2011年高考数学试题分类汇编 专题三角函数 理

20112011 年高考试题数学 理科 三角函数年高考试题数学 理科 三角函数 一 选择题一 选择题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 3 3 若点 若点 a 9a 9 在函数 在函数的图象上 则的图象上 则 tan tan 的值为的值为3xy 6 a A A 0 0 B B C C 1 1 D D 3 3 3 答案 D 解析 由题意知 9 3a 解得a 2 所以 2 tantantan3 663 a 故选 D 2 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 6 6 若函数 sinf xx 0 在区间0 3 上单调递增 在区间 3 2 上单调递减 则 A 3 B 2 C 3 2 D 2 3 答案 C 解析 由题意知 函数在 3 x 处取得最大值 1 所以 1 sin 3 故选 C 3 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 9 9 已知函数 其中为实数 若 sin 2 f xx 对恒成立 且 则的单调递增区间是 6 f xf xR 2 ff f x A B 36 kkkZ 2 kkkZ C D 2 63 kkkZ 2 kkkZ 答案 C 命题意图 本题考查正弦函数的有界性 考查正弦函数的单调性 属中等偏难题 解析 若对恒成立 则 所以 6 f xf xR sin 1 63 f 由 可知 32 kkZ 6 kkZ 2 ff kZ A B C D 2 32 232 答案 D 解析 由正弦定理得 sin2AsinB sinBcos2A sinA 即 sinB sin2A cos2A 2 sinA 2 故 sinB sinA 所以 22 b a 5 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 7 7 设 sin 则 1 43 sin2 A B C D 7 9 1 9 1 9 7 9 答案 A 解析 2 17 sin2cos 22sin121 2499 6 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 6 6 若 0 2 0 2 1 cos 43 则 3 cos 423 cos 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 答案 C 解析 2442 cos cos 2442 cos cos 442 sin sin 442 故选 C 132 2634 35 3 333399 7 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 5 5 已知角的顶点与原点重合 始边与横轴的正半轴重 合 终边在直线上 则 xy2 2cos A B C D 5 4 5 3 3 2 4 3 解析 由题知tan2 222 222 cossin1tan3 cos2 cossin1tan5 选 B 8 2011 2011 年高考全国新课标理年高考全国新课标理 11 11 设函数 sin cos 0 2 f xxx 的最小正周期为 且 fxf x 则 A f x在0 2 单调递减 B f x在 3 44 单调递减 C f x在0 2 单调递增 D f x在 3 44 单调递增 解析 2sin 4 f xx 所以2 又 f x 为偶函数 424 kkkz 2sin 2 2cos2 2 f xxx 选 A 9 9 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 6 6 如图 在如图 在 中 中 是边是边上的点 且上的点 且ABCDAC 则 则的值为 的值为 23 2ABADABBD BCBD sinC A A B B 3 3 3 6 C C D D 6 3 6 6 答案 D 解析 设 则由题意可得 在中 由余弦定BDa 2 BCa 3 2 ABADa ABD 理得 所以 在 222 cos 2 ABADBD A AB AD 2 2 2 3 2 4 3 2 2 a a a 1 3 sin A 2 1 cos A 2 2 3 中 由正弦定理得 所以 解得 故选ABC sinsin ABBC CA 3 2 2 sin2 2 3 a a C a sinC 6 6 D 10 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 3 3 已知函数 若 则的 3sincos f xxx xR 1f x x 取值范围为 A B 3 x kxkkz 22 3 xkkkz C D 5 66 x kxkkz 5 22 66 xkxkkz 答案 B 解析 由 即 解得 3sincos1xx 1 sin 62 x 5 22 666 kxkkz 即 所以选 B 22 3 kxkkz 11 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 6 6 函数在内 cosf xxx 0 A 没有零点 B 有且仅有一个零点 C 有且仅有两一个零点 D 有无穷个零点 答案 B 解析 令 则它们的图像如图故选 B 1 yx 2 cosyx 12 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 6 6 若的内角所对的边满足ABC A B C a b c 且 则的值为 22 4abc 0 60C ab A B 4 3 84 3 C 1 D 2 3 解析 选 A 由得 由得 22 4abc 222 24ababc 0 60C 解得 222 421 cos 222 abcab C abab 4 3 ab 13 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 6 6 在 ABC 中 222 sinsinsinsinsinBCBC 则 A 的 取值范围是 A 0 6 B 6 c 0 3 D 3 答案 C 解析 由题意正弦定理 222 222222 1 1cos0 23 bca abcbcbcabcAA bc 14 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 5 5 5 设函数 将的图像 cos 0 f xx yf x 向右平移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 则的最小值等于 3 A B C D 1 3 369 思路点拨 此题理解好三角函数周期的概念至关重要 将的图像向右平移个 yf x 3 单位长度后 所得的图像与原图像重合 说明了是此函数周期的整数倍 3 精讲精析 选 C 由题 解得 令 即得 2 3 k kZ 6k 1k min 6 15 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 3 3 若 tan 3 则的值等于 2 sin2 cos a A 2 B 3 C 4 D 6 答案 D 16 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 10 10 已知函数 f x e x 对于曲线 y f x 上横坐标成等 差数列的三个点 A B C 给出以下判断 ABC 一定是钝角三角形 ABC 可能是直角三角形 ABC 可能是等腰三角形 ABC 不可能是等腰三角形 其中 正确的判断是 A B C D 答案 B 二 填空题二 填空题 1 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 16 16 已知函数 f x Atan x 0 2 y f x 的部分图像如下图 则 f 24 答案 3 解析 函数 f x 的周期是 故 由 3 2 882 2 2 得 所以 故 tan1 3 tan 20 8 A A 1 4 A tan 2 4 f xx tan 23 24244 f 2 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 14 14 已知 的一个内角为 120o 并且三边长构成公差为 4ABC 的等差数列 则的面积为 ABC 答案 15 3 命题意图 本题考查等差数列的概念 考查余弦定理的应用 考查利用公式求三角形面 积 解析 设三角形的三边长分别为 最大角为 由余弦定理得4 4aa a 则 所以三边长为 6 10 14 ABC 222 4 4 2 4 cos120aaaa a 10a 的面积为 1 6 10 sin12015 3 2 S 3 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 16 16 在中 则ABC 60 3BAC 的最大值为 2ABBC 解析 00 120120ACCA 0 0 120 A 22sin sinsin BCAC BCA AB 0 22sin2sin 120 3cossin sinsin ABAC ABCAAA CB 2ABBC 3cos5sin28sin 2 7sin AAAA 故最大值是2 7 4 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 14 14 已知 且 则的 1 sincos 2 0 2 cos2 sin 4 值为 解析 由题设条件易得 故 14 2 7 sincos 2 22 in sincos 424 s 所以 7 cos2sincossincos 4 cos214 2 sin 4 5 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 14 14 已知 a sin 则 tan2 2 5 5 答案 4 3 解析 a sin 2 5 5 2 52 5 cos1 sin1 55 aa 则 tan 故 tan2 5 sin1 5 cos22 5 5 a a 2 2 1 2 2tan14 2 12 1tan3 1 24 a a 6 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 7 7 已知 则的值为 2 4 tan x x x 2tan tan 答案 4 9 解析 因为 而 cot2x 所 2 2tan 4 tan2 4 1tan 4 x x x 2 2 2 1 2 4 3 tan 2 2 x 以 3 tan2 4 x 又因为 所以解得 所以的值为 tan1 tan 2 41tan x x x 1 tan 3 x x x 2tan tan4 9 7 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 9 9 函数是常数 sin wAwxAxf 的部分图象如图所示 则 0 0 wA 0 f 3 12 7 答案 6 2 解析 由图象知 函数的周期为 而周期 sin f xAwx 7 4 123 所以 2 T w 2w 由五点作图法知 解得 又 A 所以函数2 3 3 2 所以 2sin 2 3 f xx 0 f 6 2sin 32 8 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 9 9 在中 若 b 5 tanA 2 则ABC 4 B sinA a 答案 2 5 5 2 10 解析 由 正弦定理可得 tan2A 2 5 sin 5 A 2 10a 9 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 14 14 如图 ABC 中 AB AC 2 BC 2 3 点 D 在 BC 边上 ADC 45 则 AD 的长度等于 命题意图 本题考查运用正余弦定理解三角形 是中档题 答案 2 解析 法 1 过 A 作 AE BC 垂足为 E AB AC 2 BC E 是 BC 的中点 且 EC 2 3 2 在中 AE 1 又 ADE 45 DE 1 AD 3Rt AEC 22 ACEC 2 法 2 AB AC 2 BC 由余弦定理知 2 3 C 30 cosC 222 2 ACBCAB ACBC 222 2 2 3 2 2 2 2 3 3 2 在 ADC 中 ADE 45 由正弦定理得 sinsin ADAC CADC AD sin sin ADC ADC 1 2 2 2 2 2 10 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 6 6 在相距 2 千米的 两点处测量目AB 标 若 则 两点之间的距离C 00 75 60CABCBA AC 是 千米 命题意图 本题考查正弦定理及其应用 是简单题 答案 6 解析 如图所示 C 45 由正弦定理得 AC 00 2 sin60sin45 AC 0 0 2sin60 sin45 6 11 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 8 8 函数的最大值为 sin cos 26 yxx 答案 23 4 解析 将原函数解析式展开得 故 2 31 coscos sin 22 yxxx 31 1 cos2 sin2 44 xx 最大值为 331 41616 23 4 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 17 17 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 在在ABCABC 中 内角中 内角 A A B B C C 的对边分别为的对边分别为 a a b b c c 已知已知 A cosA 2cosC2c a cosBb I I 求求的值 的值 sin sin C A IIII 若若 cosB cosB 求求的面积的面积 1 4 2b ABC 解析 由正弦定理得所以2 sin aRA 2 sin bRB 2 sin cRC 即 cosA 2cosC2c a cosBb 2sinsin sin CA B 即有 sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB sin 2sin ABBC 即 所以 2 sin2sinCA sin sin C A 由 知 2 即 c 2a 又因为 所以由余弦定理得 sin sin cC aA 2b 即 解得 所以 c 2 又因为 222 2cosbcaacB 222 1 2422 4 aaaa 1a cosB 所以 sinB 故的面积为 1 4 15 4 ABC 11 sin1 2 22 acB 15 4 15 4 2 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 18 18 本题满分 14 分 在中 角所对的边分别为ABCA ABC a b c 已知且 当时 求 sinsinsin ACpB pR 2 1 4 acb 5 1 4 pb 的值 若角为锐角 求 p 的取值范围 a cB 解 由题设并利用正弦定理 得 5 4 1 4 ac ac 解得 1 4 1a c 或 1 4 1 a c 解 由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cosB a c 2 2ac cosB p2b2 22 11 22 cos bbB 即 2 31 cos 22 pB 因为0cos1 B 得 2 3 2 2 p 由题设知0p 所以 6 2 2 p 3 3 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 15 15 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 已知函数已知函数 tan 2 4 f xx 求 求的定义域与最小正周期 的定义域与最小正周期 f x 设 设 若 若求求的大小 的大小 0 4 2cos2 2 f 解析解析 本小题主要考查两角和的正弦 余弦 正切公式 同角三角函数的基本关系 二 倍角的正弦 余弦公式 正切函数的性质等基础知识 考查基本运算能力 由得所以的定义域为2 42 xkkZ 82 k xkZ f x 的最小正周期为 82 k xR xkZ f x 2 由得得即即 2cos2 2 f tan 4 2cos2 22 sin 4 2 cossin cos 4 整理得整理得 因为因为 所以可所以可 sincos 2 cossin cossin cossin sincos0 得得 解得解得 由由得得 所以所以 2 1 cossin 2 1 sin2 2 0 4 20 2 2 6 12 4 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 17 17 本小题满分 12 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 已知 sinC cosC 1 sin 2 C 1 求 sinC 的值 2 若 a2 b2 4 a b 8 求边 c 的值 解析 由 即 2 2sincos1 2sin1 sin 2222 CCCC sin 2cos2sin1 0 222 CCC 因为 所以 两边平方得 sin0 2 C 1 sincos 222 CC 3 sin 4 C 2 由得 所以 所以 1 sincos 222 CC sincos 22 CC 422 C 2 C 由得 由余弦定理得 3 sin 4 C 7 cos 4 C 222 7 2 4 cabab 又 即 所以 22 4 8abab 22 2 2 0ab 2 2ab 所以 所以 2 82 7c 71c 本题考查三角形 同角三角函数关系式 两角和与差的三角函数公式 二倍角公式及余弦 定理 5 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 17 17 本小题满分 12 分 在中 角所对的ABC CBA 边分别为 且满足 cba CaAccossin 求角的大小 C 求的最大值 并求取得最大值时角的大小 4 cossin3 BABA 解 由正弦定理得 CAACcossinsinsin 因为 所以 从而 又 所以 A00sin ACCcossin 0cos C1tan C 则 4 C 由知 于是 AB 4 3 4 cossin3 BA AA cossin3 AAcossin3 6 sin2 A 因为 所以 从而当 即时 4 3 0 A 12 11 66 A 26 A 3 A 取最大值 2 6 sin2 A 综上所述 的最大值 2 此时 4 cossin3 BA 3 A 12 5 B 评析 本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用 以及运用三角公式进行 三角变换的能力以及三角函数的最值 求角问题 6 6 2011 2011年高考广东卷理科年高考广东卷理科16 16 本小题满分 本小题满分1212分 分 已知函数已知函数 1 2sin 36 f xxxR 1 1 求 求的值 的值 5 4 f 2 2 设 设求求的值的值 106 0 3 32 22135 ff cos 解析解析 解 1 515 2sin 4346 f 2sin2 4 2 101 32sin32sin 132326 f 61 32 2sin 32 2sin2cos 5362 f 53 sin cos 135 2 2 512 cos1sin1 1313 2 2 34 sin1cos1 55 故 3125456 cos coscossinsin 51313565 7 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 16 16 本小题满分 10 分 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 已知 a b c 1 1 2 cos 4 abC 求 ABC 的周长 求 cos A C 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识 同时考查基本运算能力 解析 的周长为 222 1 2cos14442 4 cababCcABC 1225 abc 22 1115 cos sin1cos1 444 CCC 故 A 为锐角 15 sin15 4 sin 28 aC AacAC c 2 cos1 sinAA 2 157 1 88 71151511 cos coscossinsin 848416 ACACAC 8 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 18 18 本小题满分 12 分 叙述并证明余弦定理 解析 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹 角的余弦的两倍积 或 222 2cosabcbcA Baccabcos2 222 222 2coscababC 证法一 如图 2 aBC BC ACABACAB 即 22 2ACAC ABAB 22 2cosACACABAAB 22 2cosbbcAc 222 2cosabcbcA 同理可证 Baccabcos2 222 222 2coscababC 证法二 已知 ABCA B Ca b cA中所对边分别为A以为原点 建立直角坐标系 则AB所在直线为x轴 cos sin 0 C bA bA B a 2 222 cos sin aBCbAcbA 22222 cos2cossinbAbcAcbA 22 2cosbcbcA 同理可证 222222 2cos 2cosbcacaB cababC 9 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 16 16 本小题满分 13 分 设满足 求函数 2 cossincoscos 2 aR f xx axxx 0 3 ff f x 在上的最大值和最小值 11 424 解析 22 sin coscossinsin2cos2 2 a f xaxxxxxx 由得 解得 0 3 ff 31 1 222 a A2 3a 因此 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx 当时 为增函数 4 3 x 2 63 2 x f x 当时 为减函数 11 324 x 3 2 624 x f x 所以在上的最大值为 f x 11 424 2 3 f 又因为 3 4 f 11 2 24 f 所以在上的最小值为 f x 11 424 11 2 24 f 10 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 17 17 本小题共 12 分 已知函数 73 sincos 44 f xxxxR 求 f x的最小正周期和最小值 已知 求证 44 cos cos 55 0 2 2 20f 解析 2222 sincoscossin 2222 f xxxxx 2 sincos2sin 4 xxx 的最小正周期是 当 f x2 2 42 xkk 即时 函数取得最小值 2 2 4 xkk 0 2 0 2 0 4 cos 5 3 sin 5 4 cos 5 3 sin 5 sin2sin sincoscossin 3 443 0 5 555 2 2 2 22sin24sin2 44 f 2 1 cos 222sin20 2 所以 结论成立 11 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 17 17 本小题满分 l0 分 注意 在试题卷上作答无效 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知A C 90 a c b 求 C 2 解析 由正弦定理得 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 由 即22 sin2 sin2 2 sinacbRARCRB 得sinsin2sinACB A B C 1800 0 180 BAC 0 sinsin2sin 180 ACAC 即 由 A C 900 得 A 900 Csinsin2sin ACAC 即 00 sin 90 sin2sin 902 ccc 00 cossin2 2sin 45 cos 45 cccc 000 2 2sin 45 2 2sin 45 cos 45 ccc 0 1 cos 45 2 c 000 456015cc 12 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 15 15 在 ABC 中 角