2011年高考数学试题分类汇编 数列

用心 爱心 专心 1 十 数列十 数列 一 选择题 1 天津理 4 已知 n a 为等差数列 其公差为 2 且 7 a 是 3 a 与 9 a 的等比中项 n S 为 n a 的前n项和 nN 则 10 S 的值为 A 110 B 90 C 90 D 110 答案 D 2 四川理 8 数列 n a 的首项为3 n b 为等差数列且 1 nnn baa nN 若则 3 2b 10 12b 则 8 a A 0 B 3 C 8 D 11 答案 B 解析 由已知知 1 28 28 nnn bnaan 由叠加法 21328781 642024603aaaaaaaa 3 四川理 11 已知定义在 0 上的函数 f x 满足 3 2 f xf x 当 0 2x 时 2 2f xxx 设 f x 在 22 2nn 上的最大值为 n a nN 且 n a 的前n项和为 n S 则 lim n n S A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 答案 D 解析 由题意 1 2 3 f xf x 在 2 2 2 nn 上 21 1 1 1113 3 1 1 2 3 lim 1 3332 1 3 n n nnn nf xnf xnf xaSS 4 上海理 18 设 n a 是各项为正数的无穷数列 i A 是边长为 1 ii a a 的矩形面积 1 2 i 则 n A 为等比数列的充要条件为 A n a 是等比数列 B 1321 n a aa 或 242 n a aa 是等比数列 用心 爱心 专心 2 C 1321 n a aa 和 242 n a aa 均是等比数列 D 1321 n a aa 和 242 n a aa 均是等比数列 且公比相同 答案 D 5 全国大纲理 4 设 n S 为等差数列 n a 的前n项和 若 1 1a 公差 2d 2 24 kk SS 则k A 8 B 7 C 6 D 5 答案 D 6 江西理 5 已知数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 nmn m SSS 且 1 a 1 那么 10 a A 1 B 9 C 10 D 55 答案 A 7 福建理 10 已知函数 f x e x 对于曲线 y f x 上横坐标成等差数列的三个点 A B C 给出以下判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 答案 B 二 填空题 8 湖南理 12 设 n S 是等差数列 n a nN 的前n项和 且 14 1 7aa 则 9 S 答案 25 9 重庆理 11 在等差数列 n a 中 37 37aa 则 2468 aaaa 答案 74 10 北京理 11 在等比数列 an 中 a1 1 2 a4 4 则公比 q 12 n aaa 2 答案 2 1 2 1 n 11 安徽理 14 已知 ABC 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4 的 等差数列 则 ABC 的面积为 用心 爱心 专心 3 答案 315 12 湖北理 13 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自上而下各节的容积 成等差数列 上面 4 节的容积共为 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节的容积为 升 答案 67 66 13 广东理 11 等差数列 n a 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则 k 答案 10 14 江苏 13 设 721 1aaa 其中 7531 aaaa 成公比为 q 的等比数列 642 aaa 成公差为 1 的等差数列 则 q 的最小值是 答案 3 3 三 解答题 15 江苏 20 设 部分为正整数组成的集合 数列 1 1 aan的首项 前 n 项和为 n S 已 知对任意整数 k M 当整数 2 knknkn SSSSkn 时 都成立 1 设 52 2 1 aaM求 的值 2 设 4 3 n aM求数列 的通项公式 本小题考查数列的通项与前n项和的关系 等差数列的基本性质等基础知识 考查考生分析 探究及逻辑推理的能力 满分 16 分 解 1 由题设知 当 111 2 2 nnn nSSSS 时 即 111 2 nnnn SSSSS 从而 1122 22 2 2 2 2 22 nnn aaaanaann 又故当时 所以 5 a 的值为 8 2 由题设知 当 3 4 22 n kn knk kMnkSSS 且时 S 111 22 nknknk SSSS 且 两式相减得 1111111 2 nknknnknknnk aaaaaaa 即 所以当 6336 8 nnnnn naaaaa 时 成等差数列 且 6226 nnnn aaaa 也成等差数 用心 爱心 专心 4 列 从而当 8n 时 3366 2 nnnnn aaaaa 且 662222 8 2 nnnnnnn aaaanaaa 所以当时 即 223113 9 nnnnnnnn aaaanaaaa 于是当时 成等差数列 从而 3311nnnn aaaa 故由 式知 1111 2 nnnnnnn aaaaaaa 即 当 9n 时 设 1 nn daa 当2 8 68mm 时 从而由 式知 612 2 mmm aaa 故 7113 2 mmm aaa 从而 7611312 2 mmmmmm aaaaaa 于是 1 2 mm aaddd 因此 1nn aad 对任意 2n 都成立 又由 22 3 4 n kn kkk SSSSk 可 知 34 2 92162 n knnn kk SSSSSdSdS 故且 解得 421 73 222 d adad a 从而 因此 数列 n a 为等差数列 由 1 12 ad 知 所以数列 n a 的通项公式为 21 n an 16 安徽理 18 在数 1 和 100 之间插入n个实数 使得这 2n 个数构成递增的等比数列 将这 2n 个数的 乘积记作 n T 再令 lg nn aT 1n 求数列 n a 的通项公式 设 1 tantan nnn baa A 求数列 n b 的前n项和 n S 本题考查等比和等差数列 指数和对数的运算 两角差的正切公式等基本知识 考查灵活运 用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 解 I 设 221 n lll 构成等比数列 其中 100 1 21 n tt 则 2121 nnn ttttT 用心 爱心 专心 5 1221 ttttT nnn 并利用 得 21 102 2131 nitttt nin 1 2lg 10 2 2 12211221 2 nnTattttttttT nn n nnnnn II 由题意和 I 中计算结果 知 1 3tan 2tan nnnbn 另一方面 利用 tan 1tan 1 tan 1tan 1tan 1tan kk kk kk 得 1 1tan tan 1tan tan 1tan kk kk 所以 2 31 tan 1tan n k n k kn kkbS 1tan 3tan 3tan 1 1tan tan 1tan 2 3 n n kk n k 17 北京理 20 若数列 12 2 nn Aa aa n 满足 11 1 1 2 1 n aakn 数列 n A 为E数列 记 n S A 12 n aaa 写出一个满足 1 0 s aa 且 s S A 0 的E数列 n A 若 1 12a n 2000 证明 E 数列 n A 是递增数列的充要条件是 n a 2011 对任意给定的整数 n n 2 是否存在首项为 0 的 E 数列 n A 使得 n S A 0 如果存在 写出一个满足条件的 E 数列 n A 如果不存在 说明理由 解 0 1 2 1 0 是一具满足条件的 E 数列 A5 答案不唯一 0 1 0 1 0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5 必要性 因为 E 数列 A5 是递增数列 所以 1999 2 1 1 1 kaa kk 所以 A5 是首项为 12 公差为 1 的等差数列 所以 a2000 12 2000 1 1 2011 充分性 由于 a2000 a1000 1 用心 爱心 专心 6 a2000 a1000 1 a2 a1 1 所以 a2000 a 19999 即 a2000 a1 1999 又因为 a1 12 a2000 2011 所以 a2000 a1 1999 故 nnn Akaa即 1999 2 1 01 1 是递增数列 综上 结论得证 令 1 1 2 1 01 1 Akkk cnkaac则 因为 2111112 ccaacaa 1211 nn cccaa 所以 13211 3 2 1 nn ccncncnnaAS 1 2 1 1 1 2 1 121 n cncnc nn 因为 1 1 1 1 nkcc kk 为偶数所以 所以 1 2 1 1 1 21n cncnc 为偶数 所以要使 2 1 0 nn AS n 必须使 为偶数 即 4 整除 144 1 Nmmnmnnn 或亦即 当 1 0 14 241414 kkkn aaaAENmmn的项满足数列时1 4 k a 2 1 mk 时 有 0 0 1 n ASa 0 0 0 2 1 1 1144 nkk ASaamka有时 当 n AENmmn数列时 14 的项满足 1 0 243314 kkk aaa 当 1 3424 mnNmmnmn时或 不能被 4 整除 此时不存在 E 数列 An 使得 0 0 1 n ASa 18 福建理 16 用心 爱心 专心 7 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 II 若函数 sin 2 0 0 f xAxAp 在 6 x 处取得最大值 且最大值 为 a3 求函数 f x 的解析式 本小题主要考查等比数列 三角函数等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 满分 13 分 解 I 由 3 1 3 1 3 1313 3 31 33 a qS 得 解得 1 1 3 a 所以 12 1 33 3 nn n a II 由 I 可知 2 3 3 3 n n aa 所以 因为函数 f x 的最大值为 3 所以 A 3 因为当 6 x 时 f x 取得最大值 所以 sin 2 1 6 又 0 6 故 所以函数 f x 的解析式为 3sin 2 6 f xx 19 广东理 20 设 b 0 数列 n a 满足 a1 b 1 1 2 22 n n n nba an an 1 求数列 n a 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n 1 1 1 2 n n n b a 用心 爱心 专心 8 解 1 由 1 1 11 121 0 0 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 n n n AA ab 当 1 12 2 nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 nn nn bbbb 当 2b 时 12 1 2 2 2 1 n nn n n bbb A bb b 当 2 2 n n bA 时 2 2 2 2 2 n nn n nbb b a b b 2 当 2b 时 欲证 11 11 2 2 1 1 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 1111121 2 2 2 22 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2 222 nnn nn nnn bbb b bbb 1 2 222 222 nnnnnn bnbnb 用心 爱心 专心 9 1 1 2 1 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2 21 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1 2 n n n b a 20 湖北理 19 已知数列 na 的前n项和为 nS 且满足 1aa 0 a 1nnarS n N 1 rR r 求数列 na 的通项公式 若存在k N 使得 1kS kS 2kS 成等差数列 是判断 对于任意的m N 且 2m 1ma ma 2ma 是否成等差数列 并证明你的结论 本小题主要考查等差数列 等比数列等基础知识 同时考查推理论证能力 以及特殊与一般 的思想 满分 13 分 解 I 由已知 1 nn arS 可得 21nn arS 两式相减可得 2111 nnnnn aar SSra 即 21 1 nn ara 又 21 arara 所以 r 0 时 数列 n a 为 a 0 0 当 0 1rr 时 由已知 0 0 n aa 所以 nN 于是由 21 1 nn ara 可得 2 1 1 n n a rnN a 23 n a aa 成等比数列 当n2时 2 1 n n ar ra 综上 数列 n a 的通项公式为 2 1 1 2 n n n an a r ra n II 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 证明如下 用心 爱心 专心 10 当 r 0 时 由 I 知 1 0 2 m a n a n 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 当 0r 1r 时 21211 kkkkkk SSaaSa 若存在 kN 使得 112 kk SS S 成等差数列 则 12 2 kkk SSS 1221 222 2 kkkkkk SaaSaa 即 由 I 知 23 m a aa 的公比 12r 于是 对于任意的 mN 且 12 2 2 4 mmmm maaaa 从而 1212 2 mmmmmm aaaaaa 即 成等差数列 综上 对于任意的 mN 且 12 2 mmm maaa 成等差数列 21 辽宁理 17 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列 1 2n n a 的前 n 项和 解 I 设等差数列 n a 的公差为 d 由已知条件可得 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故数列 n a 的通项公式为 2 n an 5 分 II 设数列 1 2 n n n a nS 的前项和为 即 2 11 1 1 22 n n n aa SaS 故 12 2242 nn n Saaa 用心 爱心 专心 11 所以 当 1n 时 121 1 1 1 1 2222 1112 1 2422 12 1 1 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n 2n n 所以 1 2 n n n S 综上 数列 11 22 n n nn an nS 的前项和 12 分 22 全国大纲理 20 设数列 n a 满足 1 0a 且 1 11 1 11 nn aa 求 n a 的通项公式 设 1 1 1 1 n n nnkn k a bbS n 记S证明 解 I 由题设 1 11 1 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为 1 的等差数列 又 1 11 1 11 n n aa 故 所以 1 1 n a n II 由 I 得 用心 爱心 专心 12 1 1 1 1 11 1 n n a b n nn nn nn 8 分 11 111 11 11 nn nk kk Sb kkn 12 分 23 全国新课标理 17 已知等比数列 n a 的各项均为正数 且 2 12326 231 9aaaa a I 求数列 n a 的通项公式 II 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 1 n b 的前 n 项和 解 设数列 an 的公比为 q 由 2 326 9aa a 得 32 34 9aa 所以 2 1 9 q 由条件可知 c 0 故 1 3 q 由 12 231aa 得 12 231aa q 所以 1 1 3 a 故数列 an 的通项式为 an 1 3n 31323n loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 用心 爱心 专心 13 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n 24 山东理 20 等比数列 n a 中 123 a a a 分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且 123 a a a 中的任何 两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 求数列 n a 的通项公式 若数列 n b 满足 1 ln nnn baa 求数列 n b 的前 n 项和 n S 解 I 当 1 3a 时 不合题意 当 1 2a 时 当且仅当 23 6 18aa 时 符合题意 当 1 10a 时 不合题意 因此 123 2 6 18 aaa 所以公式 q 3 故 1 2 3 n n a II 因为 1 ln n nnn baa 11 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1 ln2 1 ln3 2 3 1 ln2ln3 1 ln3 nnn nn nnn n n 所以 212 2 2 1 33 1 1 1 1 ln2ln3 125 1 ln3 nnn n Sn 所以 当 n 为偶数时 1 3 2ln3 1 32 n n n S 3ln3 1 2 n n 当 n 为奇数时 1 31 2 ln2ln3 ln3 1 32 n n n Sn 用心 爱心 专心 14 1 3ln3ln2 1 2 n n 综上所述 3ln3 1 2 1 2 n n n n n S n 为偶数 3 l n3 l n2 1 n为奇数 25 上海理 22 已知数列 n a 和 n b 的通项公式分别为 36 n an 27 n bn nN 将集合 nn x xa nNx xb nN 中的元素从小到大依次排列 构成数列 123 n c c cc 1 求 1234 c c c c 2 求证 在数列 n c 中 但不在数列 n b 中的项恰为 242 n a aa 3 求数列 n c 的通项公式 解 1234 9 11 12 13cccc 任意 nN 设 21 3 21 66327 nk annbk 则 32kn 即 2132nn ab 假设 2 6627 nk anbk 1 3 2 knN 矛盾 2 nn ab 在数列 n c 中 但不在数列 n b 中的项恰为 242 n a aa 3221 2 32 763 kk bkka 31 65 k bk 2 66 k ak 3 67 k bk 63656667kkkk 当 1k 时 依次有 111222334 bac bc ac bc 用心 爱心 专心 15 63 43 65 42 66 41 67 4 n knk knk ckN knk knk 26 四川理 20 设d为非零实数 12211 1 2 1 nnnn nnnnn aC dC dnCdnC dnN n 1 写出 123 a a a 并判断 n a 是否为等比数列 若是 给出证明 若不是 说明理由 II 设 nn bndanN 求数列 n b 的前 n 项和 n S 解析 1 1 2 2 3 1 1 ad ad d ad d 0122311 1 1 1 1 1 nnn nnnnn n n n n aC dC dC dCddd add a d a 因为d为常数 所以 n a 是以d为首项 1d 为公比的等比数列 2 21 20212221 20121 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1 n n n n n bndd Sddddddndd ddddnd 2123 1 1 2 1 3 1 1 2 n n d Sddddnd 2 1 222 1 1 1 1 1 1 1 n nn n d dSdd nddd ndd d 1 1 1 n n Sdnd 27 天津理 20 已知数列 n a 与 n b 满足 112 3 1 0 2 n nnnnnn b aabab n N 且 12 2 4aa 求 345 a a a 的值 用心 爱心 专心 16 设 2121 nnn caanN 证明 n c 是等比数列 III 设 242 kk SaaakN 证明 4 1 7 6 n k k k S nN a 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证能力 综 合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 I 解 由 3 1 2 n n bnN 可得 1 n n b 为奇数 2 n为偶数 又 112 0 nnnnn b aaba 123123 2344 3454 3 5 4 当n 1时 a a 2a 0 由a 2 a 4 可得a 当n 2时 2a a a 0 可得a 当n 3时 a a 2a 0 可得a II 证明 对任意 nN 21221 20 nnn aaa 22122 20 nnn aaa 212223 20 nnn aaa 得 223 nn aa 将 代入 可得 21232121 nnnn aaaa 即 1 nn cc nN 又 113 1 0 n caa 故c 因此 1 1 n n n c c c 所以 是等比数列 III 证明 由 II 可得 2121 1 k kk aa 于是 对任意 2kNk 且 有 用心 爱心 专心 17 13 35 57 2321 1 1 1 1 1 k kk aa aa aa aa 将以上各式相加 得 121 1 1 k k aak 即 1 21 1 1 k k ak 此式当 k 1 时也成立 由 式得 1 2 1 3 k k ak 从而 22468424 kkk Saaaaaak 2124 3 kkk SSak 所以 对任意 2nNn 4 4342414 11 4342414 nn kmmmm km kmmmm SSSSS aaaaa 1 2221232 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 2 21 22 22 n m mmmm 2 253 2 32 21 22 23 n m mmnn 2 153 3 21 21 22 23 n m mmnn 151111113 3235572121 22 23 nnnn 15513 362 21 22 23 7 6 nnn 对于 n 1 不等式显然成立 所以 对任意 nN 用心 爱心 专心 18 21212 12212 nn nn SSSS aaaa 3212124 1234212 nn nn SSSSSS aaaaaa 222 11121 1 1 1 41244 41 4 41 nn n 222 11121 41244 41 44 41 nnn n n 111 4123 nn 28 浙江理 19 已知公差不为 0 的等差数列 n a 的首项 1 a 为 a a R 设数列的前 n 项 和为 n S 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比数列 1 求数列 n a 的通项公式及 n S 2 记 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 当 2n 时 试比较 n A 与 n B 的大小 本题主要考查等差数列 等比数列 求和公式 不等式等基础知识 同时考查分类讨论思想 满分 14 分 I 解 设等差数列 n a 的公差为 d 由 2 214 111 aaa 得 2 111 3 ada ad 因为 0d 所以d a 所以 1 1 2 nn an n ana S II 解 因为 12 11 1 n Sa nn 所以 123 111121 1 1 n n A SSSSan 因为 1 1 2 2 n n aa 所以 用心