山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学 等腰三角形中的五类问题例析

1 山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学山东省滨州市无棣县埕口中学七年级数学 等腰三角形中的五类问题例等腰三角形中的五类问题例 析析 等腰三角形是初中数学的重要内容之一 近年来有关等腰三角形的新颖题型不断受到命题者 的青睐与关注 出现了许多设计巧妙 形式多样 颇富新意的题目 现结合 2009 年各地中考试 题进行说明 希望能给同学们带来一定的启示与帮助 一 在动态中探究与构建 例 1 在ABC 中 12cm6cmABACBCD 为BC的中点 动点P从B点出 发 以每秒 1cm的速度沿BAC 的方向运动 设运动时间为t 那么当t 秒 时 过D P两点的直线将ABC 的周长分成两个部分 使其中一部分是另一部分的 2 倍 思路点拨与解析 本题涉及等腰三角形中的动点问题 要进行两种情况的分类讨论 当 点 P 在 BA 上时 BP t AP 12 t 2 t 3 12 t 12 3 解得 t 7 当点 P 在 AC 上时 PC 24 t t 3 2 24 t 3 解得 t 17 故填 7 或 17 点评 解决等腰三角形中动态问题的关键是树立联系 发展的动态观点 整体地把握命题的 条件 抓住在运动变化过程中暂时静止的某一瞬间 动中求静 变中求不变 用相关的代数式 表示变量之间的内在联系 进行观察联想 猜测 分析 归纳 总结 寻找出变量关系式 从而 使问题得到突破和解决 二 在图景中生成与发现 例 2 如图 小量角器的零度线在大量角器的零度线上 且小量角器的中心在大量角器的外 缘边上 如果它们外缘边上的公共点在小量角器上对应的度数为 那么在大量角器上对P65 应的度数为 只需写出 的角度 0 90 思路点拨与解析 小量角器上对应的度数为 即重合部分小量角器的圆心角的度数65 ABP 为 此时 ABP 为等腰三角形 AB AP 所以 ABP APB 根据三角形的内角和65 65 可得 BAP 50 从而得出大量角器上对应的度数为 50 点评 这是一道典型的生活图景题 此图景既亲切而熟悉 给人耳目一新的感觉 数学来 源于生活 又应用于生活 要求我们在日常生活中多关注生活 用数学的眼光发现数学 享受 数学 在此题中将等腰三角形 圆心角 圆周角及它们所对的弧的度数之间的内在关系巧妙地 融合为一个整体 三 在探究中分类与体验 例 3 如图 点 A 的坐标是 2 2 若点 P 在 x 轴上 且 APO 是等腰三角形 则点 P 的坐标 不可能是 A 4 0 B 1 0 C 2 0 D 2 0 2 AB y 2 1234 1 1 2 x y A 0 思路点拨与解析 在坐标系中已知 O 0 0 和 A 2 2 两点坐标 可得出 OA 2 2 要在 x 轴上探寻点 P 使 APO 是等腰三角形 应进行分类讨论 线段 OA 可能为等腰 APO 的腰 也有可能为等腰 APO 的底 当线段 OA 可能为等腰 APO 的腰时 点 P 可能为 4 0 2 0 当线段 OA 可能为等腰 APO 的底时 点 P 为 2 0 故点 P 的坐标不可能是选项2 B 点评 当研究对象不明确时 常需要对研究对象的各元素或各元素之间关系的各种可能进行 分类讨论 得到相应结果 在进行分类时应做到标准相同 不重不漏 四 在阅读理解中感知与收获 例 4 阅读下列材料 正方形网格中 每个小正方形的顶点称为格点 以格点为顶点的三角形叫格点三角形 数学老师给小明同学出了一道题目 在图正方形网格 每个小正方形边长为 1 中画出格点 ABC 使5 ACAB 2 BC 小明同学的做法是 由勾股定理 得512 22 ACAB 211 22 BC 于是画 出线段AB AC BC 从而画出格点 ABC 1 请你参考小明同学的做法 在图中正方形网格 每个小正方形边长为 1 中画出格点 CBA A 点位置如图所示 使BA CA 5 10 C B 直接画出图形 不写过程 2 观察 ABC与 CBA 的形状 猜想 BAC与 CAB 有怎样的数量关系 并证明你的猜 想 C B A A 思路点拨 在所给的阅读材料中 展示了等腰三角形各边的作图过程与方法 BA CA 5 的腰有 5 个正方形的边长及 32 42 52 10 C B的边为 32 12 10 解析 1 正确画出 CBA 画出其中一种情形即可 2 猜想 BAC CAB 证明 5 5 CA AC BA AB 5 5 10 2 C B BC CB BC CA AC BA AB 3 ABC CBA BAC CAB A B C C B 点评 网格背景题能充分调动有关背景中的正方形 直角三角形 勾股定理等知识 并经历 了观察 思考 猜测 动手操作 自主探索发现等过程 从中找到解决问题的突破口与解题策 略 尤其是勾股定理 数形结合 等思想的运用达到了极点 五 在图案设计与计算中应用 例 5 有一块直角三角形的绿地 量得两直角边长分别为6mm 8 现在要将绿地扩充成等 腰三角形 且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形 求 扩充后等腰三角形绿地的周长 思路点拨 当知道等腰三角形的边 但不清楚该边是腰还是底边时 就有必要进行分类讨 论 AB 可能为腰 也可能为底 其中 AB 为腰时 又分为以点 A 为顶角的顶点与以点 B 为顶角的 顶点两种情况进行分析 并借助勾股定理求出相应的线段的长 解析 在中 RtABC 9086ACBACBC 由勾股定理有 扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况 10AB RtACD ABD 如图 1 当时 可求得的周长为 32m 10ABAD 6CDCB ABD 如图 2 当时 可求10ABBD 4CD 由勾股定理得 得的周长为4 5AD ABD 204 5 m 如图 3 当为底时 设则ABADBDx 6CDx 由勾股定理得 得的周长为 25 3 x ABD 80 m 3 A D C B B A D B BC A DB B