2011高考数学复习资料汇编：第7单元 立体几何（真题解析+最新模拟）

用心 爱心 专心 1 20112011 年最新高考年最新高考 最新模拟最新模拟 立体几何立体几何 1 2010 浙江理数 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若lm m 则l B 若l lm 则m C 若l m 则lm D 若l m 则lm 答案 B 解析 可对选项进行逐个检查 本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的 公理和判定定理 也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察 属中档题 2 2010 全国卷 2 理数 与正方体 1111 ABCDABC D 的三条棱AB 1 CC 11 AD所在直 线的距离相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D 解析 直线上取一点 分别作垂直于于则 分别作 垂足分别为 M N Q 连 PM PN PQ 由三垂线定 理可得 PN PM PQ AB 由于正方体中各个表面 对等角全等 所以 PM PN PQ 即 P 到三条棱 AB CC1 A1D1 所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件 故选 D 3 2010 全国卷 2 理数 已知正四棱锥SABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积 最大时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 答案 C 解析 本试题主要考察椎体的体积 考察告辞函数的最值问题 设底面边长为 a 则高 所以体积 用心 爱心 专心 2 设 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 时 体积最大 此时 故选 C 4 2010 陕西文数 若某空间几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积是 A 2 B 1 C 2 3 D 1 3 答案 B 解析 本题考查立体图形三视图及体积公式如图 该立体图 形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 5 2010 辽宁文数 已知 S A B C是球O表面上的点 SAABC 平面 ABBC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 答案 A 解析 由已知 球O的直径为22RSC 表面积为 2 44 R 6 2010 辽宁理数 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根 铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 62 B 1 2 2 C 62 62 D 0 2 2 答案 A 解析 本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力 根据条件 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架 有以下两种情况 1 地面是边长为 2 的正三角形 三条侧棱长为 2 a a 如图 此时 a 可以取最大值 可 知 AD 3 SD 2 1a 则有 2 1a 2 3 即 22 84 3 62 a 即有 a0 综上分析可知 a 0 62 7 2010 全国卷 2 文数 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱 AB CC1 A1D1所在直线的距离 相等的点 A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 答案 D 解析 本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴 以正方体边长为半径的圆柱面上 三个圆柱面有无数个交点 8 2010 全国卷 2 文数 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 答案 D 解析 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与 平面所成角 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E 连结 SE 过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F 连 BF 正三角形 ABC E 为 BC 中点 BC AE SA BC BC 面 SAE BC AF AF SE AF 面 SBC ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角 由正三角形边长 3 3AE AS 3 SE 2 3 AF 3 2 3 sin 4 ABF 9 2010 江西理数 过正方体 1111 ABCDABC D 的顶点 A 作直线 L 使 L 与棱AB AD 1 AA所成的角都相等 这样的直线 L 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 考查空间感和线线夹角的计算和判断 重点考查学生分类 划归转化的能力 第一类 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条 体对角线 AC1 第二类 在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹 角相等 有 3 条 合计 4 条 10 2010 安徽文数 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积是 A 372 B 360 C 292 D 280 答案 B 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容 A B C S E F 用心 爱心 专心 4 易知道是两个长方体的组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体的表面积转化为 下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 11 2010 重庆文数 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个 B 恰有 3 个 C 恰有 4 个 D 有无穷多个 答案 D 解析 放在正方体中研究 显然 线段 1 OO EF FG GH HE 的 中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 A B C 选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的距离相等 12 2010 浙江文数 若某几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则此几何体的体积是 A 352 3 cm3 B 320 3 cm3 C 224 3 cm3 D 160 3 cm3 答案 B 解析 本题主要考察了对三视图所表达示的空间几 何体的识别以及几何体体积的计算 属容易题 13 2010 山东文数 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 14 2010 北京文数 如图 正方体 1111 ABCD A B C D的棱长 为 2 动点 E F 在棱 11 A B上 点Q 是 CD 的中点 动点 P 在棱 AD 上 若 EF 1 DP x 1 AE y x y 大于零 则三棱锥 P EFQ 的体积 A 与 x y 都有关 B 与 x y 都无关 C 与 x 有关 与 y 无关 D 与 y 有关 与 x 无关 答案 C 15 2010 北京文数 一个长方体去掉一个小长方体 用心 爱心 专心 5 B C D A N M O 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该集合体的俯视图为 答案 C 16 2010 北京理数 如图 正方体 ABCD 1111 ABC D的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 AB上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 1 AE x DQ y D 大于零 则四面 体 PE 的体积 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 答案 D 17 2010 四川理数 半径为R的球O的直径AB垂直于平面 垂足为B BCD 是 平面 内边长为R的正三角形 线段AC AD分别与球面交于点 M N 那么 M N 两点间 的球面距离是 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 答案 A 解析 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC 1 2 cos BAC 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为 等腰三角形 AM 2AOcos BAC 4 5 5 R 同理 AN 4 5 5 R 且 MN CD 而 AC 5R CD R 故 MN CD AN AC MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 用心 爱心 专心 6 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 18 2010 广东理数 如图 1 ABC 为三角形 AA BB CC CC 平面 ABC 且 3 AA 3 2 BB CC AB 则多面体 ABC A B C 的正视图 也称主视图 是 答案 D 19 2010 广东文数 20 2010 福建文数 若一个底面是正三角形的三棱 柱的正视图如图所示 则其侧面积等于 A 3 B 2 C 2 3 D 6 答案 D 解析 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基本能力 由 正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 3 242 3 4 侧面积为3 2 16 选 D 21 2010 全国卷 1 文数 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四 面体 ABCD 的体积的最大值为 用心 爱心 专心 7 A B C D A1 B1 C1 D1 O A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 解析 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距离 通过球这个载 体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中 点时 22 max 2 212 3h 故 max 4 3 3 V 22 2010 全国卷 1 文数 正方体ABCD 1111 ABC D中 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦 值为 A 2 3 B 3 3 C 2 3 D 6 3 答案 D 解析 本小题主要考查正方体的性质 直线与平面所成的角 点 到平面的距离的求法 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离 是 解决本题的关键所在 这也是转化思想的具体体现 方法一 因为 BB1 DD1 所以 B 1 B与平面 AC 1 D所成角和 DD1与平面 AC 1 D所成角相等 设 DO 平面 AC 1 D 由等体积法得 11 D ACDDACD VV 即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 设 DD1 a 则 1 22 1 1133 sin60 2 2222 ACD SAC ADaa 2 11 22 ACD SAD CDa 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa 记 DD1与平面 AC 1 D所成角为 则 1 3 sin 3 DO DD 所以 6 cos 3 方法二 设上下底面的中心分别为 1 OO 1 O O与平面 AC 1 D所成角就是 B 1 B与平面 AC 1 D所成角 1 11 1 36 cos1 32 OO OOD OD 23 2010 全国卷 1 文数 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若90BAC 1 ABACAA 则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 用心 爱心 专心 8 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA BC 的性质 异面直线所成的角 异面直线所 成的角的求法 延长 CA 到 D 使得ADAC 则 11 ADAC为平行四边形 1 DAB 就是异面 直线 1 BA与 1 AC所成的角 又三角形 1 ADB为等边三角形 0 1 60DAB 24 2010 湖北文数 用a b c表示三条不同的直线 y表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a y b y 则a b 若a y b y 则a b A B C D 25 2010 山东理数 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质 属基础题 由空 间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案 26 2010 福建理数 用心 爱心 专心 9 所以EH FG 故EH FG 11 BC 所以选项 A C 正确 因为 11 AD 平面 11 ABB A EH 11 AD 所以EH 平面 11 ABB A 又EF 平面 11 ABB A 故EH EF 所以选 项 B 也正确 故选 D 命题意图 本题考查空间中直线与平面平行 垂直的判定与性质 考查同学们的空间想象 能力和逻辑推理能力 27 2010 湖北省武汉市四月调研 若 a b 是异面直线 是两个不同平面 abl 则 A l 与 a b 分别相交B l 与 a b 都不相交 C l 至多与 a b 中一条相交 D l 至少与 a b 中的一条相交 答案 B 解析 假设 l 与 a b 均不相交 则 l a l b 从而 a b 与 a b 是异面直线矛盾 故 l 至少与 a b 中的一条相交选 D 28 2010 北京西城一模 如图 平面 平面 直线l AC是 内不同的两 点 BD是 内不同的两点 且 ABCD 直线l MN分别是线段 ABCD的中 点 下列判断正确的是 A 当 2 CDAB 时 MN两点不可能重合 l NM D C B A 用心 爱心 专心 10 B MN两点可能重合 但此时直线AC与l不可能相交 C 当 AB 与CD相交 直线AC平行于l时 直线 BD可以与l相交 D 当 ABCD是异面直线时 直线MN可能与l平行 答案 B 解析 若 MN两点重合 由 AMMBCMMD 知ACBD 从而AC 平面 故 有ACl 故 B 正确 29 2010 宁波市二模 已知 表示两个互相垂直的平面 ba 表示一对异面直线 则 ba 的一个充分条件是 A ba B ba C ba D ba 答案 D 解析 依题意 a 则 a 平行 或在 内 由于 b 则ba 选择 D 30 2010 上海市浦东新区 4 月二模 直线a与平面M没有公共点 是 直线a与平面 M平行 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由直线与平面平行的定义知 选 C 31 2010 北京崇文一模 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题 中正确的为 A 若 则 B 若 mn 则mn C 若 mn 则mn D 若 mm 则 答案 B 解析 A 中 可以是任意关系 B 正确 C 中 m n 平行于同一平面 其位置关系可以为 任意 D 中平行于同一直线的平面可以相交或者平行 32 2010 甘肃省部分普通高中第二次联合考试 已知直线lm 平面 且 lm 给出下列命题 若 则 m l 若 则 m l 若 m l 则 若 m l 则 其中正确命题的个数是 A 1B 2 C 3D 4 答案 B 解析 对于 lm 若 m 所以 m l 正确 对于 若 用心 爱心 专心 11 则 m 或 m 在 内 m 与 l 可以平行可以异面还可以相交 所以 错 对于 lm 若 m l 则 与 可以相交 错 对于 若 m l 则 l 正确 选择 B 33 2010 湖北六市四月联考 给出互不相同的直线m n l和平面 下列四个 命题 若m lA Am 则l与m不共面 若m l是异面直线 l m 且nl nm 则n 若l m lmA l n 则 若 l m 则 lm 其中真命题有 A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 答案 B 解析 由异面直线的判定定理 易知 是真命题 由线面平行的性质 存在直线l m 使得 l l m m m l是异面直线 l 与 m 是相交直线 又nl nm n l n m 故n 是真命题 由线面平行的性质和判定 知 是真 命题 满足条件 l m 的直线m l或相交或平行或异面 故 是假命题 于是选 B 34 2010 河南省郑州市第二次质检 已知 是三个不同的平面 命题 且 是真命题 如果把 中的任意两个换成直线 另 一个保持不变 在所得的所有新命题中 真命题有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案 C 解析 依题意 与 换成直线后是真命题 与 换成直线后是真命题 与 换 成直线后是假命题 选择 C 35 2010 宁波二模 已知 表示两个互相垂直的平面 ba 表示一对异面直线 则 ba 的一个充分条件是 A ba B ba C ba D ba 答案 D 用心 爱心 专心 12 解析 依题意 a 则 a 平行 或在 内 由于 b 则ba 选择 D 36 2010 绵阳三诊 已知 表示两个不同的平面 m是一条直线且m 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若m 因m是一条直线且m 由面面垂直的判定定理 知 反之 若m是一条直线且m 当 时 m与平面 的位置关系可以为 相交或平行或 m 故 是 m 的必要不充分条件 选 B 37 2010 吉林市下学期期末质量检测 已知 a b 表示两条不同的直线 表示两个 不同的平面 则下列命题中正确的是 A 若 baba则 B 若 与aa 所成角等于 b 与 所成角 则 a b C 若 bbaa则 D 若 baba 则 答案 D 解析 对于选项 A 直线 a b 可能平行或异面 对于选项 B 只有当平面 与 平行时 才有 a b 故 B 不对 对于选项 C 有可能直线 b 在平面 内 故 C 错 故选 D 38 2010 山东德州五月质检 在空间中 给出下面四个命题 1 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2 若平面外两点到平面的距离相等 则过两点的直线必平行 于该平面 3 两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线 4 两个相互垂直的平面 一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线 其中正确的是 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4 答案 D 解析 对于 2 可能该直线与平面相交 对于 3 可能两相交直线的射影为一条直线或一点 与过该点的一条直线 故选 D 39 2010 江西省重点中学第二次联考 已知一个确定的二面角l a和b是空间 用心 爱心 专心 13 的两条异面直线 在下面给出的四个条件中 能使a和b所成的角也确定的是 A a 且b B a 且b C a 且b D a 且b 答案 D 解析 因为二面角的大小是确定的 所以当a 且b 时 a和b所成的角与二面角 的大小相等或互补 故而a和b所成的角也确定 选 D 40 2010 崇文一模 已知 m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确 的为 A 若 则 B 若 mm 则 C 若 mn 则mn D 若 mn 则mn 答案 D 解析 A 中 垂直于同一平面的平面可能平行或者相交 B 中 平行于同一直线的平面可 能平行或者相交 C 中 平行于同一平面的直线可能是任意关系 D 中 垂直于同一平面的 直线平行 正确 41 2010 上海市长宁区二次模 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条 直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 根据是平面与平面垂直的判定定理知 由 m 反之不成立 故选 B 42 2010 河北省衡水中学一模 正四棱锥 P ABCD 的底面积为 3 体积为 2 2 E 为侧棱 PC 的中点 则 PA 与 BE 所成的角为 A 6 B 3 C 4 D 2 答案 B 解析 由 V 3 h 所以 h 从而侧棱长 PA 取 AC 中点 O 连 OE 则 2 2 1 3 2 22 OE PA 且 OE 于是 OEB 为异面直线 PA 与 BE 所成的角或其补角 在直角三角形 BOE 中 2 2 BO 所以 tan OEB 所以 OEB 3 6 23 43 2010 湖北省襄樊五中 5 月调研测试 如图 正三棱锥 A BCD 中 E 在棱 AB 上 F 在 用心 爱心 专心 14 A C1 A1 B1 E C B D 棱 CD 上 并且 0 OB OC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为 1 S 2 S 3 S 则 1 S 2 S 3 S的大小关系为 答案 321 SSS 用心 爱心 专心 20 解析 考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 通过补形 借助长方体验证结论 特殊化 令边长为 1 2 3 得 321 SSS 65 2010 北京文数 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动 设顶点 p x y 的 纵坐标与横坐标的函数关系是 yf x 则 f x的最小正周期为 yf x 在 其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 答案 4 1 解析 正方形 PABC 沿 x 轴滚动 包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴 负方向滚动 沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转 当顶点 B 落在 x 轴上时 再以顶点 B 为中心顺时针旋转 如此继 续 类似地 正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动 66 2010 四川理数 如图 二面角l 的大小是 60 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 A B A B C D 答案 3 4 解析 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 由三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角l 的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结 CB 则 ABC 为AB与平面 所成的角 设 AD 2 则 AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 sin ABC 3 4 AC AB 67 2010 天津文数 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 答案 3 解析 本题主要考查三视图的基础知识 和主题体积 的计算 属于容易题 正视图和侧视图的高是几何体的 高 由俯视图可以确定几何体底面的形状 本题也可以 将几何体看作是底面是长为 3 宽为 2 高为 1 的长方体 的一半 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形 则正 视图和俯视图可知该几何体的高为 1 结合三个试图可知 该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 所以该几何题 的体积为 1 2 1 2 2 1 3 用心 爱心 专心 21 68 2010 天津理数 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 答案 10 3 解析 本题主要考查三视图的概念与柱体 椎体体 积的计算 属于容易题 利用俯视图可以看出几何体底 面的形状 结合正视图与侧视图便可得到几何体的形 状 求锥体体积时不要丢掉 1 3 哦 由三视图可知 该几 何体为一个底面边长为 1 高为 2 的正四棱柱与一个底 面边长为 2 高为 1 的正四棱锥组成的组合体 因为正 巳灵珠的体积为 2 正四棱锥的体积为 14 4 1 33 所以该几何体的体积 V 2 4 3 10 3 69 2010 湖北文数 圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水 若放入三个相 同的珠 球的半么与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上面的球 如图所示 则球的半径是 cm 答案 4 解析 设球半径为 r 则由3VVV 平平平 可得3 322 4 86 3 rrrr 解得 r 4 70 2010 湖南理数 图 3 中的三个直角三角形是一个体积为 20 3 cm的几何体的三视图 则h cm 用心 爱心 专心 22 71 2010 福建理数 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其表面积等于 答案 6 2 3 解析 本题考查立体几何中的三视图 考查同学们识图的能力 空间想象能力等基本能力 由 正视图知 三棱柱是以底面边长为 2 高为 1 的正三棱柱 所以底面积为 3 242 3 4 侧面积为3 2 16 所以其表面积为6 2 3 72 2010 甘肃省兰州市五月实战模拟 已知 S ABC 是正四面体 M 为 AB 之中点 则 SM 与 BC 所成的角为 答案 arccos 3 6 解析 设正四面体边长为 1 取 AC 中点 N 则 MN BC SMN 为异面直线 SM 与 BC 所成的 角或其补角 且 MN SM SN 由余弦定理可得 cos SMN 1 2 3 2 3 6 73 2010 石家庄市质量检测 二 如图 在底面边长为 2 的正三 棱柱 ABC A1B1C1中 若二面角 C1 AB C 的大小为 60 0 则点 C 到平面 ABC1的距离为 答案 3 2 解析 过点 C 作 CD AB 交 AB 于 D 连结 C1D 则由三垂线定理知 CDC1为二面角的平面角 则 CDC1 60 过点 C 作 CH C1D 交 C1D 于 H 则 CH 平面 ABC1 故 CH 为所求 在三角形 CC1D 中 CD 从而 CC1 3 从而 CH 3 3 2 74 2010 云南曲靖一中高考冲刺卷六 正四面体ABCD外接球的体积为4 3 则点 A 到平面 BCD 的距离为 答案 43 3 解析 V 4 3 所以 R 过 A 作 AH 平面 BCD 则垂足为底面中心 则 AH 为所求 3 用心 爱心 专心 23 又由正四面体与外接球的关系知 AH R 4 3 43 3 75 2010 上海市长宁区二模 棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点都在球 O 的表 面上 E F 分别是棱 AA1 DD1的中点 则直线 EF 被球 O 截得的线段长是 答案 a 2 解析 由题意知球心为正方体对角线的中点 球半径为a 球心到直线 EF 的距离为 3 2 a 2 所以直线 EF 被球 O 截得的线段长 l 2 a F R 3 2 a 2 F a 2 22 76 2010 邯郸市二模 三棱锥 A BCD AB a CD b ABD BDC M N 分别为 AD BC 的中点 P 为 BD 上一点 则 MP NP 的最小值是 答案 a b 2 解析 如图 将三棱锥的两个侧面 ABD 与 BCD 展成一个平面 由 ABD BDC 知此时 AB CD 连接 MN 交 BD 于一点 P 此即为 最小值点 此时 MN 为梯形 ABCD 的中位线 所以 MN a b 2 77 2010 上海市普陀区四月调研 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其 中底面的三个顶点在该球的一个大圆上 则该正三棱锥的体积是 答案 3 4 解析 因为底面的三个顶点在该球的一个大圆上 所以底面边长为 a 又顶点在球面 3 上 所以三棱锥的高为半径 所以 V 2 1 1 3 3 43 3 4 78 2010 甘肃省兰州市五月实战模拟 已知 S ABC 是正四面体 M 为 AB 之中点 则 SM 与 BC 所成的角为 答案 3 arccos 6 解析 取 AC 中点 N 连结 SN 在三角形 SMN 中 易求得 cos SMN SMN 3 6 3 arccos 6 即为所求 79 2010 上海市卢湾区 4 月高考模拟 若体积为 8 的正方体的各个顶点均在一球面上 则该球的体积为 结果保留 答案 4 3 解析 因为正方体的体积为 8 所以边长为 2 又各个顶点在一球面上 所以正方体的体 A BC D MN P 用心 爱心 专心 24 对角线为球的直径 即 2R 2 所以 R 所以 V球 R3 4 33 4 33 80 2010 浙江五校四月联考 四面体 ABCD 中 共顶点 A 的三条棱两两相互垂直 且其长 分别为1 6 3 若四面体的四个顶点同在一个球面上 则这个球的表面积为 答案 16 解析 由题可知该四面体内接于球 且球的直径为 2R 4 所以 S 12 R 6 2 32 16 81 2010 上海市卢湾区 4 月模拟 在正四面体 ABCD 中 E F 分别是 BC AD 中点 则异面直线 AE 与 CF 所成的角是 用 反三角值表示 答案 arccos 2 3 解析 如图所示 连结 DE 取 DE 中点 M 连结 CM FM 则 FM AE 所以 CFM 为异面直 线所成的角或其补角 设正四面体的棱长为 1 在三角形 CFM 中 CF FM CM 3 2 3 4 7 4 由余弦定理 可求得 cos CFM 2 3 82 2010 年抚州市高三年级教学质量检测 在矩形ABCD中 已知 4AB 3BC 将该矩形沿对角线AC折成直二面角D ACB 则四面体ABCD的外接球的 体积为 答案 125 6 解析 外接球的球心为对角线 AC 的中点 半径 r AC V 3 125 6 1 2 5 2 4 3 5 2 83 2010 上海文数 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用 S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作 出用于灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 解 1 设圆柱形灯笼的母线长为 l 则 l 1 2 2r 0 r0 所以 32 3 a f xxbxcxd 在 内无极值点 等价于 2 20fxaxbxc 在 内恒成立 由 式得295 4ba ca 又 2 2 49 1 9 bacaa 解 0 9 1 9 0 a aa 得 1 9a 即a的取值范围 1 9 97 2010 北京理数 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面 BDE 求证 CF 平面 BDE 求二面角 A BE D 的大小 证明 I 设 AC 与 BD 交与点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AC 1 所以四边形 AGEF 为平 行四边形 所以 AF 平面 EG 因为EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE II II 因为正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面 相互垂直 且 CE AC 所以 CE 平面 ABCD 如图 以 C 为 原点 建立空间直角坐标系 C xyz 则 C 0 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 所以 22 1 22 CF 0 2 1 BE 2 0 1 DE 所以0 1 10CF BE 1 0 10CF DE 所以CFBE CFDE 所以 CF BDE III 由 II 知 22 1 22 CF 是平面 BDE 的一个法向量 设平面 ABE 的法向量 nx y z 则0n BA 0n BE 即 2 0 0 0 0 2 1 0 x y z x y z 所以0 x 且2 zy 用心 爱心 专心 38 令1 y 则2z 所以 0 1 2 n 从而 3 cos 2 n CF n CF n CF 因为二面角ABED 为锐角 所以二面角 ABED 的大小为 6 98 2010 四川理数 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1 点 M 是棱 AA 的中点 点 O 是对角线 BD 的中点 求证 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 求二面角 M BC B 的大小 求三棱锥 M OBC 的体积 解析 本小题主要考查异面直线 直线与平面垂直 二面角 正方体 三棱锥体积等基础 知识 并考查空间想象能力和逻辑推理能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力 解 1 连结 AC 取 AC 中点 K 则 K 为 BD 的中点 连结 OK 因为 M 是棱 AA 的中点 点 O 是 BD 的中点 所以 AM 1 2 DDOK 所以 MO AK 由 AA AK 得 MO AA 因为 AK BD AK BB 所以 AK 平面 BDD B 所以 AK BD 所以 MO BD 又因为 OM 是异面直线 AA 和 BD 都相交 故 OM 为异面直线 AA 和 BD 的公垂线 2 取 BB 中点 N 连结 MN 则 MN 平面 BCC B 过点 N 作 NH BC 于 H 连结 MH 则由三垂线定理得 BC MH 从而 MHN 为二面角 M BC B 的平面角 MN 1 NH Bnsin45 122 224 在 Rt MNH 中 tan MHN 1 2 2 2 4 MN NH 故二面角 M BC B 的大小为 arctan22 3 易知 S OBC S OA D 且 OBC 和 OA D 都在平面 BCD A 内 点 O 到平面 MA D 距 离 h 1 2 VM OBC VM OA D VO MA D 1 3 S MA D h 1 24 99 2010 天津文数 如图 在五面体 ABCDEF 中 四边形 ADEF 是正方形 FA 平面 ABCD BC AD CD 1 AD 2 2 BAD CDA 45 求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值 证明 CD 平面 ABF 求二面角 B EF A 的正切值 解析 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二 面角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 I 解 因为四边形 ADEF 是正方形 所以 FA ED 故CED 为异面 直线 CE 与 AF 所成的角 因为 FA 平面 ABCD 所以 FA CD 故 ED CD 在 Rt CDE 中 CD 1 ED 2 2 CE 22 CDED 3 故 cosCED ED CE 2 2 3 所以异面直线 CE 和 AF 用心 爱心 专心 39 所成角的余弦值为 2 2 3 证明 过点 B 作 BG CD 交 AD 于点 G 则45BGACDA 由 45BAD 可得 BG AB 从而 CD AB 又 CD FA FA AB A 所以 CD 平面 ABF 解 由 及已知 可得 AG 2 即 G 为 AD 的中点 取 EF 的中点 N 连接 GN 则 GN EF 因为 BC AD 所以 BC EF 过点 N 作 NM EF 交 BC 于 M 则GNM 为二面角 B EF A 的平面角 连接 GM 可得 AD 平面 GNM 故 AD GM 从而 BC GM 由已知 可得 GM 2 2 由 NG FA FA GM 得 NG GM 在 Rt NGM 中 tan GM1 NG4 GNM 所以二面角 B EF A 的 正切值为 1 4 100 2010 天津理数 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 1 CC上的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 1 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值 2 证明AF 平面 1 AED 3 求二面角 1 AEDF 的正弦值 解析 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查用 空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 解 1 解 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 1 2 连接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1交于点 M 易 知 A1D B1C 由 1 CECF1 CBCC4 可知 EF BC1 故BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易 用心 爱心 专心 40 知 BM CM 1 1 B C 5 2 所以 222 3 cos 25 BMCMBC BMC BM CM 所以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 连接 AC 设 AC 与 DE 交点 N 因为 1 2 CDEC BCAB 所以Rt DCERt CBA 从而CDEBCA 又由于90CDECED 所以90BCACED 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 1 CCACC 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 连接 BF 同理 可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 1 DEADD 所以 AF 平面 A1ED 3 解 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF 平面 ACF A1N 平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故 1 ANF 为二面角 A1 ED F 的平面角 易知Rt CNERt CBA 所以 CNEC BCAC 又5AC 所以 5 5 CN 在 22 1 30 5 Rt NCFNFCFCNRt A AN 中 在中 22 11 4 30 5 NAA AAN 连接 A1C1 A1F 在 22 111111 14Rt AC FAFACC F 中 222 11 11 1 2 cos 23 ANFNAF Rt ANFANF ANFN 在中 所以 1 5 sin 3 ANF 所以二面角 A1 DE F 正弦值为 5 3 101 2010 广东理数 如图 ABC是半径为 a 的半圆 AC 为直径 点 E 为 AC的中点 点 B 和点 C 为线段 AD 的 三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足5FBDFa FE 6a 1 证明 EB FD 2 已知点 Q R 分别为线段 FE FB 上的点 使得 22 33 BQFE FRFB 求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值 用心 爱心 专心 41 2 设平面BED与平面 RQD 的交线为DG 由 BQ 2 3 FE FR 2 3 FB 知 QREB 而EB 平面BDF QR平面BDF 而平面BDF 平面RQD DG QRDGEB 由 1 知 BE 平面BDF DG 平面BDF 而DR 平面BDF BD 平面BDF DGDR DGDQ RDB 是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角 在Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 22 sin 55 FCa RBD BFa 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 用心 爱心 专心 42 52 2 293 5 sin 2929 3 a RDB a 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是 2 29 29 102 2010 全国卷 1 理数 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 用心 爱心 专心 43 103 2010 山东理数 如图 在五棱锥 P ABCDE 中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形 PAB 是等腰三角形 求证 平面 PCD 平面 PAC 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小 求四棱锥 P ACDE 的体积 解 证明 因为 ABC 45 AB 22 BC 4 所以在ABC 中 由余弦定理得 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得AC 2 2 所以 222 AB AC 8 8 16 BC 即ABAC 又 PA 平面 ABCDE 所以 PA AB 又 PAACA 所以ABAC 平面P 又 AB CD 所以ACCD 平面P 又因为 用心 爱心 专心 44 CDCD 平面P 所以平面 PCD 平面 PAC 由 知平面 PCD 平面 PAC 所以在平面 PAC 内 过点 A 作AHC P于 H 则 AHCD 平面P 又 AB CD AB 平面CDP内 所以 AB 平行于平面CDP 所以点 A 到 平面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离 过点 B 作 BO 平面CDP于点 O 则 PBO 为所求角 且AH BO 又容易求得AH 2 所以 1 sinPBO 2 即 PBO 30 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小为30 由 知ACCD 平面P 所以ACCD 又 AC ED 所以四边形 ACDE 是直角 梯形 又容易求得DE2 AC 2 2 所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 所以四棱锥 P ACDE 的体积为 1 2 23 3 2 2 104 2010 江苏卷 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面的位置关系 考查几 何体的体积 考查空间想象能力 推理论证能力和运算能力 满分 14 分 解 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则 易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 900 所以 ABC 900 用心 爱心 专心 45 从而 AB 2 BC 1 得ABC 的面积1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得PBC 的面积 2 2 PBC S 由 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV 得2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 105 2010 宁波市二模 如图 四棱锥PABCD 的底面ABCD为一直角梯形 其中 BAAD CDAD 2 CDADAB PA 底 面ABCD E是PC的中点 1 求证 BE 平面PAD 2 若BE 平面PCD 求异面直线PD与BC所成角的余弦值 求二面角EBDC 的余弦值 解 设 ABa PAb 建立如图的空间坐标系 0 0 0 0 0 AB a 0 0 Pb 2 2 0 0 2 0 CaaDa 2 b E a a 1 0 2 b BEa 0 2 0 0 0 ADaAPb 所以 11 22 BEADAP BE 平面PAD BE 平面PAD 2 BE 平面PCD BEPC 即0BE PC 2 2 PCaab 2 2 20 2 b BE PCa 即2ba 0 2 2 2 0 aaBCaaPD 2 410 cos 52 25 a PD BC aa 所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为 10 5 用心 爱心 专心 46 平面BDE和平面BDC中 0 2 0 BEa a BDaa 2 0 BCaa 所以平面BDE的一个法向量为 1 2 1 1 n 平面BDC的一个法向量为 2 0 0 1 n 12 1 cos 6 n n 所以二面角EBDC 的余弦值为 6 6 106 2010 上海市