广东省2013届高三数学一轮单元测评训练 第七单元 理

1 单元能力检测单元能力检测 七七 考查范围 第七单元 立体几何 时间 120 分钟 分值 150 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知E F G H是空间四点 命题甲 E F G H四点不共面 命题乙 直线EF 和GH不相交 则甲是乙成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 设a b是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列四个命题中 正确 的是 A 若a b a 则b B 若a 则a C 若a 则a D 若a b a b 则 3 已知m n是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中 正确的是 A 若m n 则m n B 若 则 C 若m m 则 D 若m n 则m n 4 已知某几何体的三视图如图 D7 1 所示 则该几何体的表面积是 图 D7 1 A B 2 1 22 C 3 D 6 2 5 如图 D7 2 正三棱锥S ABC中 BSC 40 SB 2 一质点自点B出发 沿 着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为 图 D7 2 A 2 B 3 C 2 D 3 33 6 一个盛满水的三棱锥容器S ABC 不久发现三条侧棱上各有一个小洞D E F 且 知SD DA SE EB CF FS 2 1 若仍用这个容器盛水 则最多可盛原来水的 A B 23 29 19 27 2 C D 30 31 23 27 7 在正三棱锥S ABC中 相对的棱互相垂直 M N分别是棱SC BC的中点 且 MN AM 若侧棱SA 2 则正三棱锥S ABC外接球的表面积是 3 A 12 B 32 C 36 D 48 8 图 D7 3 是一几何体的三视图 正视图是一等腰直角三角形 且斜边长BD为 2 侧视图是一直角三角形 俯视图为一直角梯形 且AB BC 1 则异面直线PB与CD所成 角的正切值是 图 D7 3 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在答题卡相应位置 9 如图 D7 4 三个几何体 一个是长方体 一个是直三棱柱 一个是过圆柱上下底 面圆心切下圆柱的四分之一部分 这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形 则它 们的体积之比为 图 D7 4 10 若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形 另外两个侧面都是有一个内角为 60 的菱形 则该三棱柱的体积等于 11 若一个球的体积为 4 则它的内接正方体的表面积是 3 12 如图 D7 5 是一个几何体的三视图 若它的表面积为 7 则这个空间几何体的 体积是 图 D7 5 ks5u 13 如图 D7 6 所示 一个水平放置的正方形ABCD 它在直角坐标系xOy中 点B的 坐标为 2 2 则在用斜二 测画法画出的正方形的直观图A B C D 中 顶点B 到x 轴的距离为 3 图 D7 6 图 D7 7 14 图 D7 7 是一几何体的平面展开图 其中四边形ABCD为正方形 E F分别为 PA PD的中点 在此几何体中 给出下面四个结论 直线BE与直线CF是异面直线 直线BE与直线AF是异面直线 直线EF 平面PBC 平面BCE 平面PAD 其中正确结论的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 12 分 如图 D7 8 所示 正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直 ADE 90 AF DE DE DA 2AF 2 1 求证 AC 平面BEF 2 求四面体BDEF的体积 图 D7 8 16 13 分 已知正方形ABCD的边长为 1 AC BD O 将正方形ABCD沿对角线BD折起 使AC 1 得到三棱锥A BCD 如图 D7 9 所示 1 求证 AO 平面BCD 2 求二面角A BC D的余弦值 4 图 D7 9 17 13 分 在如图 D7 10 所示的多面体中 EF 平面 AEB AE EB AD EF EF BC BC 2AD 4 EF 3 AE BE 2 G是BC的中点 1 求证 BD EG 2 求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值 图 D7 10 18 14 分 如图 D7 11 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 FA 平面 ABCD EF BC FA 2 AD 3 ADE 45 点G是FA的中点 1 求证 EG 平面CDE 2 求二面角B CE G的余弦值 图 D7 11 5 19 14 分 已知几何体E ABCD如图 D7 12 所示 其中四边形ABCD为矩形 ABE 为等边三角形 且AD AE 2 DE 点F为棱BE上的动点 37 1 若DE 平面AFC 试确定点F的位置 2 在 1 的条件下 求二面角E DC F的余弦值 图 D7 12 20 14 分 如图 D7 13 四棱锥P ABCD底面是直角梯形 AB CD AB AD PAB 和 PAD是两个边长为 2 的正三角形 DC 4 O为BD中点 E为PA中点 1 求证 PO 平面ABCD 2 求证 OE 面PDC 3 求直线CB与平面PDC所成角的正弦值 图 D7 13 6 单元能力检测 七 1 A 解析 E F G H四点不共面时 EF GH一定不相交 否则 由于两条相交 直线共面 则E F G H四点共面 与已知矛盾 故甲可以推出乙 反之 EF GH不相 交 含有EF GH平行和异面两种情况 当EF GH平行时 E F G H四点共面 故乙不 能推出甲 即甲是乙的充分不必要条件 2 D 解析 选项 A 中有b 的可能 选项 B 中各种可能情况都存在 选项 C 中有 a 的可能 只有选项 D 中的命题正确 3 D 解析 线面平行不具有传递性 垂直于同一个平面的两个平面可以相交 根据 直线与平面垂直的性质定理 选项 D 中的结论正确 ks5u 4 C 解析 这个空间几何体是侧棱垂直于底面的三棱柱 底面周长为 2 故其 2 表面积是 2 1 1 2 1 3 ks5u 1 222 5 C 解析 由于质点的运动是沿三棱锥的侧面 故把侧面展开后 所求的最小距离 就是展开后点B的两个位置之间的线段的长度 把该正三棱锥的侧面沿侧棱SB展开成平面 图形 则在三角形SBB 中 SB SB 2 BSB 120 所求的最短路线的长度就是 BB 的长度 BB 2BD 2 3 6 D 解析 当平面EFD处于水平位置时 容器盛水最多 VF SDE VC SAB 1 3S SDE h1 1 3S SAB h2 SD SE sin DSE h1 SA SB sin ASB h2 SD SA SE SB h1 h2 2 3 2 3 1 3 4 27 最多可盛原来水的 1 4 27 23 27 7 C 解析 正三棱锥对棱互相垂直 则AC SB 又SB MN 且 MN AM SB AM 从而SB 面SAC BSA BSC ASC 90 以S为顶点 将三棱锥补成一个正方体 故球的直径 2R SA 即R 3 S球 4 R2 36 故选 C 3 8 C 解析 该空间几何体是底面为俯视图中的直角梯形 顶点在底面上的射影为俯 视图中的点P的四棱锥 其直观图如图 连接BO 则BO CD PBO即为异面直线PB与 CD所成角 由题意 得PO 1 BO 故 tan PBO 2 1 2 2 2 9 4 2 解析 因为三个几何体的正视图和俯视图为相同的正方形 所以原长方 7 体棱长相等为正方体 原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱 设正方形的边长 为a 则长方体体积为a3 三棱柱体积为a3 四分之一圆柱的体积为 a3 所以它们的 1 2 1 4 体积之比为 4 2 10 2 解析 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 由于侧面A1B1BA与侧面A1C1CA都 2 是有一个内角为 60 的菱形 故三棱锥A A1B1C1是一个所有棱长都等于 2 的三棱锥 作 AO 面A1B1C1于点O 则点O是底面正三角形的中心 故A1O 2 故AO 2 3 3 2 2 3 3 三棱锥的底面积等于 22 故所求的三棱柱的体积为 22 2 3 3 2 2 6 3 3 43 2 3 2 6 32 11 24 解析 根据球的体积公式 r3 4 r3 3 故r 该球的内接 4 3333 正方体的体对角线为 2 设正方体的棱长为a 则a 2 即a 2 故球的内接正方 333 体的表面积是 6 22 24 12 解析 这个空间几何体上面是底面半径为 1 高为的圆锥 下面是底 6 3 33 面半径为 1 高为a的圆柱 根据表面积求出a 即可根据体积公式进行计算 上面圆锥的 母线长为 2 表面积为 2 1 a 1 2 7 解得a 2 故这个空间几何体的 体积是 12 2 12 ks5u 1 33 6 3 3 13 解析 B C 1 B C x 45 则顶点B 到x 轴的距离为 2 2 B C cos45 1 2 2 2 2 14 解析 如图 该几何体是一个正四棱锥 由于EF AD AD BC 所以 CF BE共面 结论 不正确 根据异面直线的判断方法 BE AF是异面直线 结论 正确 由于EF BC 所以EF 平面PBC 结论 正确 由于四棱锥的侧棱长和底面边长不确定 平面BCE不一定垂直平面PAD 15 解答 1 设AC BD O 取BE中点G 连接FG OG 8 所以OG綊DE 1 2 因为AF DE DE 2AF 所以AF綊OG 从而四边形AFGO是平行四边形 FG AO 因为FG 平面BEF AO 平面BEF 所以AO 平面BEF 即AC 平面BEF 2 因为平面ABCD 平面ADEF AB AD 所以AB 平面ADEF 因为AF DE ADE 90 DE DA 2AF 2 所以 DEF的面积为 ED AD 2 1 2 所以四面体BDEF的体积 S DEF AB 1 3 4 3 16 解答 1 证明 在 AOC中 AC 1 AO CO AC2 AO2 CO2 AO CO 2 2 又 AC BD是正方形ABCD的对角线 AO BD 又BD CO O AO 平面BCD 2 由 1 知AO 平面BCD 则OC OA OD两两互相垂直 如图 以O为原点 建立空 间直角坐标系O xyz 则O 0 0 0 A 0 0 2 2 C B 2 2 0 0 0 2 2 0 D 是平面BCD的一个法向量 0 2 2 0 OA 0 0 2 2 AC 2 2 0 2 2 BC 2 2 2 2 0 设平面ABC的法向量n n x y z 则n n 0 n n 0 BC AC 即Error 所以y x 且z x 令x 1 则y 1 z 1 可取n n 1 1 1 9 从而 cos n n OA n n OA n n OA 3 3 即二面角A BC D的余弦值为 3 3 17 解答 解法 1 1 证明 EF 平面AEB AE 平面AEB EF AE 又AE EB EB EF E EB EF 平面BCFE AE 平面BCFE 过D作DH AE交EF于H 则DH 平面BCFE EG 平面BCFE DH EG AD EF DH AE 四边形AEHD是平行四边形 EH AD 2 EH BG 2 又EH BG EH BE 四边形BGHE为正方形 BH EG 又BH DH H BH 平面BHD DH 平面BHD EG 平面BHD BD 平面BHD BD EG 2 AE 平面BCFE AE 平面AEFD 平面AEFD 平面BCFE 由 1 可知GH EF GH 平面AEFD DE 平面AEFD GH DE 取DE的中点M 连接MH MG 四边形AEHD是正方形 MH DE MH GH H MH 平面GHM GH 平面GHM DE 平面GHM DE MG GMH是二面角G DE F的平面角 由计算得GH 2 MH MG 26 cos GMH 2 6 3 3 平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为 3 3 解法 2 1 EF 平面AEB AE 平面AEB BE 平面AEB EF AE EF BE 又AE EB EB EF EA两两垂直 10 以点E为坐标原点 EB EF EA分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标 系 由已知得 A 0 0 2 B 2 0 0 F 0 3 0 D 0 2 2 G 2 2 0 2 2 0 2 2 2 EG BD 2 2 2 2 0 BD EG BD EG 2 由已知得 2 0 0 是平面DEF的法向量 EB 设平面DEG的法向量为n n x y z 0 2 2 2 2 0 ED EG Error 即Error 令x 1 得n n 1 1 1 设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为 则 cos cos n n EB n n EB n n EB 2 2 3 3 3 平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为 3 3 18 解答 1 EF BC AD BC EF AD 在四边形ADEF中 由FA 2 AD 3 ADE 45 可得GE ED 2 GD 2210 故GE2 ED2 GD2 所以EG DE 又由FA 平面ABCD 得AF CD 正方形ABCD中 CD AD AD AF A CD 平面ADEF EG 平面ADEF CD EG CD DE D EG 平面CDE 2 以AB AD AF为x y z轴 建立空间直角坐标系 则B 3 0 0 C 3 3 0 E 0 1 2 G 0 0 1 0 3 0 3 2 2 0 1 1 BC EC GE 分别求得平面BCE与平面CEG的一个法向量为m m 2 0 3 n n 4 3 3 向量m m与n n的夹角的余弦值为 m m n n m m n n 8 9 442 442 26 二面角B CE G的余弦值为 442 26 19 解答 1 连接BD交AC于点M 若DE 平面AFC 则DE FM 点M为BD中点 则F为棱BE的中点 2 AD AE 2 DE DA AE 37 又四边形ABCD为矩形 DA 面ABE 方法 1 以AB中点O为坐标原点 以OE为x轴 以OB为y轴 以OM为z轴 建立 空间直角坐标系 如图所示 则 1 1 DE 33 CE 33 11 设平面DCE的法向量n n x y z Error Error 令x 1 则n n 1 0 1 DF 3 2 3 2 3 CF 3 2 1 2 3 设平面DCF的法向量m m x y z Error Error 令x 2 则m m 2 0 1 设二面角E DC F的平面角为 cos m m n n m m n n 3 10 10 方法 2 设二面角E DC A的平面角为 取AB中点O CD中点N EO 平面ACD ON CD ONE tan 1 同理设