反比例函数学案(教师用)2

成都龙文学校个性化教育学案 教师 学生 年级 时间 年 月 日 反比例函数反比例函数 一 基础知识一 基础知识 1 定义 一般地 形如 为常数 的函数称为反比例函数 还可以写成 x k y kok x k y kxy 1 2 反比例函数解析式的特征 等号左边是函数 等号右边是一个分式 分子是不为零的常数 也叫做比例系数 分母中ykk 含有自变量 且指数为 1 x 比例系数0 k 自变量的取值为一切实数 x 函数的取值是一切非零实数 y 3 反比例函数的图像 图像的画法 描点法 列表 应以 O 为中心 沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数 描点 有小到大的顺序 连线 从左到右光滑的曲线 反比例函数的图像是双曲线 为常数 中自变量 函数值 所以双曲 x k y k0 k0 x0 y 线是不经过原点 断开的两个分支 延伸部分逐渐靠近坐标轴 但是永远不与坐标轴相交 反比例函数的图像即是中心对称图形 对称中心是原点 也是轴对称图形 对称轴是或xy xy 反比例函数 中比例系数的几何意义是 过双曲线 上任意引轴 x k y 0 kk x k y 0 kx 轴的垂线 所得矩形面积为 yk 4 反比例函数性质如下表 的取值k图像所在象限函数的增减性 ok 一 三象限在每个象限内 值随的增大而减小yx ok 二 四象限在每个象限内 值随的增大而增大yx 5 反比例函数解析式的确定 利用待定系数法 只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k 6 反比例关系 与 反比例函数 成反比例的关系式不一定是反比例函数 但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系 x k y 7 反比例函数的应用 二 经典例题二 经典例题 第一部分反比例函数的定义及性质第一部分反比例函数的定义及性质 例 1 如果函数的图像是双曲线 且在第二 四象限内 那么的值是多少 22 2 kk kxy 成都龙文学校个性化教育学案 解析 有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 即 又在第二 x k y 0 kkxy 1 0 k 四象限内 则可以求出的值0 k 答案 由反比例函数的定义 得 解得 时函数为 0 122 2 k kk 0 2 1 1 k kk或 1 k1 k 22 2 kk kxy x y 1 例 2 在反比例函数的图像上有三点 若则 x y 1 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 321 0 xxx 下列各式正确的是 A B C D 213 yyy 123 yyy 321 yyy 231 yyy 解析 可直接以数的角度比较大小 也可用图像法 还可取特殊值法 解法一 由题意得 1 1 1 x y 2 2 1 x y 3 3 1 x y 所以选 A 321 0 xxx 213 yyy 解法二 用图像法 在直角坐标系中作出的图像 x y 1 描出三个点 满足观察图像直接得到选 A 321 0 xxx 213 yyy 解法三 用特殊值法 213321321321 1 1 2 1 1 1 2 0yyyyyyxxxxxx 令 例 3 已知 成正比例 成反比例 且 21 yyy xy 与 1 2 2 xy 与 间的函数解析式与 求的值都是时 时和xyyxx1932 xkyxy 111 设成正比例 与 2 2 2 2 2 x k yxy 设成反比例 与 2 2 121 x k xkyyyy 中 得代入和把 2 2 1 19 319 2 x k xkyyxyx 2 2 1 21 21 36 5 36 5 19 9 1 3 19 4 1 2 x xyxy k k kk kk 之间的函数解析式为与 解得 第二部分反比例函数的应用第二部分反比例函数的应用 成都龙文学校个性化教育学案 例 4 如果一次函数相交于点 那么该直线 的图像与反比例函数 x mn ymnmxy 3 02 2 1 与双曲线的另一个交点为 解析 1 2 13 2 2 1 2 2 13 n m mn nm x x mn ynmxy解得 相交于与双曲线直线 2 2 1 1 1 1 12 1 12 2 2 1 1 y x y x x y xy x yxy 得 解方程组双曲线为直线为 11 另一个点为 例 5 如图 在中 点是直线与双曲线在第一象限的交点 且 AOBRt Amxy x m y 2 AOB S 则的值是 m 图 解 因为直线与双曲线过点 设点的坐标为 mxy x m y AA AA yx 则有 所以 A AAA x m ymxy AAy xm 又点在第一象限 所以 A AAAA yyABxxOB 所以 而已知 myxABOBS AAAOB 2 1 2 1 2 1 2 AOB S 所以 4 m 答案 4 例 6 在某电路中 电压保持不变 电流 I 安培 与电阻 R 欧姆 成反比例 当 R 15 时 I 4 求 I 与 R 之间的函数关系式 当 I 10 5 时 求 R 的值 解析 本例是实际问题中的反比例函数 0 60 60415 415 R R IRI UIR R U I 之间的关系式为与 时 当 成都龙文学校个性化教育学案 当 I 10 5 时 由 欧姆 7 40 5 10 6060 R R I得 例 7 某地上年度电价为 0 8 元 年用电量为 1 亿度 本年度计划将电价调至 0 55 0 75 元之间 经测算 若电价调至 x 元 则本年度新增用电量 y 亿度 与 元成反比例 有又当4 0 x 元时 亿度 65 0 x8 0 y 之间的函数关系式与求xy 若每度电的成本价为 0 3 元 则电价调至多少时 本年度的电力部门的收益将比上年度增加 20 收益 用电量 实际电价 成本价 解析 代入函数关系式求出待定系数 8 0 65 0 4 0 yxxy系式 把成正比例 设出函数关与有 根据题意 列出方程求解 答案 成反比例 与4 0 xy 25 1 25 1 4 0 2 0 2 0 4 0 8 0 65 0 0 4 0 x yxy xx yk x k yyx k x k y 之间的函数关系式为与 解得 代入把 设 根据题意得 3 0 25 1 1 x x 0 0 2013 08 01 整理得6 0 5 0 03 01 1 21 2 xxxx解得 经检验都是原方程的根6 0 5 0 21 xx 故 x 0 5 不符合题意 应舍去 元 75 0 55 0 xx的取值范围是 6 0 x 当电价调至 0 6 元时 本年度电力部门的收益将比上年度增加 20 例 8 2007 福建福州 如图 已知直线与双曲线交于两点 且点 的横 1 2 yx 0 k yk x AB A 坐标为 4 1 求的值 k 图 O x A y B 成都龙文学校个性化教育学案 2 若双曲线上一点的纵坐标为 8 求的面积 0 k yk x CAOC 3 过原点的另一条直线 交双曲线于两点 点在第一象限 若由点Ol 0 k yk x PQ P 为顶点组成的四边形面积为 求点的坐标 ABPQ 24P 解 1 点横坐标为 当时 A4 4x 2y 点的坐标为 A 4 2 点是直线与双曲线的交点 A 1 2 yx 0 k yk x 4 28k 2 解法一 如图 12 1 点在双曲线上 当时 C8y 1x 点的坐标为 C 18 过点分别做轴 轴的垂线 垂足为 得矩形 AC xyMN DMON 32 ONDM S 矩形 4 ONC S 9 CDA S 4 OAM S 3249415 AOCONCCDAOAMONDM SSSSS 矩形 解法二 如图 12 2 过点分别做轴的垂线 垂足为 CA xEF 点在双曲线上 当时 C 8 y x 8y 1x 点的坐标为 C 18 点 都在双曲线上 CA 8 y x 4 COEAOF SS COECOAAOFCEFA SSSS 梯形 COACEFA SS 梯形 1 28 315 2 CEFA S 梯形 15 COA S 3 反比例函数图象是关于原点的中心对称图形 O 四边形是平行四边形 OPOQ OAOB APBQ 11 246 44 POAAPBQ SS 平行四边形 设点横坐标为 得 P 04 m mm 且 8 P m m 过点分别做轴的垂线 垂足为 PA xEF 点在双曲线上 PA 4 PQEAOF SS 图 12 2 O x A y B FE C 图 12 3 O A y B F Q E P x 图 12 1 O x A y D M N C 成都龙文学校个性化教育学案 o y x y x o y x o y x o A B C D 若 如图 12 3 04m POEPOAAOFPEFA SSSS 梯形 6 POAPEFA SS 梯形 18 2 4 6 2 m m 解得 舍去 2m 8m 2 4 P 若 如图 12 4 4m AOFAOPPOEAFEP SSSS 梯形 6 POAPEFA SS 梯形 18 2 4 6 2 m m A 解得 舍去 8m 2m 81 P 点的坐标是或 P 2 4 P 81 P 三 适时训练三 适时训练 一 选一选一 选一选 1 反比例函数的图像位于 x y 2 A 第一 二象限 B 第一 三象限 C 第二 三象限 D 第二 四象限 2 对与反比例函数 下列说法不正确的是 x y 2 A 点 在它的图像上 1 2 B 它的图像在第一 三象限 C 当时 0 x的增大而增大随xy D 当时 0 x的增大而减小随xy 3 若与成反比例 与成正比例 则是的 yxxzyz A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 不能确定 4 已知反比例函数的图象经过点 1 2 则这个函数的图象一定经过 0 k yk x A 2 1 B 2 1 C 2 4 D 1 2 5 如果矩形的面积为 6cm2 那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为 yx 6 某气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 图 12 4 Ox A y B FE Q P 成都龙文学校个性化教育学案 气球内气体的气压 P kPa 是气体体积 V m3 的反比例函数 其图象如图所示 当气球内气压大于 120 kPa 时 气球将 爆炸 为了安全起见 气球的体积应 A 不小于m3 B 小于m3 C 不小于m3 D 小于m3 5 4 5 4 4 5 4 5 7 在同一直角坐标平面内 如果直线与双曲线没有交点 那么和的关系一定是 xky 1 x k y 2 1 k 2 k A 0B 0 D 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 8 如图 A C 是函数的图象上的任意两点 过 A 作轴的垂线 垂足为 x y 1 x B 过 C 作 y 轴的垂线 垂足为 D 记 Rt AOB 的面积为 S1 Rt COD 的面积为 S2则 A S1 S2 B S1 0 AC 垂直 x k x 轴于 c 且 AOC 的面积为 2 1 求该反比例函数的解析式 2 若点 a y1 2a y2 在该反比例函数的图象上 试比较 y1与 y2的大小 6 如图所示 一次函数y ax b的图象与反比例函数y 的图象交于 A B 两点 与x轴交于点 k x C 已知点 A 的坐标为 2 1 点 B 的坐标为 m 1 2 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围 O O C C A A B B 7 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3 6 小时可将满池水全部排空 1 蓄水池的容积是多少 2 如果增加排水管 使每小时的排水量达到 Q m3 那么将满池水排空所需的时间t h 将 如何变化 3 写出t与 Q 的关系式 4 如果准备在 5 小时内将满池水排空 那么每小时的排水量至少为多少 5 已知排水管的最大排水量为每小时 12m3 那么最少需多长时间可将满池水全部排空 y xC B A O 成都龙文学校个性化教育学案 8 某商场出售一批名牌衬衣 衬衣进价为 60 元 在营销中发现 该衬衣的日销售量 y 件 是日销售 价 x 元的反比例函数 且当售价定为 100 元 件时 每日可售出 30 件 1 请写出 y 关于 x 的函数关系式 2 该商场计划经营此种衬衣的日销售利润