的两点 已知点的坐标为 0 l A BAa 点 0 在线段的垂直平分线上 且 4 求的值 Q 0 yABQA QB A 0 y 解 由 得 再由 得 3 e 2 c a 22 34ac 222 cab 2ab 由题意可知 解方程组 得 a 2 b 1 所以椭圆的方程为 1 224 2 2 abab 即 2 2 ab ab 2 2 1 4 x y 第页 25 由 1 可知 A 2 0 设 B 点的坐标为 x1 y1 直线 l 的斜率为 k 则直线 l 的方程为 y k x 2 于是 A B 两点的坐标满足方程组 2 2 2 1 4 yk x x y 由方程组消去 Y 并整理 得 2222 14 16 164 0kxk xk 由得 2 1 2 164 2 14 k x k 2 11 22 284 1414 kk xy kk 从而 设线段 AB 是中点为 M 则 M 的坐标为以下分两种情况 2 22 82 1414 kk kk 1 当 k 0 时 点 B 的坐标为 2 0 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴 于是 000 2 y 2 2QAQByQA QBy A 由4 得 2 2 当 K时 线段 AB 的垂直平分线方程为0 2 22 218 1414 kk Yx kkk 令 x 0 解得由 0 2 6 14 k y k 0110 2 y QAQBx yy 2 1010 2222 2 28 646 2 14141414 kkkk QA QBxyyy kkkk A 整理得 42 22 4 16151 4 14 kk k 2 0 142 14 72 75 kky 故所以 综上 00 2 14 2 2 5 yy 或 8 已知椭圆1 42 22 yx 两焦点分别为F1 F2 P是椭圆在第一象限弧上一点 并满足1 21 PFPF 过P 作倾斜角互补的两条直线PA PB分别交椭圆于A B两点 1 求P点坐标 2 求证直线AB的斜率 为定值 3 求 PAB面积的最大值 解 1 由题可得 2 0 1 F 20 2 F 设 0 0 00000 yxyxP 则 2 001 yxPF 2 001 yxPF 2 分 第页 26 1 2 2 0 2 021 yxPFPF 点 00 yxP在曲线上 则1 42 2 0 2 0 yx 2 4 2 02 0 y x 从而 1 2 2 4 2 0 2 0 y y 得2 0 y 则点P的坐标为 2 1 5 分 2 由题意知 两直线PA PB的斜率必存在 设PB的斜率为 0 kk 6 分 则BP的直线方程为 1 2 xky 由 1 42 1 2 22 yx xky 得xkkxk 2 2 2 22 04 2 2 k 设 BB yxB 则 2 2 22 2 222 1 2 2 2 2 2 2 1 k kk k kk x k kk x BB 同理可得 2 2 2 222 k kk xA 则 2 2 24 k k xx BA 2 2 8 1 1 k k xkxkyy BABA 9 分 所以 AB的斜率2 BA BA AB xx yy k为定值 10 分 3 设AB的直线方程 mxy 2 由 1 42 2 22 yx mxy 得04224 22 mmxx 由0 4 16 22 22 mm 得2222 m P到AB的距离为 3 m d 12 分则 3 3 2 1 4 2 1 2 1 2 m mdABS PAB 2 2 8 8 1 8 8 1 2 22 22 mm mm 当且仅当 22 222 m取等号 三角形PAB面积的最大值为2 14 分 9 湖北 已知一条曲线 C 在 y 轴右边 C 上没一点到点 F 1 0 的距离减去它到 y 轴距离的差是 1 求 曲线 C 的方程 是否存在正数 m 对于过点 M m 0 且与曲线 C 有连个交点 A B 的任一直线 都有 若存在 求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 0FA FB 解 解 设是曲线C 上任意一点 那么点满足 P x y P x y 2 2 11xyx 0 x 化简得 2 4yx 0 x 设过点 的直线与曲线 C 上交点为 0M m 0m 1122 A x y B x y 设直线的方程为 由得 xtym 2 4 xtym yx 2 440ytym 2 160tm 于是 又 12 12 4 4 yyt yym 11 1FAx y 22 1FBx y 0FA FB 第页 27 又 于是不等式 等价于 1212121212 1110 xxy yx xxxy y 2 1 4 xy 2222 1212 12 10 4444 yyyy y y 2 2 12 121212 1 210 164 y y y yyyy y 由 式 不等式 等价于 22 614mmt 对任意实数t 的最小值为 0 所以不等式 对于一切t成立等价于 2 4t 即 2 61mm 32 232 2m 由此可知 存在正数m 对于过点且与曲线 C 有两个焦点 A B 的任一直线 都有 0M m 且m的取值范围是 0FA FB 32 232 2m 10 四川省文已知定点A 1 0 F 2 0 定直线l x 不在x轴上的动点P与点F的距离是它 1 2 到直线l的距离的 2 倍 设点P的轨迹为E 过点F的直线交E于B C两点 直线AB AC分别交l于点 M N 求E的方程 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F 并说明理由 解 1 设P x y 则化简得x2 1 y 0 4 分 22 1 2 2 2 xyx 2 3 y 2 当直线BC与x轴不垂直时 设BC的方程为y k x 2 k 0 与双曲线x2 1 联立消去y得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设B x1 y1 2 3 y C x2 y2 则y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k k2 4 w w w k s5 u c o m 因为x1 x2 1 所以直线AB的方程为y 22 22 438 33 kk kk 2 2 9 3 k k x 1 因此M点的坐标为 同理可得 1 1 1 y x 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 0 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 第页 28 F Q o y x 当直线BC与x轴垂直时 起方程为x 2 则B 2 3 C 2 3 AB的方程为y x 1 因此M点的坐标 为 同理可得因此 0 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 33 22 FN 2 333 222 FM FN A 综上 0 即FM FN故以线段MN为直径的圆经过点F 12 分FM FN A 11 北京文 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 离心率是 直线 y t 椭圆 C 2 0 2 0 6 3 交与不同的两点 M N 以线段 MN 为直径作圆 P 圆心为 P 求椭圆 C 的方程 若圆 P 与 x 轴 相切 求圆心 P 的坐标 设 Q x y 是圆 P 上的动点 当 t 变化时 求 y 的最大值 解 因为 且 所以所以椭圆 C 的方程为 6 3 c a 2c 22 3 1abac 2 2 1 3 x y 由题意知由 得所以圆 P 的半径为解 0 11 ptt 2 2 1 3 yt x y 2 3 1 xt 2 3 1 t 得 所以点 P 的坐标是 0 3 2 t 3 2 由 知 圆 P 的方程 因为点在圆 P 上 222 3 1 xytt Q x y 所 以设 则 222 3 1 3 1 yttxtt cos 0 t 2 3 1 cos3sintt 当 即 且 取最大值 2 12 已知的面积为 S 且 2sin 6 3 1 2 t 0 x yOFQ OF FQ1 建立如图所示坐标系 1 若 求直线 FQ 的方程 1