数列与不等式综合-专题(学生用).doc

数列与不等式交汇题型的分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视如08年北京文20题(12分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题(12分)为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.【考试要求】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。4理解不等式的性质及其证明5掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用6掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式7掌握简单不等式的解法及理解不等式aba+ba+b 8. 掌握数学归纳法证明不等式的基本方法与步骤。【考点透视】1以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.【典例分析】题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当xD时，有f(x)M恒成立f(x)minM；f(x)M恒成立f(x)maxM；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例1】等比数列an的公比q1，第17项的平方等于第24项，求使a1a2an恒成立的正整数n的取值范围.【例2】（08全国）设数列an的前项和为Sn已知a1a，an+1Sn3n，nN*()设bnSn3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范围题型二求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例3】(08四川高考)设等差数列an的前项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为_.【例4】等比数列an的首项为a12002，公比q()设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；()当n取何值时，f(n)有最大值题型三求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例5】已知an的前n项和为Sn，且anSn4.()求证：数列an是等比数列；()是否存在正整数k，使2成立.【例6】(08湖北高考)已知数列an和bn满足：a1，an+1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数.（）对任意实数，证明数列an不是等比数列；（）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab,Sn为数列bn的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有aSnb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.题型四数列与不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.（4）数学归纳法。（1）用基本方法证明数列不等式：【例7】已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，a37，S424()求数列an的通项公式；()设p、q都是正整数，且pq，证明：Sp+q(S2pS2q)【例8】（06湖南文，20）在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数。（）求a4、a5，并写出an的表达式；（）令，证明，n=1,2,。（2）用放缩发证明数列不等式：【例9】已知曲线的直线交曲线C于另一点的横坐标构成数列 （I）求证：是等比数列； （II）求证：【例10】已知：（）是方程的两根，且，. （1）求的值； （2）设，求证：； （3）求证：对有 w。.w.【例11】设,函数.（）证明:存在唯一实数，使；（）定义数列:,.（i）求证:对任意正整数n都有；(ii) 当时, 若，证明:对任意都有:.【例12】数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，.【例13】已知数列、中，对任何正整数都有：（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列是等差数列，数列是等比数列，求证：【例14】 在数列中，（）试比较与的大小；（）证明：当时，.【例15】已知函数的定义域为R, 且对于任意R,存在正实数,使得都成立.(1) 若,求的取值范围；(2) 当时，数列满足，. 证明：； 令，证明：.（3）用数学归纳法证明数列不等式：【例16】(08安徽高考)设数列an满足a10，an+1can31c，cN*，其中c为实数.()证明：an0，1对任意nN*成立的充分必要条件是c0，1；()设0c，证明：an1(3c)n-1，nN*；（）设0c，证明：a12a22an2n1，nN*.【例17】（2007湖北理21）（本小题满分14分）已知m，n为正整数.（）用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.题型五.数列与函数、不等式的综合【例18】.设函数f(x) = x2 + bln(x+1),（1）若对定义域的任意x，都有f(x)f(1)成立，求实数b的值；（2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（3）若b = - 1,，证明对任意的正整数n，不等式 都成立【例19】. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.【例20】.已知函数。 （1）求函数的单调区间； （2）若恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：上恒成立 【专题训练】一、选择题1已知无穷数列an是各项均为正数的等差数列，则有（ ）ABCD2设an是由正数构成的等比数列，bnan+1an+2，cnanan+3，则（ ）AbncnBbncnCbncnDbncn3已知an为等差数列，bn为正项等比数列，公比q1，若a1b1，a11b11，则（ ）Aa6b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或a6b6 4已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足ak，则k（ ）A9B8C7D65已知等比数列an的公比q0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是（ ）AS4a5S5a4BS4a5S5a4CS4a5S5a4D不确定6设Sn123n，nN*，则函数f(n)的最大值为（ ）ABCD7已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx)，lg(1y)顺次成等差数列，则（ ）Ay有最大值1，无最小值By有最小值，无最大值Cy有最小值，最大值1Dy有最小值1，最大值1 8已知等比数列an中a21，则其前3项的和S3的取值范围是（ ）(，1(，1)(1，)3，)(，13，)9设b是1a和1a的等比中项，则a3b的最大值为( )A1B2C3D410设等比数列an的首相为a1，公比为q，则“a10，且0q1”是“对于任意nN*都有an+1an”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分比要条件D既不充分又不必要条件11an为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n（ ）A11B17C19D2112设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是（ ）A，2)B，2C，1)D，1二、填空题13等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立则M的最小值是_14无穷等比数列an中，a11，|q|1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是_.15已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是_.012416等差数列an的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：A若d0，且S3S8，则Sn中，S5和S6都是Sn中的最大项；给定n，对于一定kN*(kn)，都有an-kan+k2an；若d0，则Sn中一定有最小的项；存在kN*，使akak+1和akak-1同号其中真命题的序号是_.三、解答题17已知an是一个等差数列，且a21，a55（）求an的通项；（）求an前n项和Sn的最大值18已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an+1)(nN*）在函数yx21的图象上.()求数列an的通项公式；()若列数bn满足b11,bn+1bn2an，求证：bnbn+2b2n+1.19设数列an的首项a1(0，1)，an，n2，3，4，.（）求an的通项公式；（）设bnan，证明bnbn+1，其中n为正整数20已知数列an中a12，an+1(1)( an2)，n1，2，3，.（）求an的通项公式；（）若数列an中b12，bn+1，n1，2，3，.证明：bna4n-3，n1，2，3，21已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图像上.（）求数列an的通项公式；（）设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m；22数列满足，（），是常数（）当时，求及的值；（）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（）求的取值范围，使得