吉林省吉林市2012届高三数学开学摸底考试 理

用心 爱心 专心 吉林市普通中学吉林市普通中学 2012 20132012 2013 学年度高中毕业班摸底测试学年度高中毕业班摸底测试 数数 学 理科 学 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 22 小题 共 150 分 共 4 页 考试时间 120 分钟 考试结束后 将答题卡和试题卷一并交回 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 个是符合题目要求 1 设全集 集合 则 1 2 3 4 5 U 1 2 A 2 3 B U AB A B C D 4 5 2 3 1 1 2 2 抛物线的准线方程为 2 4yx A B C D 2x 2x 1x 1x 3 复数 i2 12i A B C D ii 43 i 55 43 i 55 4 在等差数列中 则此数列的前项的和等于 n a 3510 28aaa 13 A B C D 8131626 5 若 m n 为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 则下列结论正确的是 A 若 m n 都平行于平面 则 m n 一定不是相交直线 B 若 m n 都垂直于平面 则 m n 一定是平行直线 C 已知 互相垂直 m n 互相垂直 若 m 则 n D m n 在平面内的射影互相垂直 则 m n 互相垂直 6 如图 该程序运行后输出的结果为 A 15 B 21 C 28 D 36 7 曲线在点处的切线方程为 3 yx 1 1 A B 320 xy 230 xy C D 320 xy 230 xy 开开始始 结结束束 k 1 S 0 kb 0 的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短半轴为半径 2 2 2 2 b y a x 2 1 的圆与直线 x y 0 相切 6 1 求椭圆的标准方程 2 设 P 4 0 A B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点 连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E 证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q 命题 校对 孙长青 吉林市普通中学 2012 2013 学年度高中毕业班摸底测试 数 学 理科 参考答案及评分分标准 一 123456789101112 CDADBBABBDDC 二 13 72 8 14 3 3 15 6 16 3 3 2 5 三 17 解 因为a b c成等比数列 则 2 bac 由正弦定理得 2 sinsinsinBAC 又 3 sinsin 4 AC 所以 2 3 sin 4 B 而 sinB 0 则 3 sin 2 B 因 故 B 3 5 分 0 2 B 因为 3 B 则 sin sinsin coscos sinsin 333 f xxxxxx 33 sincos3sin 226 xxx 0 x 则 5 666 x 所以 1 sin 1 62 x 故函数 f x的值域是 3 3 2 10 分 18 解 由 a1 a2 a4成等比数列得 a1 2 2 a1 a1 6 2 分 解得 a1 2 4 分 数列 an 的通项公式是 an 2n n N 用心 爱心 专心 6 分 n 22n n 4n n N Sn 1 4 2 42 n 4n 4Sn 1 42 n 1 n b 4n n4n 1 得 3Sn n 4n 1 即 Sn 3 414 n 9 4134 1 n n 12 分 19 解 因为 1 3 5 是奇数 2 4 是偶数 设事件 A 为 两次取到的卡片的数字既不 全是奇数 也不全是偶数 11 32 2 5 3 5 CC P A C 4 分 设B表示事件 有放回地抽取 3 次卡片 每次抽取一张 恰有两次取到的卡片上数字 为偶数 由已知 每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 2 5 6 分 则 22 3 2236 1 55125 P BC 8 分 依题意 X的可能取值为1 2 3 3 1 5 P X 2 33 2 5 410 P X 2 1 31 3 5 4 310 P X 所以X的分布列为 X123 P 3 5 3 10 1 10 3313 123 510102 E X 12 分 20 解 方法一 1 由题意知 都是边长为 2 的等边三角形 ABCACD 取 AC 中点 O 连接 BO DO 则 BOAC DOAC 平面 ACD平面 ABC平面 ABC 作 EF平 DO 面 ABC 那么 EF DO 根据题意 点 F 落在 BO 上 易求得所以四边形60EBF 3EFDO DEFO 是平行四边形 DE OF 平面 ABC DE 平面 ABC 平面 ABC 6 分OF DE 2 作 FGBC 垂足为 G 连接 EG 平面 ABC EGBC EF 就是二面角 E BC A 的平面角EGF 1 sin 2 FGBFFBG 22 13 3 2 EFEGEFFG 13 cos 13 FG EGF EG 用心 爱心 专心 即二面角 E BC A 的余弦值为 13 13 12 分 方法二 1 同方法一 2 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 可求得平面 ABC 的一个法向量为 1 0 0 1 n 平面 BCE 的一个法向量为 2 3 3 1 n 所以 12 12 12 cos nn n n nn 13 13 又由图知 所求二面角的平面角是锐角 二面角 E BC A 的余弦值为 12 分 13 13 21 解 1 由 可得 4 2 1 2 b fxa xx 1 0 1 0 2 f f 1 3 1 3 a b 分 2 函数的定义域是 因为 所以 xf 0 1 2 f 12 ab 5 分 所以 2 22 2 21 1 2 21 axxaxaxa fx xx 7 分 要使在上是单调函数 只要或在上恒成立 xf 0 0fx 0fx 0 当时 恒成立 所以在上是单调函数 9 分 0 a 2 1 0 x fx x xf 0 当时 令 在上不单调 10 分 0 a 0fx 1 1 x 2 1 11 2 x a xf 0 当时 要使在上是单调函数 只要 即 0 a xf 0 120a 1 0 2 a 综上所述 的取值范围是 a 1 0 2 a 12 分 22 解 由题意知 e 所以 e2 即 a2 b2 a c 2 1 2 2 c a 22 2 a b a4 14 3 又因为 b 所以 a2 4 b2 3 故椭圆的方程为 1 4 分 11 6 3 34 22 yx 用心 爱心 专心 由题意知直线 PB 的斜率存在 设直线 PB 的方程为 y k x 4 由 1 34 4 22 yx xky 得 4k2 3 x2 32k2x 64k2 12 0 6 分 设点 B x1 y1 E x2 y2 则 A 直线 1 x 1 y AE 的方程为 y y2 x x2 令 y 0 得 x x2 将 y1 k x1 4 y2 k x2 4 代 1