2011年高考数学试题分类汇编 立体几何与平面几何

1 立体几何与平面几何立体几何与平面几何 安徽理安徽理 6 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 6 C 命题意图 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底为 4 高为 4 两底面积和为 1 224424 2 四个侧面的面积为 4 422 17248 17 所以几何体的表面积为488 17 故选 C 1717 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 ABCDEF为多面体 平面ABED与平面ACFD垂直 点O在线段AD上 1 2 OAOD OABA OAC ODE ODF都是正三角形 证明直线BC EF 求梭锥F OBED的体积 解 设G是线段DA和线段EB延长线的交点 由于OABA与ODEA都是正三角形 所以 1 2 2 OBDE OBDE OGOD 同理 G是线段DA和线段FG延长线的交点 有 2OGOD 又由于G和 G都在线段DA的延长线上 所以G和 G重合 在GEDA和GFDA中 由 1 2 OBDE OBDE 和 1 2 OCDF OCDF 可知 B C分别是GE和GF的中点 所以BC是GEFA的中位线 故 BCEF 正 主 视图侧 左 视图 俯视图 4 4 1 1 2 第 6 题图 2 由1 2 60OBOEEOB 知 3 2 EOB S 而OEDA是边长为 2 的正三角 形 故 3 OED S 所以 3 3 2 OBED S 过点F作FQAD 于点Q 由于平面ABED 平面 ACFD知 FQ就是四棱锥FOBED 的高 且3FQ 所以 13 32 F OBEDOBED VFQ S 安徽文没有新题安徽文没有新题 北京理北京理 5 如图 AD AE BC分别与圆O切于点D E F 延长AF与圆O交于另一点G 给出下列三个结论 CABCABAEAD AEADAGAF ADGAFB 其中正确的结论的序号是 A B C D 解析 正确 由条件可知 BD BF CF CE 可得CABCABAEAD 正确 通过条件可知 AD AE 由切割定理可得 2 AF AGADAD AE 错误 连接 FD 如下图 若ADGAFB 则有ABFDGF 通过图像可知 2ABFBFDBDFDGF 因而错误 答案选 A 7 某四面体三视图如图所示 该四面体四个面的面积中最大的是 A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 解析 由三视图还原几何体如下图 该四面体四 个面的面积中最大的是 PAC 面积为 10 选 C B C A P 4 2 3 5 4 4 16 如图 在四棱锥 PABCD 中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 2AB 60BAD 1 求证 BD 平面PAC C B G A O D E F D P A B C 3 2 若PAPB 求PB与AC所成角的余弦值 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 16 本小题共 14 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PA 平面ABCD 底面ABCD是菱形 2 60ABBAD 求证 BD 平面 PAC 若 PAAB 求PB与AC所成角的余弦值 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 解析 3 3 a 2b 2 ab与c共线可得 k 1 16 共 14 分 证明 因为四边形 ABCD 是菱形 所以 AC BD 又因为 PA 平面 ABCD 所以 PA BD 所以 BD 平面 PAC 设 AC BD O 因为 BAD 60 PA PB 2 所以 BO 1 AO CO 3 如图 以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 O xyz 则 P 0 3 2 A 0 3 0 B 1 0 0 C 0 3 0 所以 0 32 0 2 3 1 ACPB设 PB 与 AC 所成角为 则 4 6 3222 6 cos ACPB ACPB 由 知 0 3 1 BC设 P 0 3 t t 0 则 3 1 tBP 设平面 PBC 的法向量 zyxm 则0 0 mBPmBC 所以 03 03 tzyx yx 令 3 y则 6 3 t zx 所以 6 3 3 t m 同理 平面 PDC 的法向量 6 3 3 t n 因为平面 PCB 平面 PDC 所以nm 0 即0 36 6 2 t 解得6 t 所以 4 PA 6 北京文北京文 5 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A A 32 B B 16 16 2 C C 48D D 1632 2 B 17 本小题共 14 分 如图 在四面体PABC中 PCAB PABC 点 D E F G分别是棱 AP AC BC PB的中点 I 求证 DE 平面BCP II 求证 四边形DEFG为矩形 III 是否存在点Q 到四面体PABC六条棱的中点 的距离相等 说明理由 证明 I 因为 D E分别为 AP AC的中点 所以 DEBC 又DE 平面BCP 所以 DE平面BCP II 因为 D E F G分别是棱 AP AC BC PB的中点 所以 DEPCFG DGABEF 所以四边形DEFG为平行四边形 又PCAB 所以DEDG 所以四边形DEFG为矩形 III 存在点Q满足条件 理由如下 连接 DE FG 设Q为EG的中点 由 II 知 DFEGQ 且 1 2 QDQEQFQGEG 与 II 同理可证四边形MENG为矩形 其对角线的交点 为EG的中点Q 且 1 2 QMQNEG 所以Q为满足条件的点 福建理福建理 12 三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC PA 3 底面 ABC 是边长为 2 的正三角形 则三 棱锥 P ABC的体积等于 3 20 本小题满分 14 分 A B P G FE D C 5 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD 四边形 ABCD 中 AB AD AB AD 4 CD 2 45CDA I 求证 平面 PAB 平面 PAD II 设 AB AP i 若直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 30 求线段 AB 的长 ii 在线段 AD 上是否存在一个点 G 使得 点 G 到点 P B C D 的距离都相等 说明理由 20 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系等基础知识 考查空 间想象能力 推理论证能力 抽象根据能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 数 形结合思想 化归与转化思想 满分 14 分 解法一 I 因为PA 平面 ABCD AC 平面 ABCD 所以PAAB 又 ABAD PAADA 所以AB 平面 PAD 又AB 平面 PAB 所以平面PAB 平面 PAD II 以 A 为坐标原点 建立空间直角坐标系 A xyz 如图 在平面 ABCD 内 作 CE AB 交 AD 于点 E 则 CEAD 在Rt CDE 中 DE cos451CD sin451 CECD 设 AB AP t 则 B t 0 0 P 0 0 t 由 AB AD 4 得 AD 4 t 所以 0 3 0 1 3 0 0 4 0 EtCtDt 1 1 0 0 4 CDPDtt i 设平面 PCD 的法向量为 nx y z 由nCD nPD 得 0 4 0 xy t ytx 取xt 得平面 PCD 的一个法向量 4 nt tt 又 0 PBtt 故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30 得 2 2222 24 1 cos60 2 4 2 n PBtt nPB tttx 即 解得 4 4 5 tt 或 舍去 因为 AD40t 所以 4 5 AB ii 假设在线段 AD 上存在一个点 G 使得点 G 到点 P B C D 的距离都相等 设 G 0 m 0 其中04mt 6 则 1 3 0 0 4 0 0 GCtmGDtmGPm t 由 GCGD 得 222 4 tmmt 2 由 1 2 消去 t 化简得 2 340mm 3 由于方程 3 没有实数根 所以在线段 AD 上不存在一个点 G 使得点 G 到点 P C D 的距离都相等 从而 在线段 AD 上不存在一个点 G 使得点 G 到点 P B C D 的距离都相等 解法二 I 同解法一 II i 以 A 为坐标原点 建立空间直角坐标系 A xyz 如图 在平面 ABCD 内 作 CE AB 交 AD 于 E 则CEAD 在平面 ABCD 内 作 CE AB 交 AD 于点 E 则 CEAD 在Rt CDE 中 DE cos451CD sin451 CECD 设 AB AP t 则 B t 0 0 P 0 0 t 由 AB AD 4 得 AD 4 t 所以 0 3 0 1 3 0 0 4 0 EtCtDt 1 1 0 0 4 CDPDtt 设平面 PCD 的法向量为 nx y z 由nCD nPD 得 0 4 0 xy t ytx 取xt 得平面 PCD 的一个法向量 4 nt tt 又 0 PBtt 故由直线 PB 与平面 PCD 所成的角为30 得 2 2222 24 1 cos60 2 4 2 n PBtt nPB tttx 即 解得 4 4 5 tt 或 舍去 因为 AD40t 所以 4 5 AB ii 假设在线段 AD 上存在一个点 G 使得点 G 到点 P B C D 的距离都相等 由 GC CD 得45GCDGDC 从而90CGD 即 CGAD sin451 GDCD 设 AB 则AD 4 3AGADGD 在Rt ABG 中 2222 3 GBABAG 2 39 2 1 22 这与 GB GD 矛盾 7 E P B C D A B1 C1 D1 F E A1 DC B A 所以在线段 AD 上不存在一个点 G 使得点 G 到点 B C D 的距离都相等 从而 在线段 AD 上不存在一个点 G 使得点 G 到点 P B C D 的距离都相等 福建文福建文 15 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点E为AD的中点 点F在CD上 若EF 平面AB1C 则线段EF的长度等于 2 20 本小题满分 12 分 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点E在线段AD上 CE AB 求证 CE 平面PAD 若PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 2 求四棱锥P ABCD的体积 20 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 几何体的体积等基础知识 考查 空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 满分 12 分 I 证明 因为PA 平面 ABCD CE 平面 ABCD 所以 PACE 因为 ABAD CEABCEAD 所以 又 PAADA 所以CE 平面 PAD II 由 I 可知CEAD 在Rt ECD 中 DE CDcos451 sin451 CECD 又因为1 ABCEABCE 所以四边形 ABCE 为矩形 所以 115 1 21 1 222 ECDADCEABCD SSSAB AECE DE 矩形四边形 又PA 平面 ABCD PA 1 所以 1155 1 3326 P ABCDABCD VSPA 四边形四边形 广东理广东理 7如图l 3 某几何体的正视图 主视图 是平行四边形 侧视图 左视图 和俯视图都 是矩形 则该几何体的体积为 A 6 3 B 9 3 C 12 3 D 18 3 8 H 解析 由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体 底面是以 3 为边长的正方形 该六面体的高 3933 312 22 B故选该几何体的体积为 15 几何证明选讲选做题 如图 4 过圆O外一点P分别作圆 的切线和割线交圆于 A B 且7PB C是圆上一点使得 5BC 则AB 2 7 535 35 PABAPBCABACAPB ABPB BAPBCA CBAB ABPB CBAB 解析是圆的切线又 与相似从而 18 本小题满分 13 分 如图 5 在椎体PABCD 中 ABCD是边长 为 1 的棱形 且 0 60DAB 2PAPD 2 PB E F分别是 BC PC的中点 1 证明 ADDEF 平面 2 求二面角PADB 的余弦值 2 3 60 1 2 1 1 222 0 DEFADPHBAD PHBDEF EEFDEDEFEFDE PHBDEDEBH PHBEFPBEFBCBCFE PHBAD HBADHBAHABBHAH BHDABABAH ADPHPDPA BHPHHAD 平面平面 平面平面 平面又 平面又显然 平面的中点分别是又 平面 即从而 可得出 连接中点为设证明解 9 7 21 7 21 21 3 2 21 2 3 2 3 2 7 2 4 4 3 4 7 2 cos 2 2 3 2 7 2 1 2 1 2 222 22 的余弦值为即二面角 的平面角就是二面角 面面且知由 BADP BHPH PBBHPH PHB PBBHPH BADPPHB BADBHPADPHADBHADPH 注注 本题也可以本题也可以5 PCAPABAD先算出为一组向量 继而可证明第继而可证明第 1 1 问问 并可进一并可进一 步得到步得到 AD DE DFAD DE DF 两两垂直两两垂直 从而建立空间直角坐标系从而建立空间直角坐标系 再解决第再解决第 2 2 问问 总的说来总的说来 本题用本题用 传统方法传统方法 还更简单还更简单 广东文广东文 9 如图 1 3 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别是等腰 三角形和菱形 则该几何体体积为 C A 34 B 4 C 32 D 2 15 几何证明选讲选做题 如图 4 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 4 CD 2 E F 分别为 AD BC 上点 且 EF 3 EF AB 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 7 5 18 本小题满分 13 分 图 5 所示的集合体是将高为 2 底面半径 为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后 将其 中一半沿切面向右水平平移后得到 的 A A B B 分别为ACD A C D A DE A D E的中点 112 2 O O O O分别为 CD C D DE D E的中点 10 1 证明 12 O A O B四点共面 2 设 G 为 A A 中点 延长 1 AO到 H 使得 11 O HAO 证明 2 BOH BG 平面 18 本小题满分 13 分 证明 1 AA A ACD C D 分别为中点 11 O AO A 连接 BO2 直线 BO2是由直线 AO1平移得到 12 AOBO 12 O ABO 12 OA O B 共面 2 将 AO1延长至 H 使得 O1H O1A 连接 1 HOHB H H 由平移性质得 12 O O HB 21 BOHO 11 2 A GH OH HA HO H HGA H 1 GA HO H H 1 2 H O HGH A 1 O HH G 2 BOH G 12212222222 O OB OO OO O B OO OO 1222 O OB BO O 平面 122 O OBO 2 BOH B H BH GH 2 BOH B G 平面 湖北湖北理理 14 如图 直角坐标系xOy所在的平面为 直角坐标系 xOy 其中 y轴一与y 轴重合 所在的平面为 45xOx 已知平面 内有一点 2 2 2 P 则点 P在平面 内的射影P的 坐标为 已知平面 内的曲线 C的方程是 2 2 2 220 xy 则曲线 C在平面 内 的射影C的方程是 2 2 22 1 1xy 18 本小题满分 12 分 如图 已知正三棱柱111ABCA B C 的各棱长都是 4 E是BC的中点 动点F在侧棱1CC上 且不与点C重合 当CF 1 时 求证 EF 1AC 11 设二面角CAFE 的大小为 求tan 的最小值 18 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识 同时考查空间想象能 力 推理论证能力和运算求解能力 满分 12 分 解法 1 过 E 作ENAC 于 N 连结 EF I 如图 1 连结 NF AC1 由直棱柱的性质知 底面 ABC 侧面 A1C 又度面ABC 侧面 A C AC 且EN 底面 ABC 所以EN 侧面 A1C NF 为 EF 在侧面 A1C 内的射影 在Rt CNE 中 cos60CNCE 1 则由 1 1 4 CFCN CCCA 得 NF AC1 又 11 ACAC 故 1 NFAC 由三垂线定理知 1 EFAC II 如图 2 连结 AF 过 N 作NMAF 于 M 连结 ME 由 I 知EN 侧面 A1C 根据三垂线定理得 EMAF 所以EMN 是二面角 C AF E 的平面角 即EMN 设 045FAC 则 在Rt CNE 中 sin603 NEEC 在 sin3sin Rt AMNMNANaa 中故 3 tan 3sin NE MNa 又 2 045 0sin 2 a 故当 2 sin 45 2 a 即当时 tan 达到最小值 36 tan2 33 此时 F 与 C1重合 解法 2 I 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 则由已知可得 1 0 0 0 2 3 2 0 0 4 0 0 0 4 3 3 0 0 4 1 ABCAEF 于是 1 0 4 4 3 1 1 CAEF 则 1 0 4 4 3 1 1 0440 CA EF 故 1 EFAC II 设 04 CF 平面 AEF 的一个法向量为 mx y z 则由 I 得 F 0 4 3 3 0 0 4 AEAF 于是由 mAE mAF 可得 12 0 330 40 0 m AE xy yzm AF 即取 3 4 m 又由直三棱柱的性质可取侧面 AC1的一个法向量为 1 0 0 n 于是由 为锐角可得 cos m n mn 2 22 316 sin 2424 所以 2 2 16116 tan 333 由04 得 11 4 即 116 tan 333 故当4 即点 F 与点 C1重合时 tan 取得最小值 6 3 湖北文湖北文 7 设球的体积为 1 V 它的内接正方体的体积为 2 V 下列说法中最合适的是 D A 1 V比 2 V大约多一半 B 1 V比 2 V大约多两倍半 C 1 V比 2 V大约多一倍 D 1 V比 2 V大 约多一杯半 18 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 如图 已知正三棱柱ABC 111 ABC的底面边长为 2 侧棱长 为3 2 点 E 在侧棱 1 AA上 点 F 在侧棱 1 BB上 且2 2AE 2BF I 求证 1 CFC E II 求二面角 1 ECFC 的大小 18 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法 同时考查空间想象能力和 推理论证能力 满分 12 分 解法 1 由已知可得 22 11 3 2 2 2 2 2 3CCCEC F 13 22222 1 2 2 6EFABAEBFEFC E 于是有 222222 1111 EFC EC FCEC ECC 所以 11 C EEF C ECE 又 1 EFCEEC ECEF 所以平面由 1 CFCEFCFC E 平面故 在CEF 中 由 可得6 2 3EFCFCE 于是有 EF2 CF2 CE2 所以 CFEF 又由 知 CF C1E 且 1 EFC EE 所以 CF 平面 C1EF 又 1 C F 平面 C1EF 故 CF C1F 于是 1 EFC 即为二面角 E CF C1的平面角 由 知 1 C EF 是等腰直角三角形 所以 1 45BFC 即所求二面角 E CF C1 的大小为45 解法 2 建立如图所示的空间直角坐标系 则由已知可得 1 0 0 0 3 1 0 0 2 0 0 2 3 2 0 0 2 2 3 1 2 ABCCEF 1 0 2 2 3 1 2 C ECF 1 0220C E CF 1 CFC E 0 2 2 2 CE 设平面 CEF 的一个法向量为 mx y z 由 0 0 m CE mCE mCF m CF 得 即 22 20 0 2 1 320 yz m xyz 可取 设侧面 BC1的一个法向量为 1 3 1 0 nnBC nCCCB 由及 0 3 1 23 0 0 1 nCC可取 设二面角 E CF C1的大小为 于是由 为锐角可 得 62 cos 2 32 m n mn 所以45 即所求二面角 E CF C1的大小为45 湖南理湖南理 3 设图 是某几何体的三视图 则该几何体的体 积为 A 942 3618 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 14 9 12 2 9 18 2 答案 D 解析 有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体 其体积 3 439 3 3 2 18 322 V 11 如图 2 A E是半圆周上的两个三等分点 直径4BC ADBC 垂足为 D BE与AD相交与点 F 则AF的长为 答案 2 3 3 解析 由题可知 60AOBEOC 2OAOB 得1ODBD 3 3 DF 又 2 3ADBD CD 所 以 2 3 3 AFADDF 19 本题满分 12 分 如图 5 在圆锥PO中 已知 2 POO A的直径 A 2 ABCABDAC 是的中点 为的 中点 I 证明 PODPAC 平面平面 II 求二面角BPAC 的余弦值 解 I 连接OC 因为OAOC D为的AC中点 所以ACOD 又 POO ACOACPO AA底面底面所以因为 OD PO是平面POD内的两条 相交直线 所以ACPOD 平面 而ACPAC 平面 所 以PODPAC 平面平面 II 在平面POD中 过O作OHPD 于H 由 I 知 PODPAC 平面平面 所以 OHPAC 平面又 PAPAC 平面所以PAOH 在平面PAO中 过O作OGPA 于G 连接HG 则有 PAOGH 平面 从而PAHG 所以OGH 是二面角BPAC 的平面角 15 在 2 sin45 2 Rt ODAODOA 中 在 22 2 2 10 2 51 2 2 PO OD Rt PODOH POOD 中 在 22 2 16 32 1 PO OA Rt POAOG POOA 中 10 15 5 sin 56 3 OH Rt OHGOGH OG 中 所以 10 cos 5 OGH 故二面角BPAC 的余弦值为 10 5 湖南文湖南文 19 本题满分 12 分 如图 3 在圆锥PO中 已知2 POO A的直径 A 2 ABCABDAC 点在上 且C AB 30为的中点 I 证明 ACPOD 平面 II 求直线和平面PAC所成角的正弦值 解析 I 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又 POO ACOACOD AA底面底面所以PO是平面POD内的两条相交直线 所以 ACPOD 平面 II 由 I 知 ACPOD 平面又 ACPAC 平面所以平面 PODPAC 平面在 平面POD中 过O作OHPD 于H 则 OHPAC 平面连结CH 则CH是 OCPAC在平面上的射影 所以OCH 是直线OC和平面PAC所成的角 在 22 1 2 2 2 31 2 4 PO OD Rt PODOH POOD A A中 在 16 2 sin 3 OH Rt OHCOCH OC A中 江苏江苏 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 答案 1 因为 E F 分别是 AP AD 的中点 EFPD A又 PDPCD EFPCD 面面 直线 EF 平面 PCD 2 连接 BDAB AD BAD 60 ABD 为正三角形 F 是 AD 的中点 BFAD 又平面 PAD 平面 ABCD PADABCDAD 面面 BFPAD BFBEF 面面 所以 平面 BEF 平面 PAD 解析 本题主要考查空间想象能力和推理论证能力 考查平面的表示 直线与平面 平面与 平面平行和垂直的判定及性质 容易题 附加 A A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 圆 1 O与圆 2 O内切于点A 其半径分别为 1 r与 2 r 12 rr 圆 1 O的弦AB交圆 2 O于点C 1 O不在AB上 求证 AB AC为定值 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题主要考查两圆内切 相似比等基础知识 考查推理论证能力 满分 10 分 证明 连结 AO1 并延长分别交两圆于点 和点 连结 BD CE 因为圆 O1与圆 O2内切于 点 A 所以点 O2在 AD 上 故 AD AE 分别为圆 O1 圆 O2的直径 从而 2 ABDACE 所以 BD CE 于是 11 22 2 2 rrABAD ACAErr 所以 AB AC 为定值 江西理江西理 8 已知 1 2 3 是三个相互平行的平面 平面 1 2 之间的距离为 1 d 平 16 第题图 17 面 2 3 之间的距离为 2 d 直线l与 1 2 3 分别相交于 1 P 2 P 3 P 那么 3221 PPPP 是 21 dd 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 因为 1 2 3 当 3221 PPPP 时不难推出 21 dd 同时当 21 dd 时也可以 推出 3221 PPPP 3221 PPPP 是 21 dd 的充分必要条 件 21 本小题满分 14 分 1 如图 对于任一给定的四面体 4321 AAAA 找出依次排列的四 个相互平行的平面 4321 使得 4 3 2 1 iA ii 且其中每相邻两个平面间的距离都相等 2 给定依次排列的四个相互平行的平面 4321 其中每相邻两个平面间的距 离都为 1 若一个正四面体 4321 AAAA的四个顶点满足 4 3 2 1 iA ii 求该 正四面体 4321 AAAA的体积 解析 1 如图所示 取 41A A的三等分点 2 P 3 P 31A A的中点 M 42A A的中点N 过三点 2 A 2 P M作平面 2 过三点 3 A 3 P N作平面 3 因为 22P A 3 NP 33P A 2 MP 所以平面 2 平面 3 再过 点 1 A 4 A分别作平面 1 4 与平面 2 平行 那么四个 平面 1 2 3 4 依次相互平行 由线段 41A A被平 行平面 1 2 3 4 截得的线段相等知 期中每相邻两个平面间的距离相等 故 1 2 3 4 为所求平面 2 解法一 当 1 中的四面体为正四面体 若所得的四个平行平面 每相邻两平面 之间的距离为 1 则正四面体 4321 AAAA就是满足题意的正四面体 设正四面体的棱长为 1 A 4 A 3 A 2 A 1 A 4 A 3 A 2 A o N M z x y 2 P 3 P 18 a 以 432 AAA 的中心O为坐标原点 以直线OA4为y轴 直线 1 OA为z轴建立如图的 右手直角坐标系 则 3 6 0 0 1 aA 0 3 6 2 2 a a A 0 3 6 2 3 a a A 0 3 3 0 4 aA 令 2 P 3 P为 41A A的三等分点 N为 42A A的中点 有 9 6 9 32 0 3 aaP 0 12 3 4 a a N 所以 9 6 36 35 4 3 aa a NP 0 4 3 4 3 3 a a NA 0 4 3 4 4 a a NA 设平面NPA 33 的法向量为 zyxn 有 0 0 3 3 NAn NPn 即 033 064359 yx zyx 所以 6 3 1 n 因为 1 2 3 4 相邻平面之间的距离为 1 所以点 4 A到平面NPA 33 的距离 1 6 3 1 6 0 3 4 3 1 4 22 a a 解得10 a 由此可得 边长为10的 正四面体 4321 AAAA满足条件 所以所求正四面体的体积 5 3 5 12 2 3 6 4 3 3 1 3 1 32 aaaShV 解法二 解法二 如图 现将此正四面体 4321 AAAA置于一个正方体 1111 DCBAABCD 中 或者说 在正 四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正 三棱锥 得到一个正方体 1 E 1 F分 别是 11B A 11D C的中点 DDEE 11 和 FFBB 11 是两个平行平面 若其距离为 1 则正四面体 4321 AAAA即为满足条件的正四面体 右图是正方体的上底面 现设正方 A 1 A EB 3 A C 41 AC 1 F 1 D 1 E1 B F 2 AD 1 D 1 C M N 1 F 1 B 1 E 1 A 19 体的棱长为a 若1 1 MNMA 则有 2 11 a EA aEADAED 2 5 2 11 2 1111 据 1111111 EDMAEADA 得5 a 于是正四面体的棱长102 ad 其体积5 3 5 3 1 6 1 4 333 aaaV 即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积 江西文江西文 9 将长方体截去一个四棱锥 得到的几何体如右图所示 则该几何体的左视图为 答案 D 左视图即是从正左方看 找特殊位置的可视点 连起来就可以得到答案 辽宁理辽宁理 8 如图 四棱锥S ABCD的底面为正方形 SD 底面ABCD 则下列结论中不正确的是 D A AC SB B AB 平面SCD C SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 12 已知球的直径SC 4 A B是该球球面上的两点 AB 3 30 BSCASC 则棱 锥S ABC的体积为 C A 33 B 32 C 3D 1 15 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为32 它的三视图中的俯 视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 2 3 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 A B C D四点在同一圆上 AD的延长线与BC的延长线交于E点 且EC ED I 证明 CD AB II 延长CD到F 延长DC到G 使得EF EG 证明 A B G F 四点共圆 22 解 I 因为 EC ED 所以 EDC ECD 20 因为 A B C D 四点在同一圆上 所以 EDC EBA 故 ECD EBA 所以 CD AB 5 分 II 由 I 知 AE BE 因为 EF FG 故 EFD EGC 从而 FED GEC 连结 AF BG 则 EFA EGB 故 FAE GBE 又 CD AB EDC ECD 所以 FAB GBA 所以 AFG GBA 180 故 A B G F 四点共圆 10 分 辽宁文辽宁文 10 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB 2 ASC BSC 45 则 棱锥 S ABC 的体积为 C A 3 3 B 2 3 3 C 4 3 3 D 5 3 3 18 本小题满分 12 分 如图 四边形ABCD为正方形 QA 平面ABCD PD QA QA AB 1 2 PD I 证明 PQ 平面DCQ II 求棱锥Q ABCD的的体积与棱锥P DCQ的体积的比值 18 解 I 由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA 平面 ABCD 所以平面 PDAQ 平面 ABCD 交线为 AD 又四边形 ABCD 为正方形 DC AD 所以 DC 平面 PDAQ 可得 PQ DC 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ PQ 2 2 PD 则 PQ QD 所以 PQ 平面 DCQ 6 分 II 设 AB a 由题设知 AQ 为棱锥 Q ABCD 的高 所以棱锥 Q ABCD 的体积 3 1 1 3 Va 由 I 知 PQ 为棱锥 P DCQ 的高 而 PQ 2a DCQ 的面积为 2 2 2 a 所以棱锥 P DCQ 的体积为 3 2 1 3 Va 故棱锥 Q ABCD 的体积与棱锥 P DCQ 的体积的比值为 1 12 分 全国全国 理理 6 在一个几何体的三视图中 正视图和俯视图如右图所示 则相应的俯视图可以为 D 21 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上 且6 2 3ABBC 则棱 锥OABCD 的体积为 8 3 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 D E分别为ABC 的边AB AC上的点 且不与 ABC 的顶点重合 已知AE的长为n AD AB的长是关于x的 方程 2 140 xxmn 的两个根 证明 C B D E四点共圆 若90A 且4 6mn 求C B D E所在圆的半径 22 解 解 I 连接 DE 根据题意在 ADE 和 ACB 中 AD AB mn AE AC 即 AB AE AC AD 又 DAE CAB 从而 ADE ACB 因此 ADE ACB 所以 C B D E 四点共圆 m 4 n 6 时 方程 x2 14x mn 0 的两根为 x1 2 x2 12 故 AD 2 AB 12 取 CE 的中点 G DB 的中点 F 分别过 G F 作 AC AB 的垂线 两垂线相交于 H 点 连接 DH 因 为 C B D E 四点共圆 所以 C B D E 四点所在圆的圆心为 H 半径为 DH 由于 A 900 故 GH AB HF AC HF AG 5 DF 2 1 12 2 5 故 C B D E 四点所在圆的半 径为 52 全国全国 文文 7 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表 面积为 A 3 a2 B 6 a2 C 12 a2 D 24 a2 B 15 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 18 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形 AB CD ACBD 垂足为H PH是四棱锥的高 证明 平面PAC 平面PBD 22 若6AB APBADB 60 求四棱锥PABCD 的体积 2 因为 ABCD 为等腰梯形 ABACD AC BD AB 6 所以 HA HB 3 因为 APB ADR 600 所以 PA PB 6 HD HC 1 可得 PH 3 等腰梯形 ABCD 的面积为 S 1 2 AC x BD 2 3 9 分 所以四棱锥的体积为 V 1 3 x 2 3 x3 32 3 3 12 分 全国全国 理理 6 已知直二面角l 点 A AC l C 为垂足 B BD l D 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离等于 A 2 3 B 3 3 C 6 3 D 1 答案 C 命题意图 本小题主要考查面面垂直的性质及点到面的距离的求法 解析 如图 因为二面角l 是直二面角 AC l 所以 AC 面 ABCBCD 面 过D作 DEBC 于E 则DEABC 面 DE即为 D 到平面 ABC 的距离 在Rt ABC 中 22 3BCABAC 在Rt BCD 中 2CD 6 3 BD CD DE BC 11 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成60 二面角的平面 截该球面 得圆 N 若该球面的半径为 4 圆 M 的面积为4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 答案 D 命题意图 本小题主要考查了球及球的截面的相关知识 解析 如图 OMM A面 由MA的面积为4 故2AM 在Rt OAM 中 4 2 60 2 3OAAMOAMOM ONN A面 在30 Rt OMNOMN 中 22 sin303 13ONOMNBOBON A 2 N 13 13 A的面积 A B C D E A M O N B 23 16 已知 E F 分别在正方体 ABCD A1B1C1D1棱 BB1 CC1上 且 B1E 2EB CF 2FC1 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 答案 2 3 命题意图 本小题主要考查了无棱二面角的作法及求法 解析 连FE并延长交CB的延长线于G 连AG 过B作BHAG 连 EH 则由三垂线定理知EHB 为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角 易求得 2 tan 3 EHB 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 棱锥SABCD 中 AB CD BC CD 侧面SAB为等边三角形 AB BC 2 CD SD 1 证明 SD 平面SAB 求AB与平面SBC所成的角的大小 命题立意 本小题主要考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 及线面角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 解析 证明 连 1 BDABSBBC CDSDBDBDSDBBCD 又 BCCD 90 BCDBSDSDSB 取AB的中点E 连DE 则 AEEBCD 又AB CD BC CD BCDE 四边形是矩形 DEABDADB 又 SASB SDSDSADSBDSDSA 故SD 平面SAB 过S作SOEDO 于 过O作OFBCF 于 连SF 则OF AB AB与 平面SBC所成的角为OF与平面SBC所成的角 由 有DEAB 又SEABABSDE 平面SOABCD 平面 BCSDF 平面故SFO 即为所 求 24 主 正 视图俯视图 在Rt SDE 中 133 3 1 2 1 22 SESDDEBCSOOFCD A 3 33 2 tanarctan 122 SFOSFO 全国全国 文文 15 己知正方体 1111 ABCDABC D 中 E为 11 C D的中点 则异面直线AE与 BC所成角的余弦值为等于 来 答案 2 3 解析 取 11 AB的中点F AEF 为所求角 设棱长为 2 则3 5 2AEAFEF 222 2 cos 23 AEEFAF AEF AEEF 山东理山东理 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判 断 可以 19 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 ACB 90 平面 EF 若 是线段 的中点 求证 平面 若 求二面角 的大小 解析 连结 AF 因为 EF EF F 所以平面 EFG 平面 ABCD 又易证EFG ABC 所以 1 2 FGEF BCAB 即 1 2 FGBC 即 1 2 FGAD 又 M 为 AD 的中点 所以 1 2 AMAD 又因为 D 所以 M 所以四边形 AMGF 是平行四边形 故 GM FA 又因为 平面 FA 平 25 面 所以 平面 取 AB 的中点 O 连结 CO 因为 所以 CO AB 又因为 平面 CO 平面 所以 CO 又 AB A 所以 CO 平面 在平面 ABEF 内 过点 O 作 OH BF 于 H 连结 CH 由三垂线定理知 CH BF 所以 CHO 为二面角 的平面角 设 2a 因为 ACB 90 2a CO a 2 2 AEa 连结 FO 容易 证得 FO EA 且 2 2 FOa 所以 6 2 BFa 所以 OH 22 26 a 3 3 a 所以在 Rt COH 中 tan CHO CO OH 3 故 CHO 60 所以二面角 的大小为60 山东文山东文 19 本小题满分 12 分 如图 在四棱台 1111 ABCDABC D 中 1 D D 平面ABCD 底面ABCD是平行四边 形 AB 2AD 11 AD A B BAD 60 证明 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 19 I 证法一 因为 1 D D 平面 ABCD 且BD 平面 ABCD 所以 1 D DBD 又因为 AB 2AD 60BAD 在ABD 中 由余弦定理得 2222 2cos603BDADABAD ABAD 所以 222 ADBDAB 因此 ADBD 又 1 ADD DD 所以 11 BDADD A 平面又 1 AA 平面 ADD1A1 故 1 AABD 证法二 因为 1 D D 平面 ABCD 且BD 平面 ABCD 所以 1 BDD D 取 AB 的中点 G 连接 DG 26 在ABD 中 由 AB 2AD 得 AG AD 又60BAD 所以ADG 为等边三角形 因此 GD GB 故DBGGDB 又60AGD 所以G D B 30 故AD B AD G G D B 60 30 90 所以BDAD 1 DD 又AD D 所以BD 平面 ADD1A1 又 1 AA 平面 ADD1A1 故 1 AABD II 连接 AC A1C1 设ACBDE 连接 EA1 因为四边形 ABCD 为平行四边形 所以 1 2 ECAC 由棱台定义及 AB 2AD 2A1B1知 A1C1 EC 且 A1C1 EC 所以边四形 A1ECC1为平行四边形 因此 CC1 EA1 又因为 EA1 平面 A1BD 1 CC 平面 A1BD 所以 CC1 平面 A1BD 陕西理陕西理 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 思路点拨 根据已知的三视图想象出空间几何体 然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计 算 精讲精析 选 A 由几何体的三视图可知几何体为 一个组合体 即一个正方体中间去掉一个圆锥体 所以它的体积是 32 12 2128 33 V B 几何证明选做题 如图 B D AEBC 90ACD 且 AB 6 AC 4 AD 12 则 BE 分析 寻找两个三角形相似的条件 再根据相似三角形的对应 边成比例求解 解 因为AEBC 所以 AEB 90ACD 又因为 B D 所以 AEB ACD 所以 ACAD AEAB 所以 6 4 2 12 AB AC AE AD 在 Rt AEB 中 2222 624 2BEABAE 答案 4 2 陕西文陕西文 27 15 B 几何证明选做题 如图 B D AEBC 90ACD 且 AB 6 AC 4 AD 12 则 AE 分析 寻找两个三角形相似的条件 再根据相似三角形的对应边成比例求解 解 因为AEBC 所以 AEB 90ACD 又因为 B D 所以 AEB ACD 所以 ACAD AEAB 所以 6 4 2 12 AB AC AE AD 答案 2 16 本小题满分 12 分 如图 在 ABC 中 ABC 45 BAC 90 AD 是 BC 上的高 沿 AD 把 ABD 折起 使 BDC 90 1 证明 平面 平面 2 设 BD 1 求三棱锥 D 的表面积 分析 1 确定图形在折起前后的不变性质 如角的大小不变 线段长度不变 线线关系 不变 再由面面垂直的判定定理进行推理证明 2 充分利用垂直所得的直角三角形 根 据直角三角形的面积公式计算 解 1 折起前 是 边上的高 当 折起后 AD AD 又 DB 平面 又 AD 平面 BDC 平面 ABD 平面 BDC 2 由 1 知 DADB DBDC DCDA DB DA DC 1 AB BC CA 2 11 1 1 22 DAMDBCDCA SSS AAA 13 22sin60 22 ABC S A 三棱锥 D 的表