第七章第三节 空间、直线、平面之间的位置关系

1 第七章第七章 第三节第三节 空间 直线 平面之间的位置关系空间 直线 平面之间的位置关系 题组一共线 共面问题 1 如图所示 ABCD A1B1C1D1是长方体 O 是 B1D1的中点 直线 A1C 交平面 AB1D1 到于点 M 则下列结论正确的是 A A M O 三点共线 B A M O A1不共面 C A M C O 不共面 D B B1 O M 共面 解析 连结 A1C1 AC 则 A1C1 AC A1 C1 C A 四点共面 A1C 平面 ACC1A1 M A1C M 平面 ACC1A1 又 M 平面 AB1D1 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A M O 三点共线 答案 A 2 对于空间三条直线 有下列四个条件 三条直线两两相交且不共点 三条直线两两平行 三条直线共点 有两条直线平行 第三条直线和这两条直线都相交 其中 使三条直线共面的充分条件有 解析 中两直线相交确定平面 则第三条直线在这个平面内 中可能有直线和平面平行 中直线最多可确定 3 个平面 同 答案 3 如图 在四边形 ABCD 中 已知 AB CD 直线 AB BC AD DC 分别与平面 相交于点 E G H F 2 求证 E F G H 四点共线 在同一条直线上 证明 AB CD AB CD 确定一个平面 又 AB E AB E E 即 E 为平面 与 的一个公共点 同理可证 F G H 均为平面 与 的公共点 两个平面有公共点 它们有且只有一条通过公共点的公共直线 E F G H 四点必定共线 题组二异 面 直 线 4 在四棱台 ABCD A1B1C1D1中 上下底面均为正方形 则 DD1与 BB1所在直线是 A 相交直线 B 平行直线 C 不垂直的异面直线 D 互相垂直的异面直线 解析 四棱台可看作是由四棱锥截得的 因此 DD1与 BB1所在直线是相交的 答案 A 5 2010 沈阳模拟 正方体 AC1中 E F 分别是线段 BC C1D 的中点 则直线 A1B 与 直线 EF 的位置关系是 A 相交 B 异面 C 平行 D 垂直 解析 如图所示 直线 A1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1 EF 平面 A1BCD1 且两直线不平行 故两直线相交 答案 A 6 文 如图所示 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 AB1 BC1的中点 则以下结论中不成立的是 3 A EF 与 BB1垂直 B EF 与 BD 垂直 C EF 与 CD 异面 D EF 与 A1C1异面 解析 设 AB 的中点为 E1 BC 的中点为 F1 则 EF E1F1 而 E1F1 BD E1F1 BB1 EF BB1 EF BD A B 项正确 又由 EF E1F1知 EF 平面 ABCD EF 与 CD 异面 C 项正确 易知 EF A1C1 D 项错误 答案 D 理 2010 南昌模拟 如图所示 在正三棱柱 ABC A1B1C1 中 D 是 AC 的中点 AA1 AB 1 则异面直线 AB1 2 与 BD 所成的角为 解析 取 A1C1的中点 D1 连结 B1D1 由于 D 是 AC 的中点 B1D1 BD AB1D1即为异面直线 AB1与 BD 所成的角 连结 AD1 设 AB a 则 AA1 a 2 AB1 a B1D1 a AD1 a 3 3 2 1 4a2 2a2 3 2 cos AB1D1 3a2 3 4a2 9 4a2 2 3a 3 2 a 1 2 AB1D1 60 答案 60 7 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2 AD 1 点 E F G 分别是 DD1 AB CC1的中 4 点 求异面直线 A1E 与 GF 所成角的大小 解 连结 B1G EG 由于 E G 分别是 DD1和 CC1的中点 EG 綊 C1D1 而 C1D1綊 A1B1 EG 綊 A1B1 四边形 EGB1A1是平行四边形 A1E B1G 从而 B1GF 为异面直线所成角 连结 B1F 则 FG B1G B1F 325 由 FG2 B1G2 B1F2 B1GF 90 即异面直线 A1E 与 GF 所成的角为 90 题组三综合问题 8 2010 淄博模拟 在正方体 ABCD A1B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 P 到直线 A1B1与 直线 BC 的距离相等 则动点 P 所在曲线的形状为 解析 到定点 B 的距离等于到直线 A1B1的距离 所以动点 P 的轨迹是以 B 为焦点 以 A1B1为准线的过 A 的抛物线的一部分 答案 C 9 2010 大连模拟 如图所示 三棱锥 P ABC 中 PA 平面 ABC BAC 60 PA AB AC 2 E 是 PC 的中点 1 文 求证 AE 与 PB 是异面直线 理 求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值 2 求三棱锥 A EBC 的体积 解 1 文 证明 假设 AE 与 PB 共面 设平面为 A B E 平面 即为平面 ABE P 平面 ABE 这与 P 平面 ABE 矛盾 所以 AE 与 PB 是异面直线 5 理 取 BC 的中点 F 连结 EF AF 则 EF PB 所以 AEF 或其补角就是异面直线 AE 和 PB 所成角 BAC 60 PA AB AC 2 PA 平面 ABC AF AE EF 322 cos AEF 2